книги из ГПНТБ / Приоритетные системы обслуживания
..pdfв) |
при ß ß i ^ l ф(2, |
s) |
представима |
в |
виде |
|
|
|
оо |
|
|
|
ф(г, |
s).-. ^ег**аФ(г, |
t), |
|
|
|
|
|
о |
|
|
где Ф(г, |
t) —неубывающая |
|
по t функция |
и |
Ф ( 1 , + оо) = 1. |
Доказательство этой теоремы аналогично доказательству тео ремы § 2 и теоремы § 3. Поэтому на доказательстве мы останав ливаться не будем.
Б. Как и в предыдущем параграфе, О-моментами называем моменты начала или окончания обслуживания вызовов. Пусть фиксирован некий момент окончания обслуживания вызова (0-мо- мент) внутри периода занятости и взята вероятность того, что в
периоде занятости до этого момента |
обслуживались |
лишь |
красные |
|||||
вызовы и не наступала катастрофа. |
Сумму всех |
таких |
вероятно |
|||||
стей для одного периода занятости |
обозначим через |
p(z, |
0, |
5). |
||||
Л е м м а . Имеет место |
равенство |
|
|
|
|
|
||
Р(?, 0, s) — |
* ( ? - » |
( Д ' 8 ) . |
|
' * І < 1 . |
R e s > ° - |
|
(б-З) |
|
|
1 — zß(s) |
|
|
|
|
|
|
|
Д о к а з а т е л ь с т в о |
л е м м ы . |
Для того чтобы читатель при |
||||||
вык к нашим рассуждениям, докажем |
формулу |
(5.3). |
Величина |
|||||
2ß (s) •— есть вероятность |
того, что |
в |
момент окончания |
обслужи |
||||
вания первого вызова были обслужены лишь красные |
вызовы |
(т. е. |
||||||
сам первый вызов является красным) |
и за время |
обслуживания |
||||||
первого вызова катастрофа не наступила. |
|
|
|
|
||||
Величина p(z, |
0, s)zß(s)—сумма |
|
вероятностей |
того, |
что к |
|||
0-моментам внутри |
периода занятости |
были обслужены лишь |
крас |
ные вызовы без катастроф и катастрофа не наступила за время
обслуживания следующего |
вызова, |
являющегося |
красным. |
|
|||||
Иными словами, |
p(z, 0, |
s)zß(s) |
есть сумма |
вероятностей |
того, |
||||
что, начиная с момента окончания |
второго обслуживаемого вызова |
||||||||
в периоде занятости |
(если |
за период |
занятости |
было |
обслужено |
||||
не менее двух вызовов), к 0-моментам |
были обслужены |
лишь |
крас |
||||||
ные вызовы и не наступали |
катастрофы. |
|
|
|
|
||||
Тогда zß(s)+p(z, |
О, s)zß(s) |
есть |
сумма |
вероятностей |
того, |
что в периоде занятости к моментам окончания обслуживания вы
зовов |
(считаем и эти вызовы) |
обслуживались |
лишь |
красные |
вызо |
||||||||
вы и не наступала |
катастрофа. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Теперь легко |
видеть, что |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
р (г, О, |
s) = 2ß (s) |
- I - |
р (z, 0, |
s) zß (s) |
- ф(2, s). |
|
|
|
(5.4) |
||
Величина |
ф(г, s) |
появляется |
в правой |
части |
(5.4), так как |
в |
левой |
||||||
части |
p(z, |
0, s) есть сумма |
вероятностей в |
0-моменты |
внутри |
пе |
|||||||
риода |
занятости, |
а ф(2, s) |
относится |
к концу |
периода |
занятости. |
|||||||
Соотношения (5.3) |
и (5.4) эквивалентны. |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
В. Формулировка результата. Обозначим |
через |
Pk(x, |
t)dx |
ве |
|||||||||
роятность |
того, что к моменту |
времени |
t в периоде |
занятости, |
|
дли- |
21
тельность которого больше t, обслужено |
k вызовов и с последнего |
|||||||||||||||||
0-момента прошло |
время х. Нас интересует вероятность |
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
00 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Р* (0 |
|
j'Pf e (*, |
t)dx. |
|
|
|
|
|
(5.5) |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
ô |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Положим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Р(г, |
X, |
t) = |
£ |
p*(*- |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
P(z, |
0 = |
£ P*(')z*. |
| г ; < 1 ; |
|
|
|
(5.6) |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
00 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p (г, |
*, |
s) = |
J' e~st P (z, |
X, |
t) dt\ |
|
|
|
|
(5.7) |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
ô |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
oo |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p(z, |
s) = |
je~ s 'P(z , |
t)dt. |
|
|
|
|
(5.8) |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
о |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Очевидно, что |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
00 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p (z, |
s) = |
j " p (z, |
X, |
s) dx. |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
о |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Т е о р е м а |
2. |
a) |
p(z, x, |
s) вычисляется |
из |
соотношения |
|
|||||||||||
|
|
|
p (z, |
x,s)=--[\-B |
|
|
(x)} er" |
1 |
~ ф { г |
' 8 |
} |
, |
|
(5.9) |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 — zß (s) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
j z | < l ; |
R e s > 0 ; |
|
|
|
|
|
|
|||||
б) |
производящая |
функция |
P( z, |
t) |
числа |
обслуженных |
к мо |
|||||||||||
менту |
t в периоде |
занятости |
вызовов |
|
определяется |
|
своим |
преобра |
||||||||||
зованием |
Лапласа |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
p |
[ z , s |
) = |
± = |
m . |
' |
- |
Ф |
^ |
, |
| z | < l , |
R e s > 0 . |
|
(5.10) |
||||
|
|
|
|
|
s |
|
|
1 —zp (s) |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Здесь |
ф(г, s) |
задается |
теоремой |
1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Д о к а з а т е л ь с т в о . |
sp(z, |
x, |
s)dx-—вероятность того, |
что в |
||||||||||||||
периоде |
занятости |
первая |
катастрофа наступила |
в |
момент, |
когда |
||||||||||||
с последнего О-момента прошло время х и были обслужены |
лишь |
|||||||||||||||||
красные |
вызовы. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Первая катастрофа |
может |
наступить |
или во время |
обслужи |
||||||||||||||
вания первого вызова, когда с |
начала |
его обслуживания |
прошло |
|||||||||||||||
время |
x |
(вероятность |
{ 1 — В (x) ]e~sx) |
; или во время |
обслуживания |
других вызовов в |
этом же периоде занятости, когда все обслужив- |
|
шиеся вызовы — |
красные, |
а с последнего О-момента прошло вре |
мя x (вероятность p(z, 0, |
s)[l—В(x)]e~s x ). |
22
Следовательно,
p(z, X, s) = [\—B{x)]e-s* + p{z, 0, s) [I — B(x)] e~sx. (5.11)
Подставляем в (5.11) значение p(z, 0, s) из (5.3), что дает (5.10).
|
|
|
|
§ 6. Виртуальная длина очереди |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
Основываясь на результатах § 4, очень легко |
можно |
получить |
||||||||||||||||||
распределение |
числа |
вызовов в |
системе |
в |
момент |
времени |
t. |
|||||||||||||
А. |
Обозначим |
через |
Р^(л', |
t)dx |
вероятность |
того, |
|
что |
в |
мо |
||||||||||
мент времени t в системе присутствуют k(k^0) |
вызовов, |
а |
с |
по |
||||||||||||||||
следнего 0-момента прошло время х. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
Положим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
P*(z, |
X, |
s) |
=-= |
2 |
\ e~st*kix, |
|
t)zkdt^-- |
j |
e~stP{z, |
|
x, |
t)dt. |
|
|
(6.1) |
|||||
|
|
|
|
fe^OO |
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Теперь |
sP*(z, |
x, |
s)dx |
можно интерпретировать |
как |
вероятность |
||||||||||||||
того, что первая катастрофа наступила в момент, |
когда |
все |
вызо |
|||||||||||||||||
вы в системе |
были |
красными, |
а |
с последнего 0-момента |
прошло |
|||||||||||||||
время |
х. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Нас интересует |
вероятность |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
р* (z, |
s) |
= JP*(2, |
x, s)dx, |
|
|
|
|
|
|
|
(6.2) |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
б |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
являющаяся преобразованием |
Лапласа |
от |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
fe>0 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
производящей функции числа вызовов в системе |
в |
момент |
|
време |
||||||||||||||||
ни t. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Б. Формулировка результата. Имеет место |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
Т е о р е м а , |
a) |
P*(z, |
x, |
s) |
удовлетворяет |
следующему |
|
соотно |
||||||||||||
шению: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Р* (z, |
x, |
s)^[s-i-a |
|
— an |
(s)]-1 |
|(s + |
a) e -<s +a >x + |
а |
[1 — В (x)] |
x |
||||||||||
|
|
|
X |
|
2 - |
Л (S) |
|
g-ts+e-«)* \ |
|
|
|
|
|
(6.4) |
||||||
|
|
|
|
|
1 — z ~ 1 ß ( s + a — а г ) |
|
|
J |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
| z | < l f |
|
R e s > 0 ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
б) |
в |
частности, |
распределение |
длины |
|
очереди |
|
определяется |
||||||||||||
формулой |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
23
|
|
Р* (г, |
s) ^ j Р* (г, X, s) dx |
[s - j - |
a —an |
(s)]-1 |
x |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
о |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x J l - ' a |
i - H s + a-аг) |
|
^ |
J - n ( s ) |
|
|
ï |
|
( |
6 |
|
||||||
|
|
i |
|
s-i-a —az |
|
1—г |
'ß(s4-a — аг) |
/ |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
| z | < l , |
R e s > 0 ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
в) |
средняя |
длина |
очереди в момент t задается |
своим |
преобра |
||||||||||||||
зованием |
Лапласа |
Pi(s): |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ß(s) |
1 — я (s) |
|
^ |
^ |
|||||
|
|
|
|
Ö2 |
г=і |
s2 |
|
s |
1 — ß(s) s 4 - а — ая(«) |
|
|
|
|||||||
З а м е ч а н и е |
1. Из |
(6.6) можно |
получить |
главный |
член |
асимптотики |
ве |
||||||||||||
личины |
sPi(s) разложением этой |
функции |
в |
ряд по степеням |
s. При |
малых s |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
+ |
2 ( |
; ^ |
х ) . |
|
|
|
|
|
|
(6.7) |
||
Заметим, |
что разложение |
производилось при a ß i < l . |
Когда |
s \ |
О, |
получаем |
ста |
||||||||||||
ционарное среднее число вызовов в системе. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
В. Д о к а з а т е л ь с т в о |
т е о р е м ы. Представим |
(6.4) в |
виде |
||||||||||||||||
|
|
sP* (z, x, s) dx — é~is+a)x |
sdx 4 — -— sn (z, x, s) dx |
+ |
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
s 4-a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
— я (s) P* (z, x, |
s) dx. |
|
|
|
|
|
(6.8) |
|||||||
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
x, |
s) |
|
|
|
|
|
|
|
|
Отсюда |
при подстановке значения |
я (г, |
из (4.6) |
следует |
|||||||||||||||
(6.4). Теперь докажем |
(6.8). Пусть |
первая |
катастрофа |
наступила, |
|||||||||||||||
когда все вызовы в системе |
оказались красными, |
а |
с |
последнего |
|||||||||||||||
0-момента прошло время х (вероятность |
sP*(z, |
x, |
s)dx). |
Для это |
|||||||||||||||
го необходимо и достаточно, |
чтобы |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
либо |
первая |
катастрофа |
наступила |
в первом |
же |
|
промежутке |
||||||||||||
свободного состояния |
прибора |
в момент |
времени |
х |
|
(вероятность |
|||||||||||||
e-(s+a)xs |
fa) . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
либо |
первый |
период занятости |
начался |
раньше, |
чем |
наступи |
|||||||||||||
ла катастрофа (вероятность |
— - — ) , |
и |
первая |
катастрофа |
насту- |
пила в первом периоде занятости, когда все вызовы в системе
оказались красными, |
а с последнего 0-момента прошло |
время х |
(вероятность sxc(z, x, |
s)dx); |
|
либо ни за первый промежуток свободного состояния |
прибора, |
|
ни за первый период |
занятости не наступала катастрофа |
(вероят |
н о с т ь — - — я (s)), а далее все начиналось как бы заново, |
так как |
|
[s Ar а |
|
|
моменты окончания периодов занятости являются точками реге нерации (см. § 3 доп.) (вероятность sP*(г, x, s)dx).
Теорема доказана.
24
З а м е ч а н и е 2. При подстановке в (6.5), помноженного на s, 2= 0 полу чаем преобразование Лапласа—Стилтьеса sPQ (s) от вероятности того, что в момент t система свободна от вызовов
def |
^ |
(6.9) |
sP* (s) = |
sP* (0, s) = s [s -{- a —an (s)]~]. |
|
§ 7. Возможное число обслуженных вызовов |
||
А. Настоящий параграф является естественным |
продолжением |
§ 5. Обозначим через P ( z , х, t) вероятность того, что в момент времени t с последнего 0-момеита прошло время х, а к этому мо
менту оказались обслуженными лишь |
красные |
вызовы. |
Нам нуж |
||||||||||
ны вероятности |
Р А ( 0 того, что к моменту |
t обслужены |
k вызовов. |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
оо |
|
|
|
|
|
|
Положим |
Р*(Г > х< s) |
— \ e-~siP(z, X, f)dt, |
|
|
(7.1) |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
ô |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
оо |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
P(z, t)= |
\Р(г,х, |
|
t)dt, |
|
(7.2) |
||||
|
|
|
|
|
|
|
о |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
оо |
|
|
оо |
|
|
|
|
|
|
|
Р* (z, s) == |
j" Р* (z, ж, s) dx -= j ' е- siP (z, t) dt. |
|
(7.3) |
|||||||||
|
|
|
|
ô |
|
|
ô |
|
|
|
|
|
|
Очевидно, что |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
Р ( г , 0 - = £ Р * ( ' ) 2 * . |
|
|
(7-4) |
|||||
Следовательно, |
нам необходимо |
найти P*(z, s). Тогда |
(7.3) |
||||||||||
задает P ( z , /) |
и, разложив |
P ( z , £) в ряд по степеням |
z, |
можно |
|||||||||
получить искомые вероятности Р&(0- |
|
|
|
|
|
|
|||||||
Б. Формулировка результата. Верна |
|
|
|
|
|||||||||
Т е о р е м а , |
a) |
P * ( z , х, |
s) |
вычисляется |
по |
формуле |
|
|
|||||
Р* (z, я, s) = |
[s |
L a — аф (z, s)]-1 |
|(s |
- f a) e~<s+û)* |
J . |
|
|||||||
+ |
a [ |
l - ß |
W |
] r |
» |
± ^ M |
| |
, |
| 2 | < 1 , R e s > 0 , |
(7.5) |
|||
|
|
|
|
|
|
1 — zp (s) |
j |
|
|
|
|
|
|
где ф(г, s) |
является |
|
единственным |
решением |
функционального |
||||||||
уравнения |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ф (z, s) = zß (s - l a — аф (z, s)), |
|
|
|||||||||
в области |
| z | < 1, |
Re s > 0, |
где выполнено |
| ф (z, s) | < |
1, a |
ф (z, s) |
|||||||
представима |
в |
виде |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
25
|
|
|
|
|
|
|
ф(г, |
s) = |
j V s ' * D ( z , |
t) |
|
|
|
|
|
|
(7.6) |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
{здесь |
Ф (г, 0 |
неубывающая |
функция |
и |
при a ß t |
< |
1 Ф ( 1 , о о ) |
= |
1); |
|||||||||||||||
б) |
|
в |
частности, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
? |
|
(г, S ) |
[s + а - |
аф (г, s)]"1 |
{ 1 ! |
а 1=Ш |
. |
' |
" |
^ |
f |
j |
, |
|
(7.7) |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
I |
|
|
|
s |
|
1 — zp (s) |
J |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
| г | < 1, R e s > 0 ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
в) |
|
среднее |
число вызовов, обслуженных |
до момента |
t, |
задается |
||||||||||||||||||
своим |
преобразованием |
Лапласа |
|
рх |
(s) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
р |
(s) |
^ |
д/Г*(г, s ) |
I |
_ |
JL |
. |
ß ( s ) |
s |
l — я |
(s) |
|
|
|
^ 7 |
|
|
||||
|
|
|
1 |
|
|
<Эг |
|
'z=i |
s |
|
1 —• ß (s) |
I a — а л (s) |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
З а м е ч а й |
и е. Из (6.7) |
следует, что при малых s |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
s*pt (s) = I - |
faß! + |
0 |
, , a 2 ß 2 |
R , |
W |
o |
(s). |
|
|
|
(7.9) |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
V |
|
2(1 — aßx) |
/ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Д о к а з а т е л ь с т в о |
т е о р е м ы . |
Запишем |
соотношение |
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
sp* |
(г, |
Л;, 5) dx |
= |
e-<s+a>*sdA; -f • — |
- — sp |
(г, |
х, |
s) dx |
-f- |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
ф (г, s) sp* (г, X, s) dx. |
|
|
|
|
|
(7.10) |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
s-j-a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Легко заметить, что (7.5) и (7.10) эквивалентны, |
если |
обе |
сторо |
|||||||||||||||||||||
ны (7.10) сократить на sdx и подставить значение |
p(z, |
х, |
s) |
из |
||||||||||||||||||||
(5.9) в |
(7.10). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Теперь справедливость (7.10) вытекает из следующих сообра |
||||||||||||||||||||||||
жений. |
|
Пусть |
первая |
катастрофа |
наступила, когда |
с |
последнего |
|||||||||||||||||
0-момента прошло время х, а все обслуженные вызовы |
|
оказались |
||||||||||||||||||||||
красными |
(вероятность |
sp*(z, |
х, |
s)dx). |
Для |
этого необходимо |
и |
|||||||||||||||||
достаточно, чтобы |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
либо |
первая |
катастрофа |
наступила в первом |
же промежутке |
||||||||||||||||||||
свободного |
состояния |
прибора |
(вероятность |
e~<s+a'*s dx) ; |
|
|
|
|
||||||||||||||||
либо |
вызов |
поступил |
раньше, |
чем |
наступила |
катастрофа |
(ве |
|||||||||||||||||
роятность — - — ) ; первая |
же |
катастрофа |
наступила |
в |
первом |
пе- |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
a + |
s |
/ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
риоде занятости, когда обслужились лишь красные |
вызовы, |
а |
с |
|||||||||||||||||||||
последнего 0-момента прошло время х (вероятность |
|
|
sp(z,x,s)dx); |
|||||||||||||||||||||
либо |
ни за |
первый |
промежуток |
простоя |
прибора, |
ни за |
пер |
|||||||||||||||||
вый период |
занятости |
катастрофа |
|
не наступила |
(вероятность |
|||||||||||||||||||
— - — |
|
ф (г, s) \ |
а далее, так как начинается |
новый период |
регене- |
|||||||||||||||||||
рации, |
|
|
то |
все |
начинается |
|
как |
бы |
заново |
|
(вероятность |
|||||||||||||
sp*(z, |
|
X, |
s)dx). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
26
Утверждения относительно ф(г, s) доказываются совершенно аналогично доказательству утверждений относительно я (s) (см. § 2 ) .
Величина p*(z, s) находится интегрированием |
p*(z, |
х, |
s) |
по х |
||||||
от нуля до бесконечности. |
|
|
|
|
|
|
|
|||
п |
до* |
|
следует |
заметить, |
что |
ф(1, s) = |
||||
При |
вычислении |
— |
|
|||||||
=n(s); р*(I, s)=s~l. |
Для |
упрощения |
вычислений |
рекомендуется |
||||||
дифференцировать по z |
не р*(z, |
s), a [s + a—аф(г, |
s)]p*(z, |
s), |
т. е. |
|||||
обе части |
выражения |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
[s |
i- a — аф (z, s) |
p" |
z, s = |
1 -|- a |
^ . |
^ |
' . |
|
|
|
З а м е ч а н и е . Если |
известно среднее число вызовов в системе |
в |
момент t, |
|||||||
то среднее число обслуженных к моменту t вызовов можно |
определить |
другим |
||||||||
путем. Среднее число вызовов в системе в момент t плюс среднее число |
обслу |
|||||||||
женных за |
время t есть |
среднее |
число |
поступивших в систему вызовов за вре- |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
а |
|
|
мя t, которое равно at или в преобразованиях Лапласа—Стилтьеса — . Следо
вательно,
а
а
и pi (s) легко вычисляется.
P i ( s ) = P i ( s )
§ 8. Совместное распределение длины очереди и числа обслуженных вызовов
Нами были получены производящие функции числа вызовов
в |
системе в момент t и числа обслуженных к моменту t вызовов. |
|
Метод, использованный для их нахождения, |
пригоден для вывода |
|
в |
преобразованиях Лапласа нестационарной |
производящей функ |
ции числа вызовов в системе и числа обслуженных |
вызовов. |
|||
А. Обозначения p(tn, п, х, |
t)dxdt |
— вероятность того, что в |
||
момент времени t в системе m вызовов |
обслужено |
п вызовов, а с |
||
последнего 0-момента прошло время х. |
|
|
||
Составим производящую |
функцию |
|
|
|
P(y,z,x,t)= |
£ |
р(т, |
п, X, t) \f"# |
(8.1) |
И |
|
|
|
|
P* (у, z, X, s) = |
j |
er-«P {y, z, X, t) dt; |
(8.2) |
|
|
о |
|
|
|
P*(y, 2, s) == f P* {y, z, X, s) dx. |
(8.3) |
27
Каждый ожидающий или обслуживаемый |
вызов считаем крас |
||||
ным с вероятностью у(0^.у^.І), |
а каждый обслуженный |
— с ве |
|||
роятностью |
г ( О ^ г ^ І ) |
независимо от цвета |
остальных |
вызовов. |
|
Пусть |
независимо |
от функционирования |
системы |
наступают |
катастрофы, поток |
которых — пуассоновый с параметром |
s(s>0) . |
||||||||||||
Величина |
sP*(y, |
z, |
x, s)dx |
интерпретируется |
как |
вероятность |
||||||||
того, что первая |
катастрофа наступила в момент, когда |
как все |
||||||||||||
вызовы в системе, так и все обслуженные вызовы |
оказались |
крас |
||||||||||||
ными, а с последнего 0-момента |
прошло время х. |
|
|
|
|
|
||||||||
Обозначим через sn(y, |
z, x, |
s)dx |
вероятность |
того, что внутри |
||||||||||
отдельно |
взятого |
периода |
занятости |
первая |
катастрофа |
насту |
||||||||
пила в момент, когда все вызовы |
(обслуженные |
и находящиеся |
в |
|||||||||||
системе) |
красные, |
|
а |
с последнего |
0-момента |
прошло |
время |
х; |
||||||
п(у, z, 0, s) — сумма |
вероятностей |
того, что внутри |
периода |
заня |
тости в моменты окончания обслуживания вызовов все вызовы
(обслуженные и находящиеся в системе) |
красные, |
а до этих мо |
|||||||||||||||
ментов катастрофа не наступала. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
Б. Формулировка результатов. Без доказательства |
приведем |
|||||||||||||||
аналоги результатов, |
приведенных |
ранее, |
например |
в § 5, 7; |
|||||||||||||
|
Л е м м а |
1. я {у, |
z, 0, s) |
задается |
формулой |
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
l—zy |
' ß ( s + |
a — ay) |
|
|
|
||||
|
|
|
|
R e s > 0 , |
\y\<\, |
|
| z | < l . |
|
|
|
|
(8.4) |
|||||
|
Л е м м а |
2. a) |
n(y, z, |
x, |
s) |
определяется |
из |
соотношения |
|||||||||
|
я (у, z, x, s) |
- |
[ 1 - Я ( x ) } |
е-^+а-«у)* |
• - |
|
y ~ ^ Z ' S ) |
|
-, (8.5) |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
l |
— zy |
' ß ( s + |
a |
—a/y) |
||
|
|
|
|
|
R e s > 0 , | y ! < 1, | z | < l ; |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
def |
» |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
б) n (y, z, s) •= I я (y, z, x, s) dx -— |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
__ |
1 — ß (s -4- a — ay) |
|
y — ф (г. |
s) |
- . R e s > 0 , |
\y\<\, |
|
| 2 | < 1 . |
|||||||||
|
s-\-a — ay |
|
|
1—zy |
_ l f t , |
, |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
'p(s [ a — az) |
|
|
|
|
|
(8.6) |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
З а м е ч а н и е . |
ф(г, s) определяется |
из |
(5.2). Заметим, |
что |
функциональ |
|||||||||||
ное |
уравнение |
для ф(г, s) (см. (5.2)) |
можно получить |
из |
(8.4). При г/ = ф(г, s) |
числитель (8.5) обращается в нуль. Следовательно, и знаменатель при данном значении должен обратиться в нуль.
Т е о р е м а , a) Р*(у, z, x, s) вычисляется |
по |
формуле |
|
||
Р* (у, г, x, s) = [s f а — аф (z, |
s)]-1 |
|(s |
-I a) e-<s+û>* - f |
|
|
-\-al\-B(x)]eri*+°-y)* |
y |
~ * i Z ' S ) |
- 1 , |
(8.7) |
|
|
l—zy |
' ß ( s + a — ay)\ |
|
28
Re s > 0, J z j < 1, J y j < 1 ;
def |
* |
|
|
|
|
|
б) P* (y, z, s) |
\ P* (y, z, X, |
s) dx |
=- |
(s -[ -a |
— аф (z, s ) ] - 1 |
x |
|
о |
|
|
|
|
|
X Us - f a) ér-<*+»>* -I a |
f a - f l j / |
) . |
y^WLÛ |
\ ( 8 . 8 ) |
||
l |
s-j-a—a# |
|
1—zy |
ß ( s - f a — a</)J |
|
|
|
R e s > 0 , |
\y\ < |
1, |
; z | < 1. |
|
§ 9. Время ожидания
Результаты § б позволяют выписать уравнения, определяющие время ожидания вызовом начала обслуживания, в следующих двух случаях:
1)при прямом порядке обслуживания вызовов;
2)при инверсионном порядке.
Обозначим |
через |
w(t) |
|
время ожидания |
начала обслужива |
|
ния вызовом, поступившим |
в момент t: |
|
|
|||
|
|
со (s, |
t) = Me-S t t '«>. |
|
|
|
Пусть выполнено a ß i < l . |
|
|
|
|
||
А. Прямой |
порядок обслуживания. Верна |
|
следующая |
|||
Т е о р е м а |
1. а) |
со (s, |
t) |
задается системой |
уравнений |
ооу
со (s, t) = Р 0 (t) + j |
(y) j ' |
(ß (s), x, t) dx, |
(9.1) |
о0
|
Re s > 0 . |
|
|
PS (p) - f e-MP0 (0 |
= [p + a - an (p)]- |
, Re p > 0; |
(9.2) |
def |
1 |
|
|
ö
def »
Q* (2, x, (i) = J e-^Q (z, x, t) dt =
= [p. + a — an (ц)]-1 — — — ^ — • e-(i*+e-«)*f |
(9.3) |
z — ß ( n - ! - a — az)
|
Re (x > |
0; |
|
|
|
|
oo |
|
|
|
|
б) со* (s, p) = |
^ ß-^со (s, 0 |
= |
|
|
|
|
"o |
|
|
|
|
[p + |
a - йя ( p ) ] - |
{ 1 + |
fltP(')-"(y; |
} , |
(9.4) |
|
|
l |
ц —- s + a — aß (s) |
j |
|
29
|
|
R e s > 0 , R e f i > 0 ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
в) существует |
lim со (s, t) |
--- lim |xco*(s, ц) — co(s) |
u |
|
|
|
|
||||||
|
|
to (s) |
(1 - |
aß,) |
— . |
|
|
(9.5) |
|
||||
|
|
|
|
s — a - f aß (s) |
|
|
|
|
|
|
|||
Д о к а з а т е л ь с т в о . |
Обозначим |
через |
Po (О |
вероятность |
то |
|
|||||||
го, что в момент t |
система свободна |
от вызовов; |
|
P(z, x, |
t)dx |
— |
|
||||||
вероятность того, что в момент t в системе находятся лишь |
крас |
|
|||||||||||
ные вызовы, а с последнего 0-момента прошло время x; |
[P(z,x,t)— |
|
|||||||||||
— Р(0, x, |
t)]dx — вероятность |
того, |
что в момент t некий |
вызов |
|
||||||||
обслуживается уже время х, а все вызовы в системе — |
красные; |
|
|||||||||||
P(ß(s),A;, t) |
— Р ( 0 , x, |
t) , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
—t-LJ |
—J |
dx— |
вероятность |
того, |
что в |
момент |
t |
не |
|
||||
кий вызов обслуживается уже время |
х, а за |
время |
обслуживания |
|
|||||||||
вызовов, ожидающих в момент і, катастрофа |
не |
наступала. |
|
|
|
||||||||
Теперь докажем справедливость |
соотношения |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
со |
;/ |
А |
|
|
^ |
|
|
|
|
|
|
со (s, t) = Р 0 (0 -4- Г dß (у) |
t е-*у-х) |
|
|
О - Р ( 0 . * , |
О d |
|
( 9 6 |
) |
|||||
' |
0 |
J |
J |
|
|
[1 - ß ( * ) ] ß ( s ) |
|
|
v |
7 |
|||
|
|
о |
о |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Пусть за время ожидания начала обслуживания вызовом, посту пившим в момент t, не наступала катастрофа (вероятность чего есть со (s, / ) ) . Для этого необходимо и достаточно, чтобы
либо |
в момент t |
система была свободна (вероятность |
PQ(t))\ |
либо |
в момент t |
некоторый вызов обслуживался уже время х; |
за время обслуживания вызовов, ожидающих в момент t, не на ступала катастрофа (вероятность p ( ß ( 5 ) > *> 0 — р ( 0 . *» дх\ и за
ß(s)
остальное время г/—х обслуживания вызова, находящегося на при боре в момент t, катастрофа не наступала
(вероятность e~s^-*>-
V ~г |
' |
\—В(х) |
Далее, |
обозначено |
|
Формула (9.1) доказана.
Q*(z, x, (х) и Ро(н-) вычисляются на основании (6.4), (10.7) и (6.9) соответственно.
Б. Инверсионный порядок обслуживания. Аналогично теоре ме 1 доказывается
30