книги из ГПНТБ / Приоритетные системы обслуживания

яп

(z,

s) -.•= j' лп

(z, x,

s) dx.

Ищем П„ (z, t).

системы наступают катастро­

фы,

Пусть

независимо

от

эволюции

поток

которых

—

пуассоновый

с

параметром s>0.

Тогда

snn(z,

x, s)dx

интерпретируется

как вероятность того,

что

первая

катастрофа

в

/г-периоде наступила

в момент, когда все вызовы в

системе оказались

красными,

а

с

последнего 0-момента

прошло

время x.

1. Величина sn

(z,

x, s)dx

Сохраним

обозначения из

§

4

гл.

тости системы

M I G11 j оо

с абсолютно надежным прибором в мо­

мент, когда все вызовы в системе оказались красными,

а с

послед­

него 0-момента прошло время х.

Обозначим

л (у,

z;

x, s)

: У

уплп

(z,

x, s).

(2.6)

Т е о р е м а

1.

Имеют

место

формулы

а) лп

(z, x,

s) -

-

g - [ r t (

s ) 1

"

[1 -

В (x)} e-i'+a-a,)*,

(2.7)

1—2

ß(s

1 а —

az)

п

>

1, R e s > 0 ,

\г\<

1,

л (у, z; x,

s) =

J

[1-В

(x)]

e

r *

~

1

'

V

"

/ J

"

z

1

K - 1

(

)

l—yK(s))(\—yz)

— z

ß(s+a — az)'

(2.8)

R e s > 0 , \ y } < \ ,

| г | < 1 ;

_

def ^

_

л (u, z; s) =

я

(ы, Z , X, S)

dx

~-

f 1 — В (x)]

X

о

x

e -(s+a-az)*

£

3îi£)

(2.10)

1 — z~x ß (s i a — az) '

v

'

R e s > 0 ,

\y\

< 1 ,

| z | < l .

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Легко видеть

(см. теорему

1, §4, гл. 1),

что запись (2.7)

эквивалентна записи

лп

(z, X, s)

г" — [я (s)]in

л

(г,

X,

s)

(/г >

1),

z — л (s)

или

snn (z, X, s) dx --- zn~{sn

(z, X, s) dx

+

г"~2л

(s) sn (z,

x,

s) dx - f . . .

. . . +

[л (s)]"-1 sn

(z,

x,

s)

dx.

(2.11)

риода наступает в момент, когда все

вызовы

в

системе —

крас­

ные, а

с

последнего

0-момента

прошло

время

х

(вероятность

snn(z,

x,

s)dx).

Для

этого необходимо

и достаточно,

чтобы

свя­

либо

первая

катастрофа

наступила

за

период

занятости,

занный с первым из обслуживаемых п

вызовов

(имеющихся

в

на­

чале л-периода), причем в момент наступления

катастрофы

все

вызовы

в

системе —

красные,

а с последнего

0-момента прошло

время

x

(вероятность sn(z,

x,

s)dx),

красными

являются

также

остальные п—1 вызовов из имеющихся

в

начале

я-периода

с

ве­

роятностью 2 П ~ ' ) ;

либо

за период

занятости,

связанный

с первым

обслуживае­

зовы в системе красные,

а с последнего 0-момента прошло время х

(вероятность

sn(z,

x, s)dx),

а

остальные (п—2)

вызова

из имею­

щихся в начале n-периода

—

красные

(вероятность

z"~2 );

фы;

либо,

наконец,

за п—1

периодов занятости не было катастро­

она

наступила

лишь

внутри

последнего периода

занятости

(с вероятностью [n(s)]n~lsn(z,

x,

s)dx).

Формула

(2.8)

получается

из

(2.7),

если

(2.7)

помножить

на

уп(п~^\)

и

просуммировать

по п.

Г. Число

обслуженных

вызовов внутри n-периода.

Предпола­

гается, что

в

момент ^о = 0

начался я-период и

он

не

закончился

к моменту

t.

Обозначим

через Р£}

(x,

t) dxdt

вероятность того, что

Pn (z,

= £ Pin) (x, t) zk; P n {z,

x,s)=* e~stPn

(z,

x, t)

dt;

oo

П {z,

s) = pn(z,

x,

s)dx.

(2.12)

о

0

р (у, г; x, s) = 2

(z, x,

s).

(2.13)

я>1

Т е о р е м а

2.

Верны

соотношения

а)

pn(z, x, s) = [l-B(x)\er'*

' " '

^ ' f

* ,

| г | < 1 ,

1 — zß (s)

R e s > 0 ;

(2.14)

pAz,s)

=

± ^ ^ . - l - l

* < ' ' f

, j 2 l < l , R e s > 0 ;

(2.15)

s

1 — zß(s)

б)

p (y, z, x,s)=[l—B

(x)] e~sx

у ( 1 " ф ( г

, 5 ) )

;

(здесь cp(z, s) определяется в §5 гл. J).

Д. Возможно обобщение (объединение)

теорем 1 и 2. Каждый

ожидающий или обслуживаемый

вызов считаем

красным

с вероят­

ностью y ( 0 s ^ y s c ; 1), а

каждый

обслуженный

— с вероятностью

г ( О ^ г ^ І ) независимо

от цвета

остальных

вызовов.

Обозначим

через snn(y, z,

x, s)dx вероятность

того,

что внутри

л-периода

первая катастрофа наступила в момент,

когда все вызовы

(обслу­

женные и находящиеся в системе)

были

красными,

а с последнего

0-момента прошло время х.

Т е о р е м а

3. а)

функция

пп(у,

z,

x,

s)

находится

из

равен­

ства

кп (у, z, x, s) = [ 1 -

В (x)] е~(*+°-"у)х

i ^ J h W — ,

(2.18)

l—zy

' ß ( s +

a — ay)

R e s > 0 ,

\y\<

1, ! z | < 1,

n(a,y,z,x,s)--=

°

(I—ay)

[l—B(x)]X

(1 — а ф ( г , s))

X e-i*+°-«»*

i ~ f ( 2

' s )

- ,

(2.19)

l—zy

ß (s -

j - a — ay)

R e s > 0 , I а ; < 1,

\y\<l,

| z | < l ;

def

«

1 — ß (s-\- а — ay)

б)

я„ (у, z,

s) =

\ я„ (у,

z, x,

s)

dx

s - f a — ay

О

X -

y n ~y2 ;S ) 1 "

,

R e S > 0 , | i / i < l ,

| 2 : < 1 ,

(2.20)

def

~

s)I .dx -

я

(a, y,

z,

s) =

l я (a, у, z,

о

1 — ß ( s + a —a#)

(/ — ip(z,s )

(1 — acp(z,s))(l — ay)

s-}-a — ш/

1—гг/

' ß ( s - f - a —

Щ)

(2.21)

R e s > 0 ,

a , < 1, | у і < 1 , | z | < 1

(здесь

я (a, у, г,

s) = ^

а

" я л (У>г » х>s )» а

Ф (г» s )

находится

в § 6

гл. 1).

маются

моменты

начала

или

окончания

обслуживания

вызовов

и восстановлений прибора. Положим

P*(z, x, s) = £

f e-'stPk{x,

t)zkdt

=

j

e-s 'P(z, x, t)dt.

(3.1)

fe>0

о

0

Найдем

производящую

функцию

оо

P (z,

0 =

j P (z, x,

/) dx

(3.2)

0

числа вызовов в

системе в момент времени

t.

Мы найдем

оо

P* (z, s) =

j P* (z, x, s) dx,

(3.3)

о

являющееся преобразованием

Лапласа—Стилтьеса от P(z,

t).

Б. Период регенерации. Очевидно, что моменты перехода си­

стемы

в свободное от

вызовов

и исправное

состояние являются

г

т

1тип I

I — I

І

1

I

t

тать

за

его

занятость.

Тогда

после

промежутка

исправного и

свободного

(Состояния

прибора

начинается

промежуток

занято- 2тип\

1

1

1

' і

* "

•

ста, с окончанием

которого

кон­

чается

период регенерации.

Рис. 3

В. «Обобщенный»

период занятости.

Промежуток

занятости

прибора,

начавшийся

либо с

обслуживания

вызова,

поступившего

в свободную

и исправную

систему, либо с восстановления

прибора

Действительно, это следует

из равенства

е (s + а) =

j " ér-<s +a>« dE (и).

о

s + a. Тогда «вызов» суммарного потока

с вероятностью —

s + a

является вызовом и с вероятностью

катастрофой. Величина

s +

a

С

вероятностью

[ 1 — е (s + а)]

составной

частью перио-

s -+ а

да регенерации является период занятости типа

/ и с вероятностью

е (s + a) —период занятости типа 2.

Вызов называем

плохим,

если

за период

занятости,

связан­

ный

с ним, наступила

катастрофа

(предполагается,

что

порядок

обслуживания вызовов инверсионный, что не влияет

на распреде­

ление «обобщенного» периода занятости). Каждый

вызов — пло­

хой

с вероятностью 1—л (s). Поток плохих

вызовов за время одно­

го

восстановления

прибора — пуассоновый

с

параметром

а[\—л

(s)]. Тогда суммарный

поток

катастроф

и плохих

вызовов

новый с параметром

s + a—ал (s).

Величина cp (s + a—ал (s))

—

вероятность того, что за период

занятости

типа 2

катастрофа

не

наступала или, что то же самое,

за время

одного

восстановления

прибора не наступали

катастрофы

и не поступали

плохие вызовы.

Теперь по формуле полной вероятности

можно

выписать выра­

жение

— - — [1 — е (s + а)] я (s) +

е (s + a) cp (s -f- а — ал (s)),

s + a

ления периода регенерации.

Д. Длина очереди в одном периоде регенерации.

Напомним,

что sn(z,

X, s)dx

— вероятность наступления

первой

катастрофы

в одном

отдельно

взятом периоде занятости

системы

M | G | l | o o

с абсолютно надежным прибором (или, что то же самое, в периоде

занятости типа 1) в момент,

когда все вызовы в системе являют­

ся красными,

а с последнего

0-момента прошло время х.

Величина

snn(z, х, s)dx

— вероятность того, что первая ка­

были лишь красные

вызовы,

а с последнего 0-момента

прошло

время X.

а) Распределение длины очереди в периоде занятости типа 1

определяется функцией я (г, х,

s).

б) Рассмотрим случай периода занятости типа 2. Если

каж­

дый вызов считаем

красным с вероятностью z и синим

с вероят­

ностью 1—z независимо от цвета других вызовов, то поток

синих

вызовов — пуассоновый

с параметром

а(1—z)

(см. §

1, доп.);

e-(s+a-az)x

— вероятность

того, что за время X не наступали

ката­

строфы, и не поступали

синие

вызовы

(поступали

лишь

красные

вызовы).

Тогда і[1—F(x)]e~(s + a ~a z îx sdx

— вероятность того, что за

время

восстановления прибора,

длительность

восстановления

которого

превосходит х, через время х от начала

восстановления

наступила

первая

катастрофа,

а до ее наступления

в систему

поступали

одни

красные

вызовы.

(' (аи)п

е~аи e~sn dF (и)

(п>1)

Ö

за время восстановления прибора не наступают катастрофы

и по­

ступают п вызовов.

Тогда

оо

S

f ^~—e-aue~susnn(z,

x, s)dxdF{u)

(3.4)

есть вероятность

того,

что период занятости

типа

2 включает в

себя и обслуживание вызовов, а первая

катастрофа

внутри перио­

да

занятости

типа 2 наступила

во время

обслуживания

вызовов

в

момент, когда

все вызовы в системе

оказались

красными,

а с

последнего 0-момента прошло время х.

Подставим в

(3.4) значение

nn(z,

х, s),

вычисленное

в § 2:

оо

^

^ Jo^_ g __a u e _ S H

^ ^ ^ d x d p

^ =

г>ЗН О

[1 — В (х)]

e - ( s + a - û ^ .

sdx

х

1 — z~l ß (s +

а — az)

ОО

ОО

X

j " e-(s+a-az)u

d p ( „ )

(j* g - < s + a - « T < s ) ) «

( „ )

= s [1 -

В (X)) е-<*+*-«>* d* •

Ф(» +

в - Д * ) - Ф ( * + в-Дя(*)) ^

1 — 2

ß (s -f- а — az)

s [1-Е

(х)] e-<s+a>x

dx -\

— е (s - f a) [1 — Я (x)] *-<*+-«-«)*d x x

s

--]- a

X

Z-K(S)

s e

^

j

_

,

^ x

1 — г - 1 ß ( s + a — az)

У

' 1

4 ; J

Ф (s - j -

a —• аг) — ф (s -\- a — ал (s))

1 — z - 1

^(s-^a

— az)

(3.5)

E. Формулировка результата. Верна следующая

Т е о р е м а

1. а)

функция

P*(z,

x,

s)

удовлетворяет соотно­

P* (z,

x,

s) —

1

— (1—e(s+a))n(s)—c(s+a)4>(s~\-a—ал

(s))

1 x

L

s + a

s-j-a

[1 —e (s + a)]

[i—B(x)]

x

x

e-(s+a~az,x

_ J

|_ e

( s + flv

M _

f

(*)1 e - < s + « - « > *

4-

1 — z

ß (s + a — az)

T t

( s

|

o ) [ l

— В

(X)] fi-(«+«-«)* ^ _ ( 5 + a - a z ) - y ( s

+

a - a n ( s ) ) |.

g

1 — z 1

$(s-\-a

— az)

j

б)

в частности,

распределение

длины

очереди

определяется

формулой

в)

средняя

длина

очереди

в

момент

t

задается

своим

преоб­

разованием

Лапласа

Pi(s)

ар* (z,

s)

1

(1-е

(s 4- a) л (s) —

dz

z = l

— e (s +

a) ф (s -f

a — an (s))

— î

{

1 — e (s -|- a)

x

X

(s +

a — а л (s))

+

e(s

+ a) [1 — q>(s - f a - а л (s))] j

\ — —

x

J

s2

L s

-j— a

x

(1 — e(s +

a))(l — n(s))-f-

-J-

e (s -J-

a) [ф (s) — ф (s

;

a — а л (s))]

ß ( 5 )

) .

(3.8)

s ( l - ß ( s ) )

З а м е ч а н и е .

Из

(3.8)

можно

получить

главный член

асимптотики

ве­

личины

sPi(s)

разложением

этой функции в ряд

по

степеням

s. При малых

s

sPt

(s)

-

aß x

+

a 2 ß 2

а 2 ф а е

(а)

(3.9)

2 ( 1 — aßi)

1 — e (a) +

ae (a)

ф х

Доказательство

теоремы

аналогично

доказательству

теоре­

мы 1, § 6,

гл. 1.

48

Поток плохих вызовов, поступающих за

время одного

восста­

новления прибора, пуассоновый с параметром а[\—ф(г,

s)], так

как каждый вызов, независимо от остальных — плохой

с

вероят-*

ностью 1—ф(2, s).

Так как пуассоновые потоки катастроф

и плохих

вызовов,

зависимы, суммарный

поток катастроф и плохих

вызовов является

пуассоновый

с

параметром

s + a—аф(г,

s).

Следовательно,

(p(s + a—аф(г,

s))

есть вероятность

того, что

за

время одного вос­

становления прибора

не наступали

катастрофы

и

не

поступали

плохие

вызовы, или, другими словами,

за период занятости типа 2

не было катастроф

и

обслуживались

лишь

красные

вызовы.

Далее, так

как

с

вероятностью

—— [1—e(s + a)]

в

одном ие-

s

+а

катастрофа

риоде

регенерации

до

периода

занятости не

наступает

наступала катастрофа и обслужены лишь красные

вызовы.

Эта

вероятность равна

—-— [1 —

е (s + а)] ф (z,

s) +

е (s + а) ц> (s + а — аф (г,

s)). (4.7)

s +

a

В.

Число вызовов, обслуженных к любому

моменту

внутри

одного

периода регенерации. Напомним, что sp(z,

х,

s)dx—

веро­

ятность

того, что

в периоде

занятости системы M | G111 оо

с

абсо­

лютно надежным

прибором

(или, что то же самое,

в

периоде

занятости типа

1)

первая

катастрофа наступила

в момент, когда

с последнего 0-момента прошло время х и были обслужены

лишь

красные

вызовы;

a spn(z,

х,

s)dx

— вероятность

того, что

первая

катастрофа внутри п-периода наступила

в момент,

когда

были

обслужены лишь

красные

вызовы, а с последнего 0-момента

про­

шло время X.

а)

Распределение числа

обслуженных

вызовов

в любой

мо­

цией p(z,

X, s).

2.

б)

Рассмотрим

случай

периода

занятости

типа

[1—F(x)]e~s x sdx — вероятность того, что за

время

восстановления

прибора,

длительность

восстановления которого

превосходит

х,