книги из ГПНТБ / Шмыголь С.С. Определение и прогнозирование движения центра масс летательного аппарата по результатам траекторных измерений

данных может быть сформулирована следующим образом.

Пусть дана стабильная генеральная совокупность случайных

величин

x-L ,

распределенных

по нормальному закону с матема­

тическим ожиданием

т

и среднеквадратическим отклонением

(СКО),

равным

ег

.

Выборка

х ,

, х

2 , . . . ,

х п , позволяет оце­

нить математическое

ожидание как

среднее выборочное

(230)_

По заданному объему вьборки'

л

и заданной

вероятности

необходимо выявить аномальные случайные величины.

Величина

.

_

X : -

х

(231)

Д X ;

- —*-----

ь

<=;

характеризует

отклонение

L -го

измерения от остальной их мас­

сы в

долях

СКО и

называется

относительным

отклонением.

Так как все случайные величины

x-L принадлежат генераль­

ной совокупности

X fc /V(m ,er)

,

то

распределение

случайной

величины

Д x i

будет зависеть

не от математического

ожидания

т

и СКО

<3Х ,

а

только от

объема выборки

п

. В

этом слу­

чения £п , отвечающие заданным

значениям объема выборки п

и уровню заданной вероятности

Рц .

По принципу практической невозможности маловероятных собьь

тий

аномальными считаются те измерения, для которых относитель­

ное

отклонение Д x-L превосходит

предел ^ п , отвечающий

выбранному уровню вероятности р ,

.

Дда.» =

,

(232)

х

L

s

где

- выборочное среднее,

определяется по формуле

(230),

a S

-

выборочная исправленная

дисперсия:

По заданному объему выборки л и уровню вероятности

р ^

необходимо выбрать предельное

значение ^*п и сравнить с

величи­

ной Ах* . Если |Д 5.*|;> Ц*п ,

то измерение x-L следует

считать

ляется п измерениями (x -L ) .

Если же измерения являются

функцией меняющегося во времени

положения ДА, необходимо исполь­

ра

r ( t )

может быть представлена на интервале

аппроксимации

некоторым полиномом с помощью одного из методов,

рассмотренных

в §

9. Однако в данном

случае целесообразно

использовать по­

лином первой степени

г*- =

г ( * г ) = с 0 + с , ( р .

,

(234)

•где

7

г,- - среднее выборочное л

измерений;

—

с„ = — Е

r. = r ( t . ) -

о

П 1=1

U

у

-

^

опытные значения------------ измеренных---------------------------------параметров; ср-. = i' . - i

-линейная

функ^ля

времени; t = ^

j t

t-L - среднее значение

времени;

п

t=T

■.

Если известно

CKO измерений

6 Г , то относительное от­

клонение

определяют по .формуле

^

=

е г

(235)

где г -

вычисляется по формуле

(234).

Относительные

отклонения

A r-L сравниваются

с предельными

ботки. В случае необходимости

можно вместо

п

нормальных

измерений использовать одно среднее значение

v

= С0 , отне­

сенное к моменту времени t - = t

. В этом случае

говорят, что

будут.

Если же среди п измерений окажутся

такие, что!А г.

I

k ,

то следует исключить то к -е измерение,

I *•

'Г?

относительное

откло­

всех л

отклонений.

После этого проверка на аномальность осуществляется по вы­

борке,

состоящей из п ' = п -

1 измерений. При этом могут быть

использованы формулы (234)

и (235), в которых все суммы по L

распадутся на две суммы: одна от 1 = 1 до L = к - } , другая -

от L = к + 1 до L - п .

Проверка информации на достоверность в процессе

определения

элементов траектории

т у

r

. ( m )

L

Поскольку эти ошибки подчинены нормальному закону, то ве­

Зб„., как

известно, не превышает величины

Я (| Аг-|

> 3 ( 5 Г . ) =

0 , 0 0 27.

Таким образом,

с вероятностью

(1 - р ) = 0,9973

достовер­

ными мояно

считать лишь те измерения, ошибки которых; не пре­

вышают 3 бг ..

Это справедливо при несмещенной оценке параметров. В на­

шем

случае

оценки

( r t-(m)j расчетных значений параметров могут

иметь существенное смещение вследствие того, что уравнения

движения интегрируются

с приближенными начальными условиями

определенными в

т -м приближении. В этом

случае сравне­

ние

Л г -I

с величинойЗб„.может привести к исключению значи-

тельной части достоверной информации.

Более правильно поэтому критерий достоверности записать

в

виде

fr _ Г (гп)

А. Р W

(236)

^ rL доп

где г . ^ -

расчетное значение измеряемых параметров в

т -м приб­

лижении.

.

(т)

_

в т -н

Допустимое отклонение опытного значения Аг

•

£?ол

А г (m)

(т)

= 3 <Эр. + Д г (

L доп

I см

Вторым членом в правой части соотношения учитывается сме­

щенность расчетных значений измерений

за счет

наличия

ошибок в определяемых элементах траектории

.

Если бы последние были нам известны, то указанные

смеще­

ния можно было бы вычислить по формуле

JL

д г1

^ r L с м = £ — - Н I >

где d r i _

1=1

H i

- частные производные измеренных параметров по опре­

дск

деляемым элементам траектории.

Разделив абсолютную величину смещения

|Лг*4- СЛ7|

на

З е _ . ,

можно привести выражение для

А г- доп к виду

r L

104

A r i d o n = 3 ( 1i- \ i 0 6 :

(237)

A

I

где

Дг; см |

учитывает смещение расчетных значений изме­

З б т

ряемых параметров за счет неточности определения элементов

траектории 6 q t .

Qq^ неизвест­

Так как

в процессе решения задачи величины

ны, то их приближенно заменяют поправками A (fa

,

которые опре­

деляются при решении основной системы уравнений.

При выполне­

нии первого

приближения величины A q t еще неизвестны, поэто­

коэффициент

быстро уменьшается, стремясь к нулю.

Таким

образом, в процессе последовательных приближений

личинами и решение

задачи

по приведенным выше алгоритмам дает

нам в качестве

элементов

траектории их математические ожида­

ния

q t .

'

При достаточно малых ошибках измерений, что, как правило,

имеет

место на практике,

зависимость между ошибками определя­

емых элементов

6 q t

и ошибками измерений 6 г f

может быть ли-

ниеаризована и представлена в виде

M = M [ S r ] ,

(239)

где [бг]={б7’

вектор ошибок траекторных измерений;

Г

H i

H i . . .

Н п

d r ,

d r,

d r,

И =

(240)

j H i

d Q,z ш ш '

dq ,п

_

d r N

d r N

d r N

Алгоритм определения

ожидаемых значений элементов траекто­

ная матрица ошибок измерений

или матрица, составленная

из коэффициентов корреляции

.

Наряду с такими гипотезами существует реальная статисти­

ческая картина

ошибок измерений, характеризующихся реальной

корреляционной

матрицей

. Используемые в алгоритме об­

бок измерений.

Это объясняется,

с одной стороны,

тем, что ре­

альная корреляционная матрица

[к ,/]

почти всегда

неизвестна,

а

с другой - тем, что для обработки

измерений часто использу­

ются упрощенные

алгоритмы, и истинная траектория

ни в том ни

в

другом случае

нам, как правило, неизвестна. Так, например,

Гр = Гр {q.t )

будут

отличаться

как от измеренных

( r f )

» так

и от истинных их значений (г,

):

v

f и с т /

A r f

= r

p

- r f .

(249)

Отклонение

A r f ,

как видно из рис.39, помимо истинной

ошибки измерений б'г-р

содержит

также ошибку 6 r f ,

обусловлен­

ную неточностями вычисленных ранее элементов траектории

q t :

A r f =

6 r f

+

8 Гр .

(250)

об ошибках измерений. Одной из таких гипотез является нормиро­

ванная корреляционная матрица

р

.

Но в этом

случае, как ука­

зывалось ранее, необходимо в

процессе

обработки

измерений опре­

делять

среднее квадратическое отклонение некоторого фиктивного

измерения, вес которого принимается

за единицу.

Величина б 0 характеризует меру

разброса измерений

относи­

тельно

траектории, определяемой элементами движения

, по­

вычисления б 0 , рассматривается выражение

N

(252)

7