книги из ГПНТБ / Приоритетные системы обслуживания

Отсюда имеем

сог. ( + 0 )

=

1, т. е. Wt(t)

есть

собственная

ф. р.

фор­

мулы

(2.2), (1.5),

(1.6),

(1.12)

дают

w * ( s ) =

<Ч

:

[ХІ (s) -kt(s

+ of_,)J +

•

( 2 - 3 )

(1 -

sa"1)

ф; (s)

Чтобы вычислить со,-(s),

нужно

знать

выражение

для

Р г ( 1 / _ 1 ,

1 - f

+ sa7"1, V-').

Положим

xj = 1 (/ = Ä +

1, r), xf t

= 1 — Sük \

xt

=

и й ( (xf t , ... , xr) (i

= 1, £ — 1).

Тогда

из замечания

1

следует

Xk [hk

(ö — ax) —

%k(e

—

[ax]k)]

+

ф*

(a

—

ax)

_

Pf e (lf e -',

1 - sa^ 1 ,

r~f e )

(1 -sa^1)

[Kk (s) -Kk(s

+ fffc_i)l

+

(s)'

Ä„ ( 0 — ax) =

Äft

(s +

af c _i — uf t );

n

с — сер ( 0 ) ] - 1 X

£

(x) — 1 =

— [ 0 +

£ =1

X

{(s +

0 Ä _ ! — u4 ) +

c [ l — 9(5 +

0* - , — uk)]\.

(2.4)

Подставляем

значения

(2.4)

в

(1.9):

^

.

[ i _ s

a - i _ /гА (s +

- uk)\

( 1 -

saj1 ) [Л* (s) -

%k (s +

a Ä _ ,)] +

Фк (s)

X [ l — ^ ( s + 0 f

t _ , — « , ) ] =

— Р(О г )[ а

+

с — с ф ( 0 ) ] - 1 X

X {(S +

0 f t _ i — uk)

+

с f 1 — ф (s +

0 f

e _ i — uk)]}

—

/=fc+i a

[1 — hAs

+ 0fr-i

— Ыь)1

Я ; - ( 5 ) - ^ ( а ; - 1 ) +

ф3.(5)

(2.5)

1

*'J

Окончательно

получаем

1 — Х К (s -f- 0"f e _i)

ю *

(s )

=

•

; — r r - ; —

i s

— ak

+

akhk

(цк)]~1

x

1 — 4

(и*)

1

— 2 а ' Л

' і

X

»=i

[uf t

+

C(1

—

ф

((Xfe))] -b

1 + С ф і

(2.6)

>ѵ

J ™ Я ; - ( * ) - М ^ - і ) + Ф;'(*)

где цк = s + ай _і

— а/ ; _іл,г _і (s).

Здесь ftft-i(s)

— преобразование Лапласа—'Стилтьеса от ф. р.

сведенной

системы

обслуживания.

обслуживания m (s)

Б. Для исходной и

сведенной систем

(i = 2,r)

различны,

так

как в сведенной

системе обслуживания

вызова в систему (того же приоритета,

что

и

«потерянный»

вы­

зов), а для этого нового поступившего вызова существует

свое

время ожидания. Но ол (s)

для

обеих систем

одинаково. Таким

образом, для вызовов приоритета

/ верна

формула

м і (s ) = [s — a i f aA

(s)] — i

1

+ С ф і

[5 +

с ( 1 - ф ( С ) ) ]

+

-i-y a

a - M s» a - M s »

, 2 7 >

! 4-J j

А,у(5) +

ф у ( 5 ) - А , / ( 0 / - 1 )

'

В. Задача нахождения

toft(s)

для

исходной системы

при

ваться

соотношением (2.7)).

а)

Пусть

і-цикл

(i = k, г)

есть

промежуток,

включающий

в себя

один

промежуток «жизни»

прибора при

обслуживании

вызова

приоритета

і, в конце

которого

(промежутка

«жизни»)

прибор

выходил из

строя, и

промежуток

последующего

восста­

новления прибора. При нахождении

m (s)

цикл удлиняем, вклю­

вов приоритета

выше k, связанных с вызовами,

которые поступили

в течение этого

цикла.

Обозначим

через Лг-_й+і (t)

распределение

удлиненного таким

образом цикла. Имеем

(s) =

М ^ )

(i = k~7).

(2.8)

служивания вызовов приоритетов і.

Обозначим распределение

этого промежутка через Ф{-к+і(і) (i = k,

г). Тогда

ф £ _ / г + 1 (s) - ф , ( ^ ) (i^-k,r).

(2.9)

hi-k+l (s) = h, (\ik) А , _ № 1 = - ^

(і=ТГг).

(2.10)

Pk-i

E(t)=

\—е~{с+ак-^[

(2.11)

За ф. р. длительности

восстановления

прибора

следует

принять

функцию Fo(t),

где

(2.12)

Фоі =

;

{Pfc-п + С ФХ }-

Pfe-i c-t-a/,.!

Таким образом, получилась система обслуживания,

аналогичная

исходной,

куда поступают

п—k+l

пуассоновых

потока L h ,

L r

с параметрами ак,

аг соответственно. Ф. р. времени пребывания

на приборе вызовов потока

Lj(j

— k,

г)

в

узком смысле

равна

-h+i(t),

ф-р. времени «жизни»

прибора

в

свободном и

исправ­

ном состоянии

есть 1—ехр{(с + о"й_і)/},

а

ф. р. последующего вос­

становления прибора

равна

F0(t),

причем для &-того

потока

исход­

ной системы и первого потока полученной

ф. р. времени ожидания

начала обслуживания

совпадают.

cùk(s)

Г. Для исходной

системы

обслуживания

находится

по

соотношениям

m (s) = [s — ak

+ akhk (\ik)]~1

I

—

-

—

[s +

cep (pA ) - f ok-\

щ~\

(s)] +

вышел из строя, то после восстановления прибора

этот

вызов

может продолжить свое обслуживание, но лишь в

случае,

когда

ритета выше і, т. е. в этом случае

вызов приоритета

і

в

очередь

не возвращается.

Обозначим

через Ri(t) вероятность

того,

что вызов

приорите­

та і, поступив на прибор, за время

= ^

либо

закончил

свое обслу­

живание, либо

вернулся

обратно в

очередь

(вследствие

наличия

в очереди вызовов приоритета выше

і).

Положим

°

І = а і +

• • • +

a i

(і

=

l, r), а =

ar.

(3.1)

Приемом катастроф

просто

доказывается

уравнение

ri (s) = Ф, (s) +

\%t (s) - X .

(s +

a,_,)] +

h

(s +

at _,)

rt (s)

(i

= V~F),

откуда

rt(s)=

^ ( s ) - h ( s

+

Qi.l)

+

^(s)

{ i =

YTr).

(3.2)

пребывания на приборе. Обозначим через wk(t) время,

которое

пришлось бы ждать вызову приоритета k, поступившему в

момент

Подробнее, wk(t)

— время, начинающееся с

момента

t, до

первого

момента, когда осуществятся

следующие

три

события:

1) закончится «обслуживание» вызовов приоритета k и выше,

поступивших до момента t;

момент t

2)

восстановится

прибор, если в

он

неисправен

(прибор вышел из строя в свободном

состоянии);

3)

закончится

«обслуживание»

вызова

приоритета

/

(j = k+l,

г)

или этот

вызов возвратится обратно

в очередь,

если

в момент t

таковой вызов «обслуживался».

Pj(t)dt

— вероятность того, что в момент t вызов приоритета

/ ( / = 2, г)

поступил

на прибор

(независимо

от того, был ли он до

момента t на приборе или поступил на прибор впервые).

Положим

со.(s, t) = Ме~шью.

(3.3)

Предположим

выполненным условие существования

стацио­

нарного распределения

« 1 * 1 1 + • • • + я Л і < 1 -

(3 -4)

Приемом катастроф

легко

доказывается

соотношение

k

k

e

= er«

coft (s,

t) + j

P0 (x) e '=»

d [ 1 -

e~sx] +

- f J P i ^ e '=»

du

F(x — « ) ] d [ l — e-s*] +

0

u

fe

r

-2"і(1-Ѵ»»«-")

oo

+

j

|P; -(")e

'=>

du ( [ l - i ? ; . ( x - « ) ] d [ l - e - " ] ,

y==fc+l

0

й

(3.5)

или

после

упрощений (использовали (3.2)),

[s ~ 2 ai{X~hi(s))]

'

ft ft

'

_

[s - 2 a'(1_A<<s))] *

<ùk{s,t) = e l=x

j l — s^Р0

(лг)

e

1 = 1

dx —

о

ft

— ( 1 — 9 ( s ) ) J p i ( x ) e

dx —

r

t

-

[ s -

V

a .(l-ft£

(s))] x

_ V

f p (

x )

e

L

Ä

J * A

(3.6)

Аналогично

§ 6 гл. 8 выводятся

уравнения

оо

оо

Ге - « Р , (х)dx +

i - q X s + g f e - ^ l f t i f ) ) . Г e - s x P i ( j c ) r f x .

.)

s — ak — aknk(s)

.1

о

... y l-r,

о

( s + 4 - 0 ^ ( 3 ) )

Ce-sxp{x)dx

=

/=fc+i

s-\~ok

— ekiik(s)

о J

- [ s - ^ t - f f A i s ) ] - 1

(k=\,r—\),

(3.7)

со

s f e~sx P0

(x) dx =

— [1 — e (s +

G)] X

J

s + cr

0

X h—e(s

+ o — on(s))

— [ 1 — 'e(s-f-a)]

J I ( S ) \ - 1 , (3.8)

{

s + e

'

)

где Я/г (s)

определяется

из функционального

уравнения

к

Re s > 0,

o-fe Щ (s) =

£

а Д (s + ak

— aknk

(s)),

| лк

(s) j <

1 (k =

1, г),

(3.9)

я (s) =

я, (s),

a r,-(s) задается формулой

(3.2).

В. Обозначим через wh(t)

и üf e (/)

возможное время

ожидания

и возможное время пребывания в системе вызова приоритета k,

поступившего в момент t,

соответственно. Положим

(ofe(s,

t) ^me~swk(t),

(3.10)

f}fe(s,

t) = _Me~Ï O *.w .

(3.11)

Легко видеть, что

(ok(s, t) =[(ok(s

+

ak-i — Gk-ink-i(s),

t).

(3.12)

Комбинируя

формулы (3.6),

(3.9) и (3.12), получаем

t

со*(s, t) = е[5~ак+акЧ^{!_,fejpo(x)

V W

*

^

-

о

— ( 1 — Ф Ы )

Px

(x) e - f e - ^ + V W " * ^

-

ö

-

y

1

- xi bu -

Ф/

fr*>

Г P. (x) e - [ s - a f t + V

W * rfx l

(3.13)

I - M I *

+

*M>

J

Г

где

Hk = s + Ok-i — af e _i nf e _i (s).

Таким

образом,

coé

(s,

определяется из соотношений

(3.13), (3.7)

(3.9),

(3.2),

(1.1),

(1.2),

(1.4).

Далее,

r)fe(s,

t) находится из уравнения

(s,

t) = щ (s, t)

4>fc(s)

Я Й . ! (s))

(3.14)

1 — Xfe (s + CTfc.j — afe.i

что легко доказывается

приемом

«катастроф», если

представить

выра­

жение

(3.14) в

виде

т>А (s, 0 =

со,* (s, 0 фь (s) + Kk

(s + 0f e _ i — afe_! яй _і (s)) ftfe (s,

t).

Г. Найдем стационарное распределение времени ожидания и

времени пребывания в

системе

вызова приоритета

k(k=\,r).

Из

(3.13)

при t—>- + оо по правилу

Лопиталя получаем

со* (s) =

li m (oft (s, t)

[s — ak + akhR (pk)]~1

x

X | w < + M i - , w ) + s ,

' , ~ x t ; y }• ( З Л 5 )

Как известно (см. (6.9) и (6.15) гл. 8),

Po =

lim Р о (0

1 - е ( 0 )

l - e ( o )

^-»-|-оо

і = 1

(3.16)

= lim P, (0 =

e (a) Г1 — Va,A, .

l - e ( o )

+ ф х е ( а ) |

',

P l

(3.17)

а из (1.1) и (1.2) следует

М 0 ) ' + ф , ( 0 ) = і

(І = Т7^).

(3.18)

Устремляем s \ 0 в

(3.7). Используем

(3.9)

Xjl = -b',(0),

ф.1 = _ ф . ( 0 ) ,

откуда

-

_

a/ft,-i(i — ^(д/-і))

(3.19)

1

bji + Ф/х

Стационарная

ф. p. Vh(t)

времени пребывания

вызова

приори­

тета k в системе определяется из уравнения

vk (s) =

lim vk

(s,

t) =

»*(«)Ф*С)

.

(3.20)

t->+™

i — M(s-{-Ok.i

—

Ok-iiïk-i(s))

§

4.

Виртуальная

длина

очереди 1

В настоящем параграфе ищем длину очереди в нестационар­

ном режиме работы для СМО с относительным

приоритетом и не­

надежным прибором.

С вызовом, обслуживание которого прервано выходом

прибора

из строя, поступают по-разному. Вызов может теряться

(случай

1),

дообслуживаться

(случай

2),

обслуживаться

заново

(случай

3).

Как

и ранее, различаем

идентичное и неидентичное

обслуживания

заново.

В начальный момент система свободна от вызовов, а прибор

исправен.

А. Предварительные замечания. Сохраняются обозначения § 2

гл. 4 и аналогичные определения.

Вызов приоритета k

(k = l,r)

считаем

красным

с вероятностью

Zk

( 0 ^ г й ^ 1 )

и

синим

с

дополнительной вероятностью

1—zk

ненадежного

одинаково.

я (s)

Поэтому_при

вычислении функций hk(s),

nkh(s),

nui(s),

nh(s)

(k=l,r,

i<k)

можно

пользоваться

уравнениями

(2.1)

§ 2

гл. 4, кроме первого, которое затрагивает строение самого

k-цикла.

Это

уравнение, выражающее

hk(s) через

ok-\nk-\{s),

дано

в

тео­

реме.

Б. Формулировка результатов. Т е о р е м а .

Функция

P(z,

s) —

преобразование

Лапласа

от производящей

функции

числа

вызовов

в системе находится по

формуле

4z, s) = il

l-—e|s

+

0

)

а я (s) — e (s - f a) <p (s + a — an (s))\

1 x

l

s +

cr

J

X { l ~ s + t 0 )

[ 1

+

0 Я ( 2 ' 5 ) ]

+

6 ( S +

а )

Я ( ф ' г ) { Z ' S ) } ' ( 4 Л

)

где

on

(2,o s)l

= %V

fe(2'

nk(z,

2 s)

. ,

{oÄ zf t +

afe_, я й _ !

(s +

[а -

аг]Е )

-

—

г* — hk (s - f -

fa — az\k)

fc=i

— a A

( s +

[a — az]k+i)},

(4.2)

1 — tj. (s

-

a — az)

, V

hk(z,

s)

x

sS +

0 — 02аз

fe=i2bZfe —

(s - j - [a — az]f t )

X {я( ф і к_і) (s +

[o — az]k) — я (

ф

і w (s +

[a — azjfe+i)},

(4.3)

[a — az]fe =

ak(\

— zk) + ...

+ar{\—zr)

(k=

1, r);

a — az =

[a—az]^,

[a — az]r +; =

0.

Функции

Я(а,ft) (s)

задаются в лемме

4 § 2 гл. 4. Функции

hh(z,

s)

(k = \,r)

в каждом

из

случаев

определяются

по рекуррентным

со­

отношениям.

С л у ч а й

1.

h t-,

с\ — У

1

—

(S +

Ö — ÛZ) — gfc (s +

0 — 02)

"ft lz > s ; — zft

"

S-\-G

— 02

gk(s

+ o — az)-

1 — d (s -f- 0" — 02)

s-4-a — az

ft-i

S

ГТ^ГТ?

ГГ

K a f c , f - . ) ( s + [ a - a 4 . ) -

zi — ht

(s +

[0 — az]t)

n

i=\

— Щак, i) (s +

[a — az](+i)},

(4.4)

Здесь

Afc

(s) = aA (s +

afe _i — ok-\

nk-\

(s)).

(4.5)

oo

bk{s)

= \e-«[\-C(t)\dBk{t),

(4.6)

о

= ]e-*<[l-Bk(t)]dC(t).

(4.7)

о

aft (s) = 4>f t (s)+&(s)d(s).

(4.8)

hk

(z s) = Zk

' Ы 0 / 2 ' s) — ф f e ( s + o- — а г / z , s)

s -j- а — az

'gk

(0/z,

s) — gf e (s + g — az/z,

s)

s -f- a — az

+

(s + a — az/2,

s)

1 — d (s +

a — az)

s -f- о — az

ft—1

+

У!

,

/ ( 2 ' f S

)

—

К

К - і (г, s)/z, s] — afc[|x, (г, s)/z, s]},

^"J

Z; — h; (s +

[CT — az];)

(=1

(4.9)

где

s) =

оо

t

e -

^ -

i ( 2 -s ) "

x

ФА (A-/Z,

ф й

(A,) +

d (ц,_, ( 2 ) s)) j

d ß Ä (0

j

6

« = 0

X /? [d ((ift-i

(2, s)), u] [1 -

С (t -

u)] e-W-*

d © (и),

(4.10)

oo

t

gk

(tyz, s) =

£f t

(X) + d (u.fe_, (z,

s)) j

dBk

(t)

j

e ^ * - ^ " x

0

u—0

t—u

X /?[d((ift_i(z,s)),

u]dS(u)

j e - ^ d C ( y ) ,

(4.11)

ak

о =0

(к/г,

(fyz, s) =

фй

(tyz, s) +

zft

d (K) gk

s)/

(4.12)

oo

« * ( s ) =

f e ~ ^ d g ( 0 =

,

C ( S ) ,

ч

,

(4.13)

J

1 —

с (s)

о

0 0

r(z,s)

= \e-«R(z,

t)dt=

r | ~

C

( ' \ ,

,

(4.14)

J

s [ l - z c ( s ) J

о

0 0

hk(s)

=

[ Ridais)),

і ]

е

-

^

и

dBk(t),

(4.15)

о

|ift_i (s)

=

s +

crfe__i — afe_, Jtfe_i(s),

м-fe—I (г,

s)

=

и/г—i (s

+

[a —

az]k).

С л у ч а й

3.

a)

неидентичное

обслуживание

заново

К

(г.

s)

=

[1 — d (u.fe_i (z, s)) • gk

(г, s))]~1

x

X I

— — ^

[ 1 — ф й

(s + a — az) — gk

(s + a — az) d (s + a — az)] +

(.

s ö — az