книги из ГПНТБ / Приоритетные системы обслуживания

Т е о р е м а

2.

Если ß 2 < [ о о , то

— 2 *

1ітР{(1 — р ) ѵ < х } = 1 — е a 2 ß z .

(1.5)

pfi

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Очевидно,

Me-esv =

p ( e _ e S ) = и ( а

_ a e - 8 s ) ß (а — ае-8 8 )-

( 1 - 6 )

При малых s имеем e~8S

1 — es.

Тогда

1 im

CD (й — ae~ss)

— lim со (а (1—p)s) =

^ — ,

£ ( 0 = 1 - е~ак-1'

,

F

(t) = П*_,

(t),

B(t)=Hk(t)

(k=ïTr).

Здесь

Oh-i = cLi + .. . + Cft_i, a функции

П й _ і ( / ) ,

#f e (£) для

разновид­

ностей

систем с

абсолютным

приоритетом

получены

в § 2—4

гл.

3.

Теперь предположим, что все параметры меняются, однако так,

что

hk2 остается

ограниченной

снизу и сверху

положительными

константами.

Положим

Рк =

ak

hi-

Д. Докажем еще предельную теорему

для M r | G r

| l | o o с отно­

сительным

приоритетом

и

абсолютно надежным

прибором,

wh(t)

и vu имеют тот же смысл, что и выше.

Т е о р е м а

4.

Пусть

о = аг

+

. • • + ctr

и.

г

ft—1

'=*±!

- 0 ,

- ^ !

V

0,

- » а ,

(1.9)

Pft

PfelO

p f t _ !

P f t _ U

0

'PA

P f t l °

где

P» =

1

— Ргі>

Тогда

Ра =

öißii +

• • • +

e<ßa

(i

= !.

2

а) P {P f c _,a;fc<*}-».l-e

;

(1.10)

аа

P f t - l i O

2

А;

б)

P { p * _ , . v f c

< * }

-»

- f t - ( l - e

(1.11)

œ û f e

).

P f e - l l O

о

Д о к а з а т е л ь с т в о .

В установившемся режиме, т. е. при

<hPn+

•••

+arf>rl<

1,

преобразование

Лапласа

—

Стилтьеса

от ф. p. Wk(t)

времени

ожидания

начала

обслуживания

вызовом приоритета

k

имеет

вид

r

P/-(s + fffe_i

— ok-i

2

a i ( ! —

ß i ( s + Ö Ä - i — C T f t - i r t f t - i ( s ) ) )

cof t (s)=

-

s — afe

+

af c ßf t

(s +

a É _ !

— af e _!

(s))

,

(1.12)

которое

в

точке

es при

малых

e ^> 0

равномерно

по

s Ç [0, 5]

( S < - f оо)

преобразуется к

виду

1

/

1

Т

1

k ~ x

\

со,(es) =

P *~'

V P*

i=k±x

Pfc-i

f - i

/

l

/ af e ßf t 2

i

t ; 1

\

2pf e _,

V

Pfe

Pft-i

e i

/

(1.13)

Д л я того чтобы коэффициент при

е

в числителе

(1.13)

стремился

к нулю при Р2І0, необходимо

и достаточно, чтобы

1

г

У

a,ß,2

-

0,

Pfe

PklO

Тогда при подстановке

в (1.13) e ==pk-i имеем

щ (Pfc_, s) ->

L——

(1.14)

2

равномерно по se[0,

5],

0<:5<oo ,

откуда следует

утверждение

(1.10) теоремы.

Д л я доказательства утверждения

(1.11) следует воспользовать­

ся формулами (5.11) и

(5.23) гл. 4 и

(1.14).

При обслуживании

г

типов заявок

с абсолютным приоритетом

и дообслуживанием

при условии

P* =

a 1 ß u + ••• + a * ß * < l

( A = Ï 7 ~ Ô

(2.1)

существует стационарная

ф. p. Wk(t)

времени ожидания

начала

обслуживания вызовов

&-того приоритета

и ее

преобразование

Лапласа — Стилтьеса COÄ(S) дается

формулой

k

(ùk (s) =

(1 "

2

ajlßii) (s +

o-fe-i -

ö fe-i

% - i

О))

—

.

(2.2)

s +

ak — Oftßfe (s 4- afe_!

— ofe_j nf t _j (s))

а 0 Е= 0, аА _і = аг +

. . . 4-

(k = 1, г 4-1),

JtA-i(s) — преобразование

Лапласа

— Стилтьеса

от ф. р.

k-i

afe_! jik-i (s) = £

aßt (s -f Ok-i — Ok-i nk-i

(s)),

(Res>0 , | ^ , ( s ) | < l ) .

(2.3)

Как видно из выражений (2.2) и (2.3), характеристики

перио­

да занятости и времени ожидания в данном случае имеют

ф. р.,

определяемые

неявным образом. Поэтому необходимо получить

приближения

для функций

1—ïlk-i(t)

и 1—Wk{t)

при больших

значениях параметра t.

Использование численных методов не приводит к удовлетво­

рительным результатам. Действительно,

формула

(2.2) и функцио­

вается с ростом t.

Пусть F(t) — ф. р.

неотрицательной

случайной

величины.

Обозначим

оо

<p(s) =

[e~stdF(t).

(2.4)

число а,

ô

s, удовлетворяю­

Наименьшее

такое, что для любых

щих неравенству

R e s X ) ,

интеграл

(2.4)

сходится,

называется

абсциссой

сходимости

преобразования

Лапласа

—

Стилтьеса

cp(s). Очевидно, что a<Ç0.

Важная

роль

при дальнейшем

изложении принадлежит

сле­

дующей теореме.

Т е о р е м а .

Если

Res = — а ( а > 0 )

является

абсциссой

сходи­

мости преобразования

Лапласа

— Стилтьеса (p(s) от ф. p. F(t), то

s = —а есть особая

точка функции

<p(s).

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Доказательство

будем

вести от противного. Пред­

положим, что точка

s = —а

— регулярная

точка функции

cp(s). Тогда сущест­

вует такая окрестность точки — а, в

которой cp(s)

аналитична, а так как пра­

вее прямой Res = —а

особых точек cp(s)

нет, то cp(s) — аналитическая функция

в некотором круге с центром в точке s = 0 с радиусом R>a.

В этом круге для cp(s) имеет место разложение в степенной ряд

ф(в)=2(~"1)л1и ф л -

( 2 ' 5 )

Поскольку радиус сходимости ряда в разложении (2.5) равен R, то по теореме

Коши — Адамара

lim sup if

^

V

л!

Далее, из неравенства R>a

следует

существование

е > 0 такого, что

R>a+e.

Тогда, начиная

с некоторого N, при n^N

а +

е < -

V

я!

1

^

фп

, „ с ч

или, что то же самое,

;

>

•

.

(2.6)

(а

+ е)п

я!

С

\

2 j

Рассмотрим интеграл

Q / = e

AF(t)

о

N

оо (а _ L

--Y

S

} ' 4 T J - < - < < > =

п = 0 0

л = 0

£J

(a - f - e f

n>o

(a + e)«

e

я - 0

Отсюда заключаем,

что ряд

Ѵ Л Г

( а +

j

"2"Т

tndF(t)

V

I (— 1)"

1 — F (0 = 1 — F (0) — - — —

est^-t-ds,

s 0 > 0 .

(2.7)

2лі J

s

Интеграл можно

оценить, если нам известны особые точки функ­

ции (p(s) в левой

полуплоскости.

Пусть

Bt(t)=l—

е - Ѵ

. Тогда

ß, (s)

=

\ +

biS

и для

опреде­

ления nk(s)

из (2.3) получаем

уравнение

л и

( * ) —

У!

+ (s +

ok

— ok

nk

(s))

ЪІ

= 0

(Ä = ! , / • ) .

(3.1)

jLjl

Без ограничения

общности

b u . . . ,

bh

предполагаем

попарно

раз­

личными.

Функция Jtfe(s)

является решением уравнения

k

°Л

(s)

П (1 + (s + °k — а

Л

(s)) К } —

І = І

k

ь

£

at

W {1 + (s +

ok -

а

Л

(s)) b})

=

0,

(3.2)

Запишем

(3.2)

в

виде

%(0)

=

1.

Ф (я,

s) =

ф0

(s) я ^ - 1 + фг

(s) я**-2

...

+yk{s)n

+

gk{s)

=

0,

(3.4)

для упрощения записи, опустив индекс k и аргумент s у ttfe(s).

Здесь

мы

обозначили

через

q>j(s),

j — 0, k,

соответствующие

многочлены от s степени /, а через gh(s)

•— многочлен степени

k—1,

<Po(s) = ° f e 1

0.

определяет

алгебраическую

функцию я (s)

при

Уравнение (3.4)

каждом значении

s

на

комплексной

плоскости,

за

исключением

дискриминантного

множества этого

уравнения

(см. [125, гл. 1]).

Особые точки алгебраической

функции

я (s)

определяются

как

корни следующего

алгебраического

уравнения

(3.5)

Я{Ф, Фя)

=

<Po(s)

ФіО).

• ••>

<P*(s),

gk(s),

0,

0

0,

<P0 (S),

ф ц _ і ( 8 ) , q>k(s),

gk(s),

0

0,

0,

..

. 9o(s)>

Фі (s),

92 (s )>

=

0.

(£+i)q>o(s), Aq>i(s), •

o,

о,

. . , 0

0,

0,

. . . .

(k+ l)<p0(s), % ( s ) ,

(Ä—l)q>2(s),

. . . , <pÄ(s)

я * _ і ( 0 ) = 1 .

Тогда

точки ветвления ль_і (s)

являются

точками ветвления и

для со/г (s). Помимо

этого cûft(s) будет иметь

и

полюса,

определяе­

мые из уравнения

( s — <**)..{ 1

f

M -f- ^o-fc-i — ôftCTfe_i я й _ і (s)} +

aft =

0,

(3.7)

т. е. нули знаменателя в (3.6).

ветвления пи-і (s)

В дальнейшем, для определенности, точки

обозначим

через s

с индексом снизу, т. е. s b

s2,...,

st — все

точки

ветвления

nh-i(s).

Полюса cok(s)

через си • • •,

сп,

причем

среди

лителя сой (s). В дальнейшем мы детально исследуем

случай

k = 2.

Теорема § 2 позволяет представить

себе возможное

располо­

жение особенностей nk-i(s)

И

iOk(s).

§ 4. Асимптотические оценки для

периода занятости

Предположим выполненным условие

(2.1). Тогда

Tlk(t)

будет

собственной ф. р. Нетрудно получить

асимптотику

для

l—Tlk(t)

при t-*-oo для любого конечного

k,

зная

особые точки

ith(s).

Как мы видели в § 3,

функция

Я Й ( А )

имеет конечное

число то­

Re s = So может

лежать

лишь

четное

Р'2

iR

число особых точек •— пары из комп­

лексно-сопряженных особых точек, то­

чек ветвления я ^(5).

Обозначим

через 2 р + 1

(рис. 5)

число

особых

точек

на

прямой

Q7

=

Г

BA

AA,

Л , В ,

BtB

m = l

s

P

(4.1)

m—l

где

|J

+ j j

есть сумма интегралов по верхнему

и по

нижнему

бере-

гам

разреза

у точки sf (s,,

s0).

Ветвь яд (s)

алгебраической

функции n.k(s)

регулярна

в беско­

нечно

удаленной точке s = o o

комплексной плоскости, откуда

сле­

дует, что ял (s)

остается

ограниченной,

например,

единицей

при

Is|—ѵоо. В

частности яь($) ограничена

на отрезках

ААи

ВВ[

при

/ ? - ѵ о о .

Остается ограниченной и Res при R-^oo,

поэтому

12*

179

•5*£іе»'_*0

при

R^-oo

s

на

отрезках AA\ и ß ß i равномерно по arg s. Так как длина

отрез­

ков ААі и ВВ[ ограничена, то легко видеть, что

{

j" +

J ^•^~eitdt-*'0

при

R-+oo.

(4.2)

A4,

вв1

So-N оо

Видно, что при R -> оо ^

->

^

и, так как внутри

Г функция

в

А

s^—iao

Л к

^ esi имеет

лишь

один простой

полюс

s

•- 0, то по теореме

Коши

s

оУ = 2яі Выч. - 2 ^ 1 e5' | s = o

-

2ш.

(4.3)

s

Теперь по формуле (2.7) с учетом

равенства як (0) =

1 и

приве­

денных только

что соображений,

находим

Воспользовавшись

ограниченностью nk(s)/s

на прямой Res = s*, вы­

водим

S*—too

2ni

J

S

S*-fioo

Г

n f e ( s * +

»H) e i u t d u = = 0 , e s

4 \ п р и ^ о

о .

(4.5)

В

окрестности

каждой

своей

особой

точки sm=s0

+ iVm

алге­

браическая функция Як (s)

разлагается в ряд

як(з)

= £ Л ; . ( 5 т ) ( 5 - 8 т ) / / ѵ т ,

ѵ т > 1 ,

(4.6)

причем для каждого m радиус круга сходимости ряда (4.6) a

можно

взять

равным min(s0 — s*,

Ѵт+\ — Ѵт, m = О, p). Так как значения