книги из ГПНТБ / Приоритетные системы обслуживания

в области ^

a3Rex3- <

^

а;. определяет единственное

аналитическое

j—k

/ =ft

решение

uki

= u w (xfc, • • • , хг)

такое, что \ukt\<Cl

(i =

1,

& — 1),

а также

при выполнении

(5.5) существует

предел

lim

wf e (xf e , . . . , x,) = а*_і.

(5.14)

л:у-»1—О

Здесь

=

аг +

• •. +

öft-i,

[ах]й =- akxk

-\- • • •

~j-

а г х г .

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Рассмотрим область

/=ft

j=k

ft-1

На окружности

| и | =

^

a{

справедливы

неравенства

i= î

A

A—î

Re (a — ы — [a*]fc) =- о — Re и — ^

Oj; Re xj

>

a — £

a4- —

y=ft

i= l

• £ a , ^ 0 ,

(5.15)

y=ft

ft-i

ft-1

2 ö ( ß i ( a — "— M * )

i=l

ft-1

< £ а , = |и| .

(5.16)

ft—1

г

г

и -л и — ^ аД . (а—-и—[а-^Ы

в области

^ a^Rex,^

a;-, а зна-

г = 1

/=ft

y'=ft

чит

система уравнений (5.13) в области ^

a 3 Rex 3 < : ^

а3- определя-

ет

единственное решение

/=ft

j=k

Единственность

решения

следует из

того,

что если

Uk\ , ..

Ukk-i — другое решение,

то ик

ft-i

удовлетворяет

уравнению

--= £ а^н

і=і

kft-i1

і=\

и — £

a fit {a — u —

[ax]k)

t'=l

ft-1

Uk.

и j U f t K ^ a y .

Следовательно,

uk

равно

Из

этого

и

уравнений (5.13)

вытекает

Uki

•-= Uki

(і =

1, k — 1).

Перейдем к

доказательству (5.14). Имеем

ft—i

й—i

| " f t - £ a

i | < £

a y j ß . ( 2 ) - l | ,

где обозначено

Z =

О — И е

— [°^]ft-

Продолжим

цепочку

неравенств,

заметив, что

f е~г

— 1 I <

j z I

при

Re z > О,

Ea ,:

ß,-(г ) - 1

1 = S a;1 ï(е~г'~!)dB>{t)\ K

/=2

/=1

Ô

ft—1

oo

ft—1

< £

a.

f |z| • Wß,.(0 =

£ а , - | а - и к

- М й і р д

<

/ = 1

ô

/=і

Здесь

/=1

/=1

y'=ft

cFft-i = a l T

. . . - f af e _i;

[ax]f e -

aftxfe

+

. . . - f a r x r

Итак,

ft—1

ft—1

r

I a, -

afe_,

I <

( £

с ^ д ) [ ик

-

аА _і ! +

( V

a fa ) | £

a,- (1 -

*,) |

/=і

4 /=i

/=ft

откуда

видно, что при выполнении (5.5)

lim

ик(хк,

. •. ,

xr)

= Ok-u

(Ѵ^Х)

=(ѴѴ

•••

,

Vk-U

xk,

. . .

,

xr).

Тогда

из (5.10)

будем иметь

^

Р<(*)

_

Pj(v{k)x)

(5.17)

для

(а-ах)

¥,і(а-а(ѵ^х))

Действительно,

так

как

правая

часть

(5.10) после

деления

на

ß t ( o — ах) не зависит

от хѵ

• • • ,х,-_і,

то вместо

них в

левую

часть

можно

подставить

любые значения

ѵи

• • • ,

ѴІ—\, где

jy. j < l ,

/ =

= 1, i—1.

Предельным

переходом

убеждаемся,

что (5.17) верно и

при Xç

= 0.

Положим хх = икх

(хк, ...

,

Хг),

...

,

Х к - Х

= икк-\

{хк, ...

,

хг).

Тогда в (5.12) на основании леммы первые k—

1 слагаемых

левой

части

обращаются в нуль, и мы получаем

£

Р , ^ ,

••.

^

. Х к

ХГ)

{

_

p (

а _

r

=

=

—P(O')

^ - » f e - M f e . ,

( 5

Л 8 )

CT

г

У р . (х) ^і — ß/( g — " f e — =

_

o — uk—[ax]k

p - 0

,

„

=

j

—

^

3

'

ß/((T — ах)

a

'

(5.19)

3. Вычисление P(0r ). Величины Pk

(x) можно

считать

найден­

ными, если удастся

вычислить

Р ( 0 Г ) . Приведем

два способа вычис­

ления

Р(0 Г ) .

условие Р(1г ) = 1. При х2

= ... — xr=

1. Используем

1 имеем

, .

Хл — ßi (а — ах)

1.

x, —J3, (а, — а,хЛ

_

—

.

,

0

ß u

;

l im

— - — ^ —

' =

lim — — i l L L J :

l + a 1

* , - + l — 0

1 —

X\

JC,-»1—0

1 —-*i

, i m

1 - В , ( а - « )

=

H m

l - f t ( « i - " i « i )

=

p

( . =

2

—

0

1 — Xx

Xi->\—0

1 — X,.

, .

ал; — 1

—

а,

lim

1

г

-

Р, ( 10 +

Р, ( 10ö l ß a = - ^

Р (00.

(5.20)

Аналогично

г

- Р Д 1 0

! ^ Р Л 1 0 ^ а =

- - ^ Р ( 0 0 (/=177),

(5.21)

откуда

(=1

Р ( 0 0 =

1 - а £ P , ( l ' ) ß ( 1 .

(5.22)

(=1

Подставим

в (5.21) значение

Р(0 0 из (5.22),

что дает

Р3 .(1') = - ^

(]=~П~0.

(5.23)

Из (5.22)

находится

P ( 0 ' ) = l - £ a < ß n .

(5.24)

а = о, ß(s) = ^ f ß , ( s ) , ß1 =

£ f c ß r t ,

І=І

f = i

(0(. (s) -

—

ft

-

—

( I 1 —

flt s

< 1 ) ,

а,-

(s)

(5.25)

откуда

видно, что для определения

cùt(s)

следует

определить функ­

цию Р 4 - ( 1 ' - \

l—aTls,

К - ') . Пусть

хі = 1

(j = k-\-I,

г);

хк

= 1 —sar1 ;

= "fei (**. • • • . xr)

(t =

1,

k—

1);

тогда из (5.17) будем иметь

ßfe (a — ax)

ßfe (s)

ß y ( f f - o r )

ß/(0)

a

U

ßt. (a — ax) = ßt. (s H - af t _i — uk);

qx— \ =

- ( s

+

aÉ _i — wft).

a

Подставляем

эти значения

в

(5.12),

откуда

определяется

P f t ( l f t — 1 ,

1 — a u 1

s, Y-k)

и из (5.25)

вычисляется

cofe(s)

г

<oft (s) = .

!=!

^ д

/ = f e + '

,

(5.26)

где положено

цк

= s +

af t _i — 0fe_i

(s),

(5.27)

a Jî.fe_i (s) определяется

равенством

ft—i

af e _i Uk-i (s) = £

at .ß, (s -f- af e _i — Ok-i nk-i

(s)),

t=t

которое определяет единственную функцию nh-i(s),

аналитическую

в полуплоскости Res>0, где выполнено

|jth_i(s) ( < 1 . Выражение

а)

существуют

lim

Ріп(х)

І\.(.ѵ),

P(x)

= Y

Pt(x),

причем

P ( l ' ) =

1;

б)

функции

Pi(x)

шаг

за

шагом

от i—r

до

і=\

вычисляются

из

системы

линейных

уравнений

г

V

Р

іх)

xJ

— $j(°—uk—lax}k)

^

_

o — Uk — [ax)k

р , Q r ,

k

^

— r

— '

J

ß, (о — ад;)

а

/=fe

где

функции

uk

определяются

в лемме

(стр.

120).

а == ах

-f-

. . .

+

а,,

[ах|А = akxk

+ . . .

- j -

а г х л .

Т е о р е м а

2.

£слы

то:

a i ß u + • •• + f l A i < 1.

а)

существуют

lim

Wkn{t)

= Wk(t),

k = \ , r ,

п->-\-<х>

где

Wk{t)

есть

собственная

ф. р.

(неубывающая,

непрерывная

спра­

ва и

Wk(+

оо) =

1);

б)

функции

Wk\t)

определяются

соотношениями

г

<dk

(1 —

2 <%ßü) (s +

°k-i

— ak-i

Ч-i

(s))

(s) =

—

— ok_x

_ _ _ _ _

+

s — ak +

a$k

(s - f ak_x

лк_х

(s))

r

2

û» H —

ßi (S + Ofe - l

—

Oft-l

%

-

l (S))]

I

t = H - l

af t ßf t (s +

afe_! — <Jft_, я А _ ! (s))

'

S — Oft +

где

k =

1,

r,

a

J T ^ - I

( S ) определяется

равенством

Gk~\

Jtft_i (s)

=

aßi

(s +

Ok-i — ov-i я*_і

(s)),

i—1

которое

определяет

единственную

функцию

jik-i(s),

аналитическую

в полуплоскости

Res>0, где

выполнено

|nf t _i(s) | < 1 ;

если

Ра =

а А і

+

• • •

+

Pl2 =

u l ß l 2 +

• • • + aiPl2>

со

- •

Р "

2 P è _l Pk

_

Prs

,

PnPk2

будет отличаться

от

COA(S) ИСХОДНОЙ

системы при том

же порядке

обслуживания вызовов приоритета

k.

Прямой

порядок

обслуживания

вызовов

приоритета

k. Так как

каждый

вызов

суммарного потока

с вероятностью

аі

О — Oft

(i = k+l,

г)

является

вызовом приоритета

і, то за длительность

новый с параметром

о—аь = аь+і + .. . + аг следует

принять ф. р.

г

г

ß(*)(s)^ У

a,Ms);

ß i f t , = Y

ß a

— .

Ьші

Jmmi

О

0ft

1 — 2

ö f ß h

-

(CT -

Oft) ß{*>]

(S + O f t _ !

-

Gk_x Zlk_x (S))

ю* (s) =

S — ak

+ ßftßft (s +

oft_!

—

л А _ !

(s))

(g — (jfe) [1 — ß<*> (s +

q f e _ ,

— ok__x

Kk_x

(s))]

s — ak +

a A ß f c (s +

af t _,

— of e _!

(s))

г

t = l

s — af t

+

a A ß f t

(s +

af c _!

— ok_x

я Л _ !

(s))

2

в ^ І

— ß / t s

+ O f c . !

—

CTfe_,

Itf c _!

(S)))

s — ak

+

a A ß A

(s +

0 А _ ,

— af t _!

nk_x

(s))

на прибор прерванного вызова

вызов

следует

обслуживать время

t, т. е. без учета времени имевшегося

обслуживания;

б) неидентичное обслуживание заново, при котором распреде­

ление длительности обслуживания прерванного

вызова то

же, что

и при первом поступлении на прибор этого вызова.

Основные характеристики

системы: время

ожидания

начала

одним потоком и ненадежным прибором.

Пусть нас

интересуют

— » - »

лишь характеристики вызовов приоритета

k для систем

M r | G r ( l | оо

1) Вызовы приоритета k + l, г не влияют

на характеристики

ß-того потока. Ведь при поступлении в систему

вызова приоритета

1, k, застающего прибор обслуживающим

вызов приоритета k+l, г,

происходит прерывание. Обслуживаемый

вызов вытесняется с при­

оритета выше k. Назовем этот промежуток временем

пребывания

вызова приоритета k на

приборе (в гл. 3 этот промежуток обозна­

чен сл. в. I) и пусть Hk(t)

— ф. р. этого промежутка. За

длитель­

мени «жизни» прибора в свободном состоянии равна

1 — е~° к ш ^ ,

o"è_i = а1 +

...

+ ök_i, а

ф. p. F(t)

последующего

восстановления

прибора равна

Ilk-i(t).

Таким

образом, при

получении

характеристик

/г-того

потока

-»

-*

для системы

M r | G r | l | o o

с

абсолютным

приоритетом в

системе

M | G | l | o o

с

ненадежным

в

свободном

состоянии

прибором сле­