книги из ГПНТБ / Приоритетные системы обслуживания

P* (z,

s) =

(1 — e (s +

a)) ф (г,

s) —

e (5 - f a) cp (s + a —

s-f- a

_ а ф ( г , S ) j - i Я - ' С + " ) +

_ J L . f l

_ e ( s +

e ) ]

. i - ß M 1 - Ф <*. »)

s +

a

l - z ß ( s )

+ e ( s + a )

s

+ Е ( Д + Д ) . ! 1 - Р И . Ф ( Д ) - ф ( » + а - Д ф ( г . Д ) ) 1

s

1 — zß (s)j

J

(4.10)

| г | < 1 ,

R e s > 0 ;

в)

среднее

число

обслуженных

к моменту

t вызовов

задается

своим

преобразованием

Лапласа

pi(s)

Pi (s)

dp* (z, s)

• — Pj(s)

R e s > 0 ;

(4.11)

=

dz

| z = l

S '

г)

при малых

s

верно

асимптотическое

равенство

s 2 p 1 ( s ) ^ 1 -

l a ß , +

a2 ßa

I

а2фг« (а)

- } s

+ 0(s).

1 7

\

1

2 ( 1 — a ß t

)

2 ( 1 - е ( а ) + ш ф ) Ф і )

(4.12)

§ 5. Совместное распределение длины очереди и числа

обслуженных вызовов

Формулируемая

ниже

теорема

является

обобщением

теорем

§ 3 и § 4. Доказательство

аналогично.

р(т,

п, x,

t)dxdt

— вероятность того, что в момент

времени t

Обозначим

Р(у, г,

x,

t) =

£ р(т,

п,

x,

t)ymzn

(5.1)

оо

и

Р*(у,

z,

x, s) =

j V s ' P ( t / ,

z,

x,

Г) dt,

(5.2)

о

о

Т е о р е м а , а)

Р*{у,

z, x,

s)

находится по формуле

Р*(у,

z, x,

s) =

Г1

£ _ ( і _ Е ( 5 + А ) ) Ф ( г , s ) - e ( a +

s ) X

L

s + «

X

Ф (s +

a -

аф (z,

s)) j -

'

x |[1 - E (x)] e ~ ^ x + -Л-

x

X [1 — e (s + a)] x f 1 — В (x)] е-(*+я-ад>* x

1 _ ~ ф ( г '

s )

+

\—zy

ß (s +

a — ay)

+ e (s + a) x [1 — F (x)] e~<s+a-a^x

+

e (s -f a) [1 — В (x)] e - ( s + a - a ^ x

Ф ( 8 + а - а У ) - Ф ( 8

+ а - а ф ( 2 , 8 ) ) |

R e

1—z#

' ß (s +

a — a^/)

J

(5.3)

б)

в

частности,

P* {y,

z,

s) =

Г1

(1 — e (s +

a)) ф (z, s) — e (s +

a) x

L

s

+ a

/

,

ч /

s x

l - 1 f

1 — e(s + a)

a

X Ф (s + a — аф (z,

s))

. J

i - i - i

—

x

J

l.

s + a

s +

a

X [ l - e ( s + a ) I 1 - P ; ' +

fl-^)

.

^ Ф / 2 ; - )

+

R e s > 0 , | у | < 1 ,

| г | < 1 .

§ 6. Время ожидания

служивания вызовов, так и при инверсионном.

Обозначим через w(t) время

ожидания вызовом, поступившим

в момент t, начала обслуживания:

СО (s, t)

= Ше-™Ѵ\

(6.1)

Считаем

'выполненным условие

ненасыщения системы:

aßi < 1.

В этом

параграфе для случаев прямого и инверсионного

порядков

ные теоремам

1 и 2 § 9 гл. 1.

А. Прямой порядок обслуживания.

Т е о р е м а

1.

a) a>(s, t)

удовлетворяет системе

уравнений

оо

у

(О (s, t) =

Р 0

(0 + ^ dB (у) j е-*»-*

X Qt (ß (s), x,

t) dx

+

о

0

оо

y

+ J d F l

Q / ) j V ^ - * > Q i ( ß ( s ) , x,

t)dx, R e s > 0 ;

(6.2)

зовы, находящиеся в системе, — красные.

Имея под рукой вероятности Ро(0» Qi(z > х,

t)dx и

Q2(z,x,t)dx,

можно в преобразованиях Лапласа—Стилтьеса

найти

выражение

шим в момент

t.

Б.

При

рассмотрении

выражения

(3.6)

для1>*(2,

х,

s)

нетрудно

догадаться,

что функции

оо

оо

Q*(z,

X,

s)

=

j V '

^ z

,

X, t)dt,

Ql(z,

X,

s)= J é H " § 2 ( z ,

X,

t)dt,

0

ô

(6.9)

и при

рассмотрении

(3.6),

(3.7) функция

P*o[s) =

j V s ' P 0 ( O d s

(6.10)

о

имеет

следующий

вид:

Ql(z,

X,

s) =

[x(s)]-l-{-?—[l—e(s

+

a)(z-K(s))]

+ e(s

+

a)x

l

s +

a

X [ф (s

+

a

—

az)

—

ф (s

+

a

— ал

(s))]

1

} ~

B {

x )

е-ь+а-ацх^

J

1 — z 1 ß (s +

a — az)

(6.11)

0*2 (z,

X,

s) =

[ T ( S ) ] - 1

e (s

+

a) [ 1 — F (x)] е-<*+я-^>* ;

(6.12)

Po (s)

=

[т (s)j-i -

• » - ' ( « + ")

( 6 .13)

где

T (s) =

1

— (1 — e (s + a)) я (s) — e (s +

a) ф (s +

a—ая (s)).

В. Подставим

ß(s)

вместо

г

в

Qi(z,

г)

и

$г(г,

х, / ) . Тогда:

вероятность

того,

что

в момеат

t

уже

время х

как обслуживается некоторый вызов, а

за

время

обслуживания

вызовов,

ожидающих

в

момент

t,

не

наступала

катастрофа;

Q2(ß(s),

x,

—

вороятность

того,

что

в момент

t

уже

время х

со (s,

t)

=

Р 0 (/)

+

Сdß(y) Гe-»to-*)

Q

l ( ß ( s ) '

*' 0

dx

+

'

0 W

.)

.)

\\

—

ВШШ

о

г/

+

ГdF(y)

Г е-^-*>

Q 2 ( ß ( s ) ' *• *>

dx.

(6.14)

.)

J

[\—В{х)\

о

о

Пусть за время ожидания начала обслуживания вызовом, по­

ступившим

в

момент

t,

не наступает

катастрофа

(вероятность

со (s, t) ). Для этого необходимо и достаточно, чтобы

либо

в

момент

t

система оказалась свободной от вызовов, а

прибор — исправным (вероятность Ро (0);

либо

в момент

t

некоторый вызов обслуживался уже время х;

за время

обслуживания

вызовов,

ожидающих в

момент

t, не на-

л.

I

Qi (ß(s),

x, s)dx

остаточное

ступала катастрофа

(вероятность

—

и з а

время у—x

обслуживания

вызова,

находящегося на приборе в мо­

мент t, катастрофа

не наступала

(вероятность

е~^ѵ—х>—V

либо

t

х

1

—B(x)J

в

момент

уже

время

как

восстанавливается

прибор;

ступала катастрофа

(вероятность

Q2(ß(s), x, t)dx)

и за остаточ­

ное время

у—x

восстановления

прибора

катастрофа

не

наступала

(вероятность

е~sto~*>

d

F ^

^

1 - F W /

Для упрощения записи

обозначим

Q,(*.

x,

t)

= ^

J

L

;

QAz,

x, t)

= M

^

J

L .

z[\

—

В (x)\

1 —

F(x)

00

Q] (z,

x,

s) =

j * e~st

Qi (z, x,

t) dt

(t

=

1,

2).

ö

Таким образом, доказаны формулы

(6.2) — (6.6).

Д. Перейдем к доказательству второй части теоремы, вычисле­

нию со* (s,

ц).

оо

оо

у

со* (s,

rt-j

^

р 0

(*) d^ + j" d£(«/) J

Qi (ß (s), x, ц) dx +

0

y

0

0

oo

+ ^dF(y)^e-s<y-x)Q*2(p(s),

x,

ii)dx----

0

0

=

P*o

+ [т ОІ)] - І x

{ - ^ -

[ 1 - е (LI +

a)] (ß (s) - я (LI))

+

е ((г +

а) x

[ф (и- +

а — aß (s)) — <р (р, + а — а я (LI))] |

X

X

X

[dB(у)

l'e-sfe-*) x

e - ( n + a - a ß ( s ) > * +

о

о

оо

у

+ [т О)]-1

е (ц + а) X j ' d-F(y) J é?-^-** e - ( n + a - a ß ( s ) ) * ^

=

о

о

= И Ю Г 1

X { _ L z i ^ _ ± f [ ) _

+

( i _

e

+ a)) (ß (s) - я fo)) -f

+

e (LI +

a) • [ф (LI + а — aß (s)) — ф (LI + а — а я (LI))]

x

X

J

, „ л , I

<P(s) — ф(М^ а — aßjs))

I

+

е(іх + а ) Х

У ( » ) - Ф ( ^ ^ ° - ° Р ( « ) )

ц — s + a — aß (s)

[І — s + a — aß (s)

J

( ^ ) ] - 1

{

' ~ е

^ +

а )

+ —

(1 - е (и + a)) (ß (s)

-

я

(и))

+

e (LI +

a) x [ф (s) — ф (LI + a — а я (LI)]]

p. — s - f a — a ß (s) '

что

и требовалось

доказать.

Е. Инверсионный порядок обслуживания. Прерванный выхо­

дом

прибора

из строя вызов пропускает

вперед себя лишь

вызо­

оо

у

СО ( S , t) =

Р0

(/) +

J dB (у) j e~(s+a-anismy-X)

Qi fa d x

+

0

0

+

J

dF(y)

J er-(s+e-en(*))to-*) Q2 (*,

t) dx,

(6.15)

R e s > 0 , Qt(x, t) = Qt(\, x, t)

(t = 1, 2),

где Qi(l, x, t) (i = 1, 2) « P 0 (0 определены

в теореме 1;

б)

со* (s,

ц.) =

J e - n ' © ( s ,

t) dt

(г -t-

(1 — е ( ц +

а))я(ц) — е((х +

а)ф((д, +

а — ая((л)) 1

1 X

а

J

x / 1 — е ( ц + а )

_^

—5—(1

— е ( И + а))( 1 -

я (и))+е (jx+а) [Ф ((*)-

— <р (р, +

а — ая

я (s)—

ß(n)

ß ( H » ( H — s — а

+

а я (s))

+

е(ц + а)

Ф(* + « - Ш Х ( 5 ) ) - Ф ( Ц )

R e s > 0 ,

Rep,>0; (6.16)

p, — s — в ф а я (s)

в)

наконец, ©(s) = lim со* (s,

^) существует

и

равен

<-Н-оо

( 0 ( S ) =

-

1 -

aß!

( ( 1 - е (а)) (s +

a - а я

(s)).

1 — е (а) -4т ас (а) фі

— ае(а) x (1 — cp(s +

a — an(s)))

+ а ( 1 — я(в))] x

[s + а — а я (s)]-1 .

(6.17)

З а м е ч а н и е .

Первое

слагаемое

в (6.17)

задает

вероятность

свободного

исходили катастрофы; —-— [1 — е (s + а)] =

I егах [1 — Е (x)] d[\ —

s + а

J

о

бора наступали

катастрофы; до

наступления первой

катастрофы

оо

вызовы в систему не поступали; —-— [1 — е (s +

а)] =

\ e~sx

[1 —

s - f a

,)

—E(x)]Xd[l—е~ах]

— вероятность

того, что за

один

о

промежуток

Предполагаем выполненным

условие

стационарности a ß i < l .

Пусть П ( 0 — ф . р . периода

занятости

системы M | G | l | o o с

вызовов, как поступивших после начала обслуживания

некоторого

вызова, так и самого этого вызова, называем периодом

занятости,

связанным

с данным

вызовом.

плохим,

Далее,

вызов называется

если

за

период

занятости,

связанный с ним, наступила катастрофа.

Очевидно, что, во-первых, период занятости, связанный с дан­

ным вызовом, имеет распределение П(^)

и,

во-вторых,

поток

плохих

вызовов, поступивших

за время

восстановление прибора,

является пуассоновый с параметром а(1—я (s)).

Величина

cç>(s+a—an

(s))

— вероятность того, что за время

одного

восстановления

прибора не наступала

катастрофа и не по-

оо

ступали

плохие

вызовы;

^P0(x)d[l—

e~sx]

—

вероятность

того,

о

что первая катастрофа наступила в момент, когда система

была

свободна от вызовов, а прибор

исправен,

тогда

верна

формула

оо

s {e-sxP0(x)dx=

— [ 1

— e(s +

a)] i l — e(s + a)cp(s +

J

s+a

l

о

-f a — ал (s))

—

[1 — e(s +

a)l X n(s)V~\

(7.1)

s+a

)

J

s 4- a

о

ОО

00

X

Ç Р 0 (x) d [1 - е - " ] + - f - [ 1 -

e (s + а)] л (s) Г P0 (x) d (1 - e~»).

о

о

(7.2)

Докажем эту формулу. Пусть

первая катастрофа

произошла

в момент, когда система свободна

от вызовов, а прибор

исправен.

Д л я этого необходимо и достаточно, чтобы

бора не поступали плохие вызовы и не было

катастроф,

далее все

начиналось как бы заново;

либо

за первый промежуток

«жизни» прибора поступил вы­

зов, до поступления этого вызова не было

катастроф,

поступив­

ший вызов не являлся

плохим, далее все начиналось сначала.

При

s j 0 из (7.2)

находится

p0=\\mP0(t)

— стационарная

/-»00

Ро = [1 - e ß j - i ^ { і ^ ! > + Ф і е ( а ) } - 1 .

(7.3)

со (s, t) = Me-swW

и со (s, 0) = 0.

(7.4)

Имеет

место

1.

Пусть

выполнено

Т е о р е м а

a ß i < L

а)

тогда возможное

время

ожидания,

начинающееся

с момен­

та t, определяется

соотношениями:

t

СО ( S , t)

=

fc-a+^W j J

_ g J

e-[s-a+a$(s)]x PQ (x) dx

—

0

t

— {1 — Ф (s)} J" e-

[s-«+eßMl* P x (x) dx};

(7.5)

о

00

j e - s t Px (t) dt =

{1 — ф (s + a — an (s))}-1

{1 — (s+ a — an (s)) x

о

oo

x j V " P e

.

(7.6)

0