книги из ГПНТБ / Приоритетные системы обслуживания

®k (**) — Фк

(«( f e )

(Ok-i — Ok-i W — Jtfc-i (a*)]) — nh (<x*_,))

=

r

+ i?f e (xf t )

( A = l , r ) .

(2.14)

a

Здесб

положено

Rk

(4)

r

[ ф >( j t < / ) ( 0 f e ~ а л

~ я ( / ) ( c T f t - а

~~я ( Л

= 2

)

л

( t f f t ) ) )

+

+ Ф, (я»> (ofc

— akxk

— ak^zk)

— я«> (ak

— akxk))

+

+ Фі (я</> (afc

— a*-,

fa

-

я*_! (af c )]) — я«> (a*)) —

-

Ф; (я('"> (а* -

afc-A)

-

я</> (ak))],

(2.15)

#r (xr)

=

0,

zft = я й _ ! (afe

— aftxfe)

(ft =

1, r — 1).

В. Обозначим через wk(t)

условное

время, начинающееся с

момента t и кончающееся первым

после t

моментом, когда

система

освободится

либо

от вызовов приоритета

k

и выше,

либо

от вызовов

приоритета

i{i>k),

если

таковой

обслужи­

ритета k

и выше в систему_не

поступают.

Предполагается,

что wh(0)=0.

Положим

ak(s,t)

=

M.e-™k«K

(2.16)

Величина Ро(0

— вероятность того, что в

момент времени t

система

свободна от

вызовов.

и началось обслу­

РІ(І>

И) — вероятность того,

что в момент

вызовов приоритета

і.

Легко доказывается формула

-2ka<<1-ß<(s)"

_

*

-2k a i(i-ßi<s »(^)

e <=i

= e~siщ

(s, t) +

j P0 (x)

e <=r

d[l— e~sx] +

о

r

t

k

e.(i-ßj(s))«-u)

- V

+

S

E J p < ( / ' " ) e ' = l

f=A+I

/^1

0

+

S

J P f e ( / > u ) ^ ( s

- t ~ u

) d u -

( 2 - 2 3 )

î>\

о

limcof e (s, t).

Д. Займемся

вычислением

coft(s) =

Для этого

нуж-

но по отдельности вычислить пределы

при t

+

оо слагаемых (их

три) в правой части (2.23)

1°. Обратимся

к

формуле

(2.17).

При

s > 0 ,

^ > 0 функция

k

expjjs—

a£(l—ßt(s))j^|

по

t возрастает

до бесконечности

при

k

t=i

значит

s — £ а Д 1

— ß,(s))

возрастает,

поэтому при s>-0

выполнено

і=1

s _ £ f l , ( l - ß , ( s ) ) > 0 ) .

Следовательно, к

формуле

(2.17)

применимо

правило

Лопиталя:

s [ i - 2 < % f t i ] +

2

№ ( І ) - Ф І ( Л < 0 ( 5 ) ) ]

<oÄ(s) =

^

^

(2.24)

s - 2

і=і a i ( l - ß i ( s ) )

Заменяем

параметр

s

на

fiA ,

где

цл

=

s +

— а й _ ія е _ і (s).

(2.25)

ft

Тогда

на

основании

(2.13)

s — £ а Д 1

— ßi(s ))

заменится

на

s —

j=i

•— ak +

öA ßf e (fift)

и,

следовательно,

щ (uf t )

[ l

-

Sft

«i foi]

I * * +

г2

№ ( 1 ) -

Ф* ( « < 0 (H))]

=

^

^ ± i -

—

• (2.26)

s — ak +

афк

(\x,k)

2°. При вычислении cûfc(s)

нам

потребуется

Л e м м a 2. Пусть

\f(t)

и g(t)

— две

функции, определенные

на

[О, о о ) .

Если

f(t)

а)

ограничена

на

[0, о о ) ;

б)

lim / ( 0

=

а > 0 ;

Ф ( 0

--= \f(t

—

u)g{u)du,

то

о

00

lim

0(t)

=

a\g(t)dt.

1

0

(Лемму, очевидно, можно усилить, но нам это не нужно).

Д о к а з а т е л ь с т в о

леммы просто. Составляется разность

t

00

Д =

j f (t — и) g (и) du — a jg (и) du

о

о

и производится оценка этой разности.

3°. Обратимся ко второму

слагаемому в правой

части

(2.23).

d ef

Ak (t) = £ Pft (j,

и)

(s +

of e _i -

at-iJTfe-i (s), t -

u) du.

(2.27)

нарного распределения

времени

ожидания

вызова приоритета k

нужно вычислить предел

Ak=\imAk(t).

(2.28)

оо

Д ля этого нужно найти предел

при t-*~ + oo третьего

слагаемого

правой части (2.23)

и подставить

в полученное выражение вместо

s следующее:

5 - f 0Ѵ_! — (Tf e _[nf e _i (S),

что и даст величину

Ak.

при t-^ + oo

третьего

4°. Остался невычисленным лишь предел

слагаемого правой части

(2.23)

5 (о = 2 P f e ( / і и ) ^ ( s 't —и ) d u -

( 2 -2 9 )

На основании леммы

имеем

lim

B{t)=Y

Pk

(j) f

{s, и) du.

(2.30)

Пусть

Рода M

имеет тот

же смысл,

что и Po"(*)> но

для СМО

M I G I 11оо с параметром

ak

входного

потока

и ф. p. Bk{t)

длитель­

ности

обслуживания.

Перепишем

соотношения (2.6), (2.3) и (2.4) в виде

«<'•>(s, и) = 4 Л (s , и)-

J<of (s,u - x)d [П № ) (х)][ ,

(2.31)

о

«£'>(*, и) = е^"

{ [ ß f

e ( s ) ] ' - s jY^P^, (x)dx\,

(2.32)

о

? в — Р й , (x)

=

J - ^ - L ,

(2.33)

с/

где

|i( f c ) = s — aft + a*ßf t (s),

і ^ , = s + afc — akn^ (s).

Обозначим

оо

b(K) = ^e~MB(t)dt.

(2.34)

Далее,

воспользуемся тождеством

lim

B(t)В

= Um Kb (К).

(2.35)

*/-•>+oo-f-

Я->0

Легко

видеть,

что (см. (2.30) и (2.32))

Ь(М=21Рк(іЛ)<*кІ)(8Л),

(2.36)

где

оо

оо

Р* (/, 'Я) = j e-^« Pfe

(у, и)d«, œl7» (s, À) =

j " < r * « 4 Л

(s, и) da

и

(Û« (s, X) = _ Ü _ _ _

__ s Гe-^m»du

f <T^>* P&> (x) dx =

fei A _ И ' г м

J

_ _ L _ f[ ß f t ( s ) ] / _ s ]

[ ^ + Ц - ^ М і ,

(2.37)

где

4

' ' (s, X) =

f е~%и

(ù{n (s, и) du.

о

Заметим, что при выводе (2.37) мы использовали (2.33).

Из (2.31)

имеем

Ап (s, X) =

4 ° (s, X) -

cof (s, X) [Kk (X)]i.

(2.38)

Подставляем в

(2.38)

значения

(s, X),

cûft0)(s, X) из (2.37):

;</>/<. î \ _

1

(Гй І,\М

-о [h(X + ak — akn<k)(b)Y

H-(ft)

l

~ Ä

,

+ aft — a f c n w ( Ä , )

=

—

<

[ №* (s)]' -

[ я « m i / - 5 I B t ( M i g * - q * " w

W - t " № ) ( ^ i

—l*ft

l

Я +

afe — a f t jx ( f e ) (X)

J

(2.39)

На основании (2.36) и (2.39) выводим

м*) = XfL^{[ßfc(s)p-[>t(ft)

w

-

д

[ßft (*• +

- Д*я*

-

f" ( f e )

) ^

(2.40)

X-\-ak-akn{k)(X)

'

В

тождестве (2.35) после

подстановки

туда

(2.40)

устремляем X

к нулю (выше выполнялось неравенство Х^>уцк),

но ввиду

аналитич­

ности

функции B(t)

его предел В = li m B(t)

совпадает с

пределом

\\тХЬ(Х)

его аналитического

продолжения):

(&)

В . Um » W =

{ » . ( s ) J ' - 1 + .У [ ß M - î ^ p - ] } .

(2.41)

Далее, так как

1 — afcßfti

'

ТО

(ft)

ß*i

л 1 —г-

а

следовательно,

ния системы M I G11 j со с ненадежным в свободном

состоянии

при­

бором при нагрузках, близких к единице, есть одновременно

изу­

чение

времени ожидания для А-того потока

(k—l;

г) в системах

—» - >

M r | G r

| l | o o с абсолютно надежным прибором

и абсолютным прио­

И (s)

=

! — « ß i

.

[ 1 - е (g)] s + ae (a)[l — y (s)]

^

^

1 — e (a) +

ae (a) y ,

s — a - j - aß (s)

из которой вычислялся

первый

момент со,:

ш

=

aß 2

I

<*<= (о)

__Фг_

п

2)

1

2 ( 1 — a ß , )

1 — e (a)-f

ae(a)y,

' 2 '

Видно, что

при

р =

aß, ] 1

из

(1.2)

следует

со, |

оо,

причем

(1 — р) со, I - ^ - •

Справедлива

следующая

Т е о р е м а

1. Пусть

w — случайное

время

ожидания

начала

обслуживания

некоторым

вызовом

в установившемся

режиме

рабо­

ты системы.

Тогда

— 2 X

1 і т Р ( ( 1 — р ) ^ < х )

= 1 — е

aß' .

(1.3)

Р П

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Пусть

s<=[0, S],

где S > 0

— фиксировано

и

в > 0

мало. Тогда

равномерно

по s из формулы

(1.1)

имеем

со (es) =

—

1—p

[1 — e (а) -f- ае (а) y t ] ss -f-0 ( е )

1 — e (a) +

ae (a) y,

a ß 2

„

W T

W Y 1

8 S ( i _ p ) 4 - — p - e 2 s 2 _ | _ 0 ( 8 2 )

(1.4)

Положив в (1.4) 8 = 1 — p и устремив p к единице,

получаем

,

4

1 + 0 ( 8 )

.

0 , ( 8 . S ) =

К-і

ар?

l +

- ^ - s +

0(e)

В то же время' 1/ ^І +

- j ^ s

есть преобразование Лапласа от функ­

ции

1 — ехр 1

— х\ ,

что и доказывает

утверждение теоремы.

I

a ß 2

J

конеч­

Заметим, что в доказательстве теоремы не требуется

ность второго момента срг длительности

восстановления

прибора.

В. Пусть V — длина очереди в установившемся

режиме

рабо­

ты системы и Р(г) = Mz v

— (производящая

функция числа

вызовов

в системе в моменты окончания обслуживания

каждого

вызова.

Из

(8.9) гл. 2 имеем