книги из ГПНТБ / Приоритетные системы обслуживания

P{ (x)

=

£ Pt\k) xk,

P(x)=

£ Pt (x).

(3.6)

2

Pin

очевидно, сходится

к

^

p{(k)xk.

Откуда

\ pin (x) -

p, (x) к 12 л / п

w ^ -

S

(k) xk

I +

ft<AT

k<N

+ |

P,„(*)*f c | +

| S

M f t ) * * | < 3 e .

Г. Основная формула. Из івероятностных соображений

вытека­

ют формулы

х { Р 1 Я + 1

(x) = [Р„ (0'->

x) -

Р„

(О' x) +

(ж) РП (00] А, (а -

ах),

(3.7)

которые

справедливы

для всех Х\,...,хг

таких,что

\ Х І

\

^

1 ( і = 1 , г ) .

Отсюда Pjn(x) могут быть определены

рекуррентным

образом.

Д. При выполнении (3.5) имеют

место равенства

(3.6),

а из

(3.7) следует

х{Р{

(x) =

[Р (О'-1

x) - P T

((Ух)

+

Rt

(x) Р (00] ht

(о -

ах).

(3.8)

Перейдем к

нахождению Р{(х).

Из

(3.8)

имеем

2

XjPj (х)

2-

'

~

'

ыѴ-Іх)

=

_1х )

р((Кх

) +

{ х

) р (00}

1=1

i (ст — ах

і=\

{р(0

или

Slïï^r[ *'-f t '( < J -', x ) 1

-

>JP(00,

(3.9)

t=l

1=1

где

на основании леммы § 2

гл.

8

легко

получить

У Ч ( * ) - 1 =

1 — е ( а ) ф ( а )

{(<7*- 1) (1 -

е (о)) -

e (a) x

X [ 1 — ф(а — ах)]}.

(3.10)

Положим

(u(fe>x) = ( v

i , v

h

-

u

xk,...,

xr).

Тогда

из

(3.8)

будем

иметь

Pt(xy

=

Pijv^x)

(

З Л 1 )

hi (а — ах)]

hi(o

— a (v{k)

х))

Д Л Я

\Х;\

<

1, | о 3 - | <

1,

ХіфО.

Действительно, так

как

правая

часть (3.8)

при

делении

на

hi(a—ах)

не зависит от

х\,...

, Х І - І ,

ТО

вместо них можно подста­

вить в левую часть любые

значения

Vi,

ѴІ-І,

где

| U J | S = C 1 ,

/ =

= 1, I—1. Предельным переходом убеждаемся, что (3.11) верно и

при ХІ =

0.

З а м е ч а н и е 1. Система

функциональных

уравнений

"fti =

hi(o — uk—

[ax]k),

k—i

/=*

/=*

= "fei(xfe>

• • •

, хг) такие, что [ икі

| < 1 (f = 1 , ft — 1).

Это

есть

первое утверждение

леммы, доказанной в § 3 гл. 4.

Теперь РІ(Х)

можно выразить

через

Р(0Г )

следующим

обра­

зом.

ПОЛОЖИМ

Xi =

Ukl(Xh,...,

Xr),...,

Xk-i

=

Uk

ft-l

(xk,...,

xr)

(k=\,

r).

Тогда

на основании (3.9)

и замечания

1 получим

'г

у

Р](ик1,

, u k k . u

xk

xr) {

_ h

_

_

[ a x ] k

) ]

=

Лші

hi(ü — uk—

[ax]k

1

r

= |2

7?f

JC) —

1 j

P (0")

(Ä =

T77),

(3.12)

где

t = l

(и<*-»д;) =

(ukl, ...

,uk

k

. l t

xk, ...

, xr).

Окончательно, (3.11) и (3.12) дают систему линейных уравнений,

позволяющих шаг за шагом выразить

Р І ( Х )

от г до

1 через

Р(0Г )

у

р

( х ) _Хі-Н,{0-ик-[ах]к)

=

( у

D {u(k-»x)

_

Л

p

(00

(Jfe

=

177).

i -

J

J

/іу(0

их)

XémmÀ

)

(3.13)

П т

_ Ы

=

!

і

— e (a)) —

,—о

l—x1

1 — e (a) ф (a) l

a

_ e ( a ) l i m

і - Ф К - ^ і ) \ =

=£ü

П - « ( ° )

И Ф і } .

л г ^ і - о

1 — X\

J

1 — e (ст) <p (ст)

\

a

(3.14)

1 —е(ст)ф(ст)

P((K)

=

1 — е(0) + сте(о)ф! L1 - S в| An

(3.15)

£ =1

По пути вычисляются

и

константы

РД1Г )

(і = 1, г)

р,(1/) = - * .

(3.16)

Ж. Формулировка

результата.

Итак,

нами

доказана

сле­

дующая

Т е о р е м а . Для

систем JWr | Gr

111 оо с ненадежным

прибором и

относительным приоритетом

первого

типа

при

a\h\\ + .. . +

arhr\<\

и ф і < + оо:

а) существует

lim Р(п

(x) — Pt

(x);

| xt | < 1

(і =

1, г).

« - » + 0 0

б) Pt (х) определяются

из

системы

линейных

уравнений

P (x) xi —h

i ^ —uk—\ax\k)

=

Г у і

— 1} Р(О-), (Â =

1; г),

S , Л

Л, (а —о*)

/=fe

(=і

Ѵ / ? , ( * ) - 1 =

± _ _ { ( ^ _ 1 ) ( 1 - е ( а ) ) - е ( ( У ) [ 1 - ф ( а - а х ) ] } ;

: (СТ

ф (СТ)

1 — е (ст) Ф

(ст)

Р ( 0 0 -

1 —е(ст) ф(ст)

1 - У Ч А Л

1 —е(а) + сте(ст)ф1

[ а * ] е = аА хА + . . . + агхГ;

о

=

ах

+ . . .

- f а/,

Х) =

(Ukl,

. . . .

«fefc-i,

*fe,

• • •

. *r)»

л Uki и Uk однозначно

определяются

из

системы

функциональных

уравнений

hi

№ — uk

— [ах\ь)

(t =

1, Л — 1 ),

/г—1

в

области

j=k

j=k

где выполнено

\ukt\<^\

(i =

l,

k — 1).

(3.13)

уже

можно

найти

В принципе, из системы уравнений

моменты числа ожидающих

вызовов

в системе

и числа

вызовов

приоритета

k.

З а м е ч а н и е

2. В случае двух поступающих

потоков

Рі(х)

и Р2{х)

можно

выписать

явно, а

следовательно, и Р(х) =Р\(х)

+

Р2(х).

При

сохранении

обозначений

данного

параграфа

(athn + a2h2l<l 1, ф і < + оо)

имеем

Pi

(*і.

х2)

=

hx

(а — ах)

—

(

{ху,

х2)

- f R2

(х2)

— 1 —

—

< Rx

-

[R,

(и,

х2)

*і — К (° —ах)

{

'—— I Р

(0);

+

R2

(х2)

-

1]

V — ^

г„

,

,

„

х2 —

h» (о—

ах)\

1

x2

— h2(Q — и — а2х2)

J

Р 2 ( * і ,

* 2 ) = [ Я і ( " ,

x2)

+ R2(x2)-\]

ho (Ö — ах) і

—

P(0);

x2

— h2(a — u — a2x2)

1 — e (а) ф (o)

[ 1 - е ( а )

- f - ff e (а)

a

функция

и

однозначно

определяется

из соотношения

в

области

Re х2 <

1.

ы = hx

(а — и — а2х2)

3. Об

одном

общем

уравнении. Уравнение

(3.9)

оказывается

—>

- >

справедливым

для

всех

систем M r | G r | l | c o

с

ненадежным в

сво­

бодном состоянии

прибором

{Hk(t)

принята за ф. р. длительности

обслуживания

вызовов приоритета

k, k=\,

г),

если не

допускается

ХІРІ(Х)

•— вероятность того, что после окончания

обслужива­

ния красного вызова приоритета і в системе остались

лишь крас­

ные вызовы.

г

V I

—

xi Pi (х)

Л

у

/—

— условная вероятность того, что после обслу-

t =iJ

ß/ (о" — ах)

Р (Ог) E

№ — вероятности того, что в некоторый момент

i=l

i=l

S

м ^ г ( щ ~ * л ° - а х ) ) = ( É к < w - ') " т - <ЗЛ7>

і=1

і=1

ния в системе для

вызова приоритета k (сохраняются обозначения

§ 3) (ùi(ai—йіХі)

— есть вероятность того, что за время

ожидания

начала обслуживания п-го вызова в систему не поступят

синие вы­

ритета і, справедлива

формула

Р,„( 1' - ', x,

= Р , „ ( К ) с о і 7 г ( а , - a t x t ) h t ( а , - a t x t )

(4.1 )

для всех Х І таких, что

|XJ|<C;1 (i=l,

r).

При условии существования

стационарного

распределения

я Л і + .. • + arhn

< 1

формула (4.1) и формула (3.16) гл. 8 дают

Р,(1' - і,

x,

1-0

=

-?L-<ùt(a(-atx)

ht

{ a t - a t x ) .

(4.2)

(со, (+0) = 1 , т. е.

lim Wln(t)

=

Wt(t)

есть собственная ф. р.).

П - Н - оо

Откуда

для определения

toft(s) имеем выражение

ak

^ 1

' 1

-

^ '

- ^

k )

H

- s a r 1 1 < 1 .

(4.3)

hk

(s)

Пусть

x. =

1 (/,=

k +

1,

r);

xk=l—sakl;

x i

=

"ki(xk>

• • •

>xr)

( i =

\,k—

1).

Тогда

из (3.11) следует

pfe(x)

P*(l

1-

1 —

••• ' ' ) ,

hk(o — ax)

ЩИ)

hk (0 — ax)

=

/гА (s + о ѵ^ — uk);

r

1

У R. (x) — 1 =

X

J

г Ѵ

'

1—e(a)q>(0)

X | — ~ ^ ( S +

OÄ_I — u f t

) ( l —

e(a)) —e (a) [1 — cp(s - f ok^ — «„)]j .

Подставив полученные значения в (3.9) и в комбинации с

(3.17) и замеч. 1 § 3 гл. 8, получаем

P f c ( l , . . . ,

1,

l — sar1,

l

, . . . , 1)

[1 —sak

— hk

(s -f- Ofc-! — uk)] +

hk(s)

î — 2 a i h

n

+ У ^ - [ 1 - ^ ( 3 + 0 ^ - ^ ) ] = -

^

x

;'=fc+i

a

1 — e (a) + a e (a) cpj

{—

-g-(s + ok^i

— uk) (1 — e(a)) — e(a) [1 — ф (s +

—

J-,

откуда

®k

( S ) =

Л

(SJ

Ofe-l — MA) +

ftW

i _ e ( o ) +

oe(0)q>1

*'

Fo e(a)

[ 1 — ф (s + a*-, — uk)] ( 1 — V

+

1 — e(0)-|-0

е ( о ) ф 1

t==i

+ S0 Л 1 — h j (S

+ Gk-l

— Uk)] j [S — afe 4- flfcÄA, (S f О ь _ ! — U f c ) ] - 1 .

Z=fe

Таким образом, доказана (положено Ui(s) = 0 І - І Я І _ І ( S ) )

—» ->

и

Т е о р е м а .

Дл я систем

M r | Gr 111 оо

с ненадежным

прибором

относительным

приоритетом

первого

типа

при

условии

a\hu

+ .. . +

arhri<l

а)

существуют

lim Win (0 = Wt

(t);

lim Vtn

(t) = V{ (t)

(i = Î77),

где

W{(t) и Vi(t)

— собственные

ф. p.;

б)

функции

Wh(t)

и Vh(t)

определяются

соотношениями

(ùk

(s)

=

1 — 2 <4h\

[ ( 1 - е

(a)) iik

+

a e (a) (1 -

Ф (uft ))] +

-f a e (<*) фі

I 1 — e (a)

r

V

0 , ( 1 - / г ,

(u.,))

[s — ak + akhk

(ix*)]"1 ;

y=fc+i

vk(s)

=

hk(s)(ùk(s),

где

цй

= s +

afe_! — ал _! л,г _і (s),

а

яй _і (s)

определяется

равенством

k-i

ak-i

я/ г _і (s) =

£ а Д . (s + ck-i

— o-ft_i nk-i

(s)),

которое

определяет

единственную

функцию

nk-i(s),

аналитическую

в полуплоскости Res>0, где выполнено

| ЛТЙ—i (s) | < 1 ,

в)

если

Р г = 1 — Р а (t = l , 0 .

mo первые два момента

ф. p. Wk(t)

и Ѵй (/)

равны

соAI

Pn

а е (а) рг

фз .

2pA-iPfc

1 — е ( 0 ) + а с ( а ) с р 1

2pf e -! pf t

И А 2

=

Ргз

Рг2 Pk2

j

Рг2 Pfe-12

__|

3pfe_i

Pft

2 р | _ ! p2

2 р | _ ! pfe

+

сге(о-)рл

Ф2 РА2

1 — е(о) + о с (о) фі

2p| _ i Рй

öfci =

toft! +

Afti;

vK2 =

Щ 2

+

2öfei hki +

Л м .

5. Среднее число ожидающих вызовов приоритета k(k=l,

г).

Пусть Bi(t)=...

=

Br(t)=B(t).

З а м е ч а н и е

1. Производящая функция

числа

ожидающих

начала

обслу­

живания

вызовов

инвариантна

для

всех дисциплин

обслуживания

без прерыва­

ний начатых обслуживании.

Из соотношения (3.9) этой главы имеем

£

P, (x) [xt

- h

(а-

ах)] = { £ /?; (х) -

l } h (а -

ах) Р (0').

(4.4)

і=1

і=1

Х

х =

. . .

=

Xk-l

= Xk+l

=

. . .

=

xr

=

1.

Тогда из (2.1) гл. 8 легко получить

[1 _

h {ak -

akxk)\

P ( l f e

_

1 хѴ-Ь) +

Pk ( I e

- 1

* l ' ~ f t )

(** -

1)

=

Р(°Г)

h{ak — akxk)

x

1 — e(0ХФ(о)

X

j _

( i _

e (a)) -

с (a)[ 1 -

Ф

(afc -

а Л ) ] } .

(4.5)

Далее, формулы (4.2) и (3.18) дают

Р (

x\r-k)

=

*fa-°*>>

j f

c

Ä

a,,

(аА

- в Л

)

+

1 — h (ak

— akxk)

У а

1 _ е ( 0 ) +

а е (

с )

ф 1

[

о

V

ѵ "

w

X [1 — ф (aft — а Л ) ]

j .

(4.6)

Таким образом,

получена

формула,

позволяющая

найти

число

ожидающих начала обслуживания вызовов приоритета k.

З а м е ч а н и е

2.

При

нахождении РХ{Ѵ)

можно

воспользоваться уже

вычисленным в § 4 гл. 8 значением CÛM.

Окончательно,

имеем

Р' (Ю = а Л + - £ * _ ( _ !

Л

ГА. H

^SÈ£L

\

_

(4-7)

где

р(- =

1 — а Д ;

ot

= ах - f . . . +

a,-;

і =

\,

г.

отказывающим в периоде занятости. Поэтому предполагаем,

что

во время обслуживания вызовов прибор надежен. Пусть Bu(t)

—