Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги из ГПНТБ / Шмыголь С.С. Определение и прогнозирование движения центра масс летательного аппарата по результатам траекторных измерений

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

29.10.2023

Размер:

4.4 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 67 / 137 8 9 10 11 12 13 > Следующая >>>

ния и получить не только уточненные (сглаженные) значения из мерений, но и координат, составляющих скорости и ускорения. При этом сглаживанию можно подвергать как измерения, так и ко ординаты ЛА р , вычисленные по весглаженным значениям изме рений.

§ 9. ОСНОВНЫЕ МЕТОДЫ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ПАРАМЕТРОВ ДВИЖЕНИЯ ЦЕНТРА МАСС ЛА ПО ИЗБЫТОЧНЫМ ИЗМЕРЕНИЯМ

Хотя параметры движения, вычисленные с помощью полученных ранее формул, недостаточно точны, но они могут быть использо

ваны в качестве первого	приближения для получения их более
		точных значений. Рассмот-
		рим некоторые методы по
		вышения точности				парамет
		ров движения, вычислен
		ных непосредственно по
		измеренным параметрам.
		При этом предположим,что
		в качестве			параметров
		первого		приближения нам
		известны значения					коор
		динат рн			, где	к	= 1,2,
		3	для моментов времени
		^	из	интервала [tp .				,
		t L .......t		j	(рис.32).
Рис.32. Повышение точности определе			Задача		заключается
Рис.32. Повышение точности определе		в том, чтобы по этим дан
ния параметров движения методом гра		в том, чтобы по этим дан
фического сглаживания		ным	найти более			точные
значения параметров движения либо в		заданный момент времени
t $ из интервала	либо для любого момента времени							t
из того.же интервала:	Pks ~Рк (ts)
	Pks ~Рк (ts)						(125)
	Рк = Р к ^ -	^					(125)
	Рк = Р к ^ -	^
Существует несколько методов решения этой задачи						[7	] .
Метод графического		сглаживания
Этот метод заключается в нанесении значений					р . = /Г ( t -
на график (рис.32) и проведении сглаживающей плавной кривой

pKt t ) с таким расчетом, чтобы она наиболее близко примыкала к экспериментальным точкам. В качестве значения параметра дви

жения pHS в	заданный момент времени		t $ используют		ордина
ту точки пересечения		перпендикуляра к	абсциссе	,	восста
новленного из	точки t	, и сглаживающей кривой

Несмотря	на некоторый произвол в проведении кривой
и неточности графических работ, этот метод находит широкое
применение в	силу своей простоты применения и наглядности осо
бенно в тех	случаях, когда точность исходных данных невелика.
•	Метод средних

Метод средних заключается в том, что параметры аппроксими рующей функции (125) подбирают с таким расчетом, чтобы сумма уклонений (невязок) на выбранном интервале равнялась нулю:

( 126)

Аппроксимирующую функцию jD (£) при этом можно выбрать в виде полиномов различной степени:

			Р я ^ ) = ао>
			Р н ^ = а о + а , ^ Ь		h	(12?)
			/5я (П = а0 + а,(£) + а 2£2
где а .	, а	а„	и т .д . -	неизвестные коэффициенты,		подле
ло	1 ~ 1	’ "2 *
жащие определению по опытным данным.
При использовании аппроксимирующего полинома нулевой сте
пени подстановка его			в формулу	(126) дает
				п
			а ° ‘	Т Iрп	■	(128)
			а ° ‘	Т Iрп	■

На рис.33 нанесен график зависимости (128). Как видно, наибо лее близко эта зависимость примыкает к экспериментальным точ кам ( р . ) в средине интервала аппроксимации. В связи с этим выбирать аппроксимирующую функцию pK( t ) = a Q следует в том слу чае, когда интервал осреднения небольшой. А среднее значение функции a Q лучше всего, присваивать средине интервала:

	Если значения параметра движения для всех моментов време
ни	из	интервала	,	t n J оставлять постоянными,					то	ошиб
ки	определения параметров			в крайних точках могут стать недо
					пустимо большими. Во
					избежание			этого		приме
					няют метод так называ
					емой "скользящей" сред
					ней. Он заключается в
					гом, что вместе с изме
					нением момента времени
						изменяются и момен
					ты времени				,	t n .
					Другими словами интервал
					аппроксимации скользит
Рис.33. Сглаживание с помощью полинома					по оси		t .	точно так же,
Рис.33. Сглаживание с помощью полинома					как	перемещается				точка
		нулевой степени			как	перемещается				точка
		нулевой степени			£„ .
					£„ .		л и н
	В случае, когда аппроксимирующая функция						л и н		е	й н а,
необходимо		определить два коэффициента: а				и	а I	,	Поэтому

условие (126) разбивается на два условия путем разделения всех экспериментальных данных на две группы:

ni
2		[а	(129)
2		[а	r f l u ] - 0
t-n.+f		LV - V	r f l u ] - 0
Решая эти уравнения совместно, можно получить выражения
для £2„ и а в виде		Ь„ Т ,	- Ь Г
		Ь„ Т ,	- Ь Г
со =			(130)
			(130)
		Ь„ - а. л.
		O f
где
и			■ п ,
Г .- 2	t.		= 2 t.
£=л,+;	<■		t=/

На рис.34 показан пример линейной аппроксимации. Как вид но в этом случае прямая pH(t ) на всем интервале осреднения до статочно хорошо примыкает к опытным точкам. Однако и в этом случае желательно выбирать интервал осреднения достаточно ма лым, чтобы не сильно сказывалась нелинейность зависимости

Если в качестве ап
проксимирующей зависи
мости испрльзуют поли
ном второй степени (127>
то сумму	(126) следует
разбивать на три группы.
В заключение следу
ет заметить, что резуль
таты применения метода
средних	существенно за	Рис.34. Сглаживание с помощью полино
висят от	способа груп
пировки уклонений, т .е .		ма первой степени

от способа разбиения суммы (126).

Практика показывает, что наиболее целесообразно разбивать упорядоченные данные на равные группы в порядке последователь ности их номеров [У].

1 Метод наименьших квадратов

Наибольшее распространение в практике обработки результа тов измерения, как известно, получил метод наименьших квадра тов.

В этом случае в качестве аппроксимирующей функции целесо образно выбрать полином степени т х ^:

р , =	а + а t + а ,£ 2-к ..+ а t m	,	(isi)
где t . - момент выполнения измерения, для которого		определено
значение параметра р к . .

Коэффициенты полинома (131) выбираются из условия миниму ма суммы квадратов уклонений аппроксимирующих значений пара метров движения р и. от их опытных значений р . (невязок):

Аппроксимирующая функция может быть выбрана любой, на пример из класса тригонометрических полиномов.

f = ,D (Д а -Я J

•

<I32>

Условия минимума функции уклонения (132) можно записать в виде:

	l O L - o		А±L _ 0		(133)
д а о	да.	~ и ' • ■' ’	да-т	"°-

Подставляя полином	(131) в	выражение	для уклонения (132)

ивыполняя дифференцирование в соответствии с условиями (133)

получим уравнения для определения коэффициентов а							........	а	/77
a	п		, т	-			0 7		/77
	Ф W		, т	-
	Ф W	; + ■• ■+	‘Г - Я « ) - 0 >
т ^ - = 2 Ё ( о + а		f. + . .. +а_ t m - p H. ) t . = 0 ,
да,	ы ' °	f i	"I [	r«t /	£-	»		(134)
								(134)
4^- = 2 2 (а + а		t. + .. ,+ а	£m-,o .)			= О
0Gm	t «' 0	I i	m i	r m l	l

Это система	алгебраических		уравнений линейных относительно
неизвестных	коэффициентов		aQ , а	,	ат .
Ее можно представить		в	виде:
	■n a o + d, a l + dz a z + ■■			•+ d-m ат = bп ,
	■n a o + d, a l + dz a z + ■■				т т 0 ’

йЛ * йг а, + « , Ч * "

+	и
	+

d2a0 + d3a, + d« a2 + -- ■+ dm+2 йт ^2 ’

(135)

где

Ь1 “ w ft.i* ; ’

(135')

			2	Л	^	т
				t.(	PkL^L »
d	= 2	t. ,			“>=К		......		(135 )
'	;=/	<•			“>=К		......
m	•-	■ ’	’		dzm = l		C	.
m	•-	■ ’	’		zm		t
	l=t
Уожно доказать,		что	если	среди		точек	рк .	нет совпадающих

по времени и значению и степень полинойа не превышает количе ства экспериментальных точек m ? n , то определитель систе мы (135) отличен от нуля и, следовательно, эта система имеет единственное решение, а полином (131) с найденными отсюда ко

эффициентами

а 0

, . . . ,

а.т

обладает

минимальным квадратичным

отклонением ij)min

* • • *

можно вычислить

Коэффициенты

ад

^2.

А,

1 •

• •

’

(136)

а 1"

a m

определитель

системы,

•

Д =

•

^77)+/

•

d zm

m+r

m+Z

а Д0, Д , . . . , Д^- определители, полученные из определителя системы путем замены столбца коэффициентов при соответствую щем неизвестном коэффициенте столбцом правых частей системы уравнений (135).. В качестве примера ниже приведено выражение

для	:	d,		d z	..
	b,	d,		d z	..	•	dm
	b,	d,		dz	.	•	d ,
	t	2		3			m+r
	Ао=
	ь	d	тн	d		•	cL
	m		тн	m + 2			2/7)


Если		т -	п	, то аппроксимирующий полином					(131) совпада
ет с интерполяционным полиномом Лагранжа для той же системы
точек	рк1	, р	,	р нп	,	причем	= 0. Последнее означа
							ет, что кривая, опре
							деляемая полиномом Лаг
							ранжа,		пройдет через
							все	экспериментальные
							точки р		(рис,35),
							Если же количество из
							мерений больше, чем
							степень		аппроксимирую
							щего полинома л=*я7 ,
							то график этого поли-
							нома пройдет относи
Рис.35 .Зависимость вида аппроксимирую							тельно		эксперименталь
Рис.35 .Зависимость вида аппроксимирую							ных точек так, что сум
щей зависимости от соотношения между							ных точек так, что сум
степенью полинома и количеством исход							ма квадратов уклонений
			ных точек				ш.	будет минималь-
							ш.	будет минималь-
вой,	во,	вообще		говоря,	отличной от		нуля.
Так как аппроксимирующий полином«коэффициенты которого вы
числены по формулам (136),					-	непрерывный, то		он пригоден для

вычисления сглаженных (уточненных) значений параметров движе ния не только в моменты времени, для которых имеются экспери

ментальные	данные ( £ . ) , но и в любые другие моменты		времени
t из интервала аппроксимации		, и поэтому	его можно
записать в	виде
		,	(137)

С целью получения выражений для составляющих скорости за висимости сглаженных (уточненных) координат pH ( t ) необходимо продифференцировать по времени:

pH ( t ) ^ a ! + 2 a z t + . . . + rnam t mrl.

(138)

Составляющие ускорений движения ЛА можно определять по форму

лам, полученным путем дифференцирования выражений (138) для скорости.

p ( t ) = 2 a z + - • ■+ r n ( m - l ) a m t m' \

(139)

Следует -заметить, что если составляющие векторов скорости и ускорения определены непосредственно по формулам (97), (98), или (100), (101), (104), (107), то в данном случае их следует принимать за исходные материалы для аппроксимирования и сгла живать 1ф формулам, подобным формуле (137).

Использование измерений с постоянным шагом

Опыт расчетов показывает, что чаще всего используются ре зультаты измерений с постоянным шагом ( / 7 = c o n s t ) , а степени аппроксимирующих полиномов редко превышают т = 3.

С учетом всего сказанного можно существенно упростить ал горитм уточнения параметров движения методом наименьших квад ратов и получить удобные формулы, для определения параметров

движения	по опытным избыточным данным.
Для	этого введем новый отсчет времени так, что
где i s -	начальный момент времени, для	которого	0.
Если	i s выбрать в середине участка	аппроксимации,	что яв

ляется наиболее выгодным с точки зрения точности, а шаг опытных

данных обозначить через					h	и считать его	постоянным на интер
вале			, то	«с-	можно представить		в виде
					% l	= i h ,	(1«>
где	1 =	± ( 1 , 2 , . . . ,		с ) -	индексы опытных точек, отсчитываемых
от точки		t	, для которой			*ts а ^ = Oj	с “ количество то
чек,	включенных в интервал аппроксимаций с						одной стороны от

середины, без учета последней.
Общее число точек,		взятых для обработки в данном интервале,
	1
		П - 1 с + 1.	(М 2)
Заметим,	что с учетом принятых допущений ( t - t s		, *С.= L h	)
уравнения	(131), (134),	(135) формально изменятся	только в	том,

что вместо t - везде нужно будет подставить . Что же ка сается формул для определения параметров движения, то они бу

дут относиться к моменту времени	t	, если 41L=- 0	, или к
любому другому моменту времени t	из	интервала	й Л»
если со= t - t s :
Р к = Р Л * ) = а о + а , Ъ +-••		+ а т Ъ т ,	<143)
Рк = Рк (*)= о 1+ 2 а г ‘с + .-- + т а т Ъ т ~\			( I H )
Р к = Р к ^ ) = 2 а г+ ■■■ +			(1*5)
Если принять степень аппроксимирующего полинома			т = З.что

во многих случаях вполне удовлетворяет практику, то для пара

метров движения можно найти сравнительно простые выражения. Уравнения (135) для этого случая будут иметь ввд:

п а 0 + d , a } + d z a z + d 3 а 3Ь 0- ,

d , а 0 + d z a t + d 3 a z + d 4.=a 3Ь , ,
d z	a 0 + d 3 a t + d tt_ a z + d 5 =a 623 ,
d 3	a 0 + d ^ a , + d s a 3 + d 6 a 3 = b 3 ,

где

	n		u
^0 ~	P k L =	P k s +	. 5 - (P«, S i - L + P k , s - i . ) >
	i = l		l=i
bf ~	P k L	=	~ p K , S - i ) ^ ,
	i —7		L—I

(146)

I (147)

^ г ~ Т ^	P u i ^ L	-	2 *1 5-	( P k , s +L + P k , s - ijl i
i=f			t=IL	-1
^ 3 = ?	P k 'i ^i	~	S R3 ( p K ,s+C ~ P k , s - i J]		*
i = j			i = ; > -	J	J

Все коэффициенты с/ , содержащие в нечетной степени, будут равны нулю в силу симметрии участка аппроксимации отно сительно момента времени t s i

d j = d 3 = d s = 0 .

<1ад>

В сказанном легко убедиться, если развернуть для примера выражения для с/, :

d t = S	= h + 2 h + ■■■ + c h - h - 2 h ---- * - c h = 0 .
i=i

Четные же коэффициенты [8] можно представить в следующем виде:

				c ( c - t - l ) ( 2 c + 1 )
d z = i : tC i = 2 h z E i z = z h [
	L = 1	L =1
.	Д ^	= 2Л 2j <■	b C (c + l ) ( Z C + l)( 3 C + 3 c - l)				(149)
а ц =	L ,	= 2Л 2j <■	= y ~ h	-------		3 0	(149)
	L=1	L=1				3 0
,	n			Л	-	Г ь
,	n	в c ( c + 1 ) ( 2 c + l ) ( 3 c			-	6 c - З с + I)
	i=i			42
Система уравнений (146) с учетом равенств (148) распадает
ся на две	подсистемы:
		п а 0 + d z a 2 = Ь 0 , 1					(150)
		d z a 0 + d 4. a z = b z ', Г					(150)
		d z a 0 + d 4. a z = b z ', Г
		a t +	d if, o 3	—bj ,	"1		(150 )
		. cii +	d e о 3 — b 3 l		J

решая которые, получим выражения для коэффициентов аппрокси мирующего полинома третьей степени в случае использования опыт ных данных с постоянным шагом h :

0	n d u -	d o
	b z h	bo d 2
° 2	n d „ -	(151 )
° 2	n d „ -	d ?
	b, d 6 -	b3 d »
1	d z d ^ ~ d \
	b 3 cl2 ^~~ b j dtf.

аз =

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 67 / 137 8 9 10 11 12 13 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ