книги из ГПНТБ / Мазин П.Н. Основы ядерной электроники учеб. пособие

~ ^1^3 "’ ^N-Sl^Nq-I^N* ^i^N0-M^H-N*r"^H•

причем_событие А должно произойти N раз, а со­ бытие A N0 ~N раз в каждой комбинации. Число комби­ наций такого рода равно

N1

(No -N)lH0[

Вероятность такой комбинации по теореме об умножении

Мы юлучили выражение для биномиального закона, выве­ денное ранее.

Часто результаты опыта описываются не одной случай­ ной величиной, а несколькими, образующими систему СВ. Обычно система случайных величин обозначается ( X , У , W ) . Действительно, если рассматривать не только про­ цесс распада N0 радиоактивных ядер, но и процесс ре­ гистрации ЯИ детектором, то нетрудно заметить, что им­ пульс, созданный ядерной частицей на выходе детектора, обладает случайным максимальным значением (амплитудой) и имеет случайный момент возникновения. Первая случай­ ная величина определяется процессом взаимодействия ядерной частицы с веществом рабочего объема детектора, а момент появления ядерной частицы зависит от внутрен-

70

d &F(x,y) f ( * , p -дхд^

Тогда справедливо равенство

Р ( ( Х , У ) С Я -)^ J f ( x , y ) d x c i y

т

Функция распределения системы, в свою очередь, опреде­ лится как двойной интеграл вида

Законы распределения случайных величин, входящих в си­ стему, определятся следующим образом:

f ( x )= F p x ) = ^ f ( x , I f )o /tf i

— <90

со

1 i t y - Ft t y = J f (x>pd x ‘

—0*3

Взаимное влияние в системе СВ оценивается с помощью условных законов распределения.

Условным законом случайной величины X > входящей

72

в систему (X » У ), называется ее закон распределения, вычисленный при условии, что другая случайная величина У приняла определенное значение у . Обозначается ус­ ловный закон так:

/(* /? )■

Закон распределения системы, выраженный через условный закон, имеет вид

и

откуда условные законы можно определить как

й f ( * w -

fi(x )

Если зависимости между отдельными случайными вели­ чинами нет, то и законы распределения независимы. Тогда

Для случая системы независимых СВ справедливо необходи­ мое и достаточное условие независимости

= f i W & f y ) -

Аналогично случайным величинам системы случайных величин также имеют числовые характеристики для упрощен­ ного их описания. Выражения для начальных и центральных моментов систем случайных величин имеют вид:

73

Если мы рассматриваем систему зависимых случайных вели­ чин, то степень этой связи определяется корреляционным моментом центрированных случайных величин

К - М[Х. У]~М{( Х- тх ),(У-Шу)] ■

Если величины X и У независимы, то корреляционный момент равен нулю. Если случайные величины равны, т.е. X = У , то корреляционный момент переходит во второй центральный момент. Чем больше связь между величинами X и У , тем больше корреляционный момент.

§ 2. Метод производящих функций

Часто лри проведении выкладок удобно использовать интегральные преобразования Фурье и Лапласа. Получаю­ щиеся при этом функции носят название производящих. В зависимости от типа преобразования различают:

-характеристические функции ( ХФ ) ;

-производящие функции вероятностей (ПФВ)$

-производящие функции моментов (ПФМ).

Наиболее распространена характеристическая функция,

74

полученная в результате применения преобразования Фурье для плотности вероятности СВ:

где z? - параметр преобразования. Для системы случай­ ных величин характеристическая функция имеет

вид

к

9(Ъ,*я, —,# к) - М [ e x p (j^ & kXk)\ =

k=i

Тк

Зная характеристическую функцию, можно найти плотность вероятности, применив обратное преобразование Фурье:

- во

>

В ряде случаев легче определить характеристическую функ­ цию СВ, а затем использовать вышеприведенное выражение для наховденмя плотности вероятности.

Напомним основные свойства характеристической функ­ ции, которые будут необходимы в дальнейшем:

I . Если случайные величины связаны мевду собой ли­ нейной зависимостью, т.е. У - аХ , где а = const ,

75

е м . М[е*м ] - M[ef‘ *]- м[е>!‘ "а \°

¥

2. Характеристическая функция суммы независимых СВ равна произведению характеристических сумм слагаемых. Действительно,

в м - м [et™]-- М [et№?х*] - М [ Л е ^ ] - П Iff [ e ^ J \-f]$M

позволяет вместо сложения случайных величин и определе­ ния закона распределения суммы СВ путем композиции рас­ пределения определить предварительно характеристичес­ кие функции слагаемых, а затем их произведение, после чего используется обратное преобразование Фурье. Ха­ рактеристическая функция, кроме того, позволяет опреде­ лять начальные моменты СВ по формуле

Рассмотрим в качестве примера несколько задач с ис­ пользованием характеристической функции.

Пример I . Найти характеристическую функцию закона распределения, который описывает поведение радиоактивно­ го ядра на отрезке времени 0 -г Т и вид которого изо­ бражен в таблице:

76

Q(v) = ^ e^ XtPi ~ е^&°у+е ^ р1 ^y+ pet1*.

i =i

Пример 2, Найти математическое ожидание по харак­ теристической функции для предыдущего примера.

Р е ш е н и е :

d6(&)

» I е м | „

d&

/_ dG(o-)

2)тх

<? d v i>=o i

Пример 3. Определить характеристическую функцию в(&) для биномиального распределения.

Р е ш е н и е :

1^0 t~i

Пример 4. Определить характеристическую функцию $(&) для закона Пуассона.

77

Р е ш е н и е :

интеграл, полученный после подстановки, табличный и равен | (2St' , что в результате приводит к выражению

в М = е*jOV- г

78

Для центрированной величины при а - О и <& = / фор­ мула упрощается:

G(t>) = е 2 .

Кроме характеристической функции, как мы говорили выше, различают так называемые производящие функции мо­ ментов, которые, в сущности, являются преобразованием Лапласа и обозначаются как

<

2 . е Pi '

i=o

В операционном исчислении имеем

о©

X = ^ e ~pxf(x)dx ,

о

т.е. разница заключается в отсутствии знака. Однако в обоих случаях требование существования интеграла яв­ ляется необходимым условием.

Кроме того, есть производящие функции моментов цен­ тральных (ПФМИ), определяемые выражением

псрмц = М[ efx' n*w ] •

Для определения законов распределения случайных ве­ личин часто применяется и производящая функция вероят­ ности

79