книги из ГПНТБ / Мазин П.Н. Основы ядерной электроники учеб. пособие

Пример 3. Найти закон распределения случайной ве­ личины У , показывающей, какое число ядериых частиц вылетит из источника ядерннх излучений за время наблю­

Рг Р $

Ряд распределения случайной величины У , связан­ ной с вылетом ядерной частицы из ядра, будет иметь вид

лю при отсутствии распада ядра. Этот ряд является ус­ ловной вероятностью события, заключающегося в вылете ядерной частицы. В соответствии с формулой полной веро­ ятности будем считать, что

Так как событие вылета ядерной частицы может произойти только при распаде ядра, то Р(У ={) =р& .

90

Проверим полученный результат, используя аппарат производящих функций. Очевидно, условная ПФВ величины У будет

Для получения безусловной производящей функции необхо­ димо произвести усреднение условной ПФВ по возможным значениям гипотез, но в данном частном случае учитывает­ ся одна гипотеза, так как при второй гипотезе условная вероятность вылета ядерной частицы равна нулю. Следова­ тельно,

G(&) - P(i-i)G(^/j) - р(г + tPs).

Закон распределения случайной величины У определим по общей формуле

что и требовалось определить. Дифференцирование произ­ водилось один раз, так как рассматривался случай одно­ го ядра.

Рассмотрим случай двух радиоактивных ядер. Условная характеристическая функция, описывающая случайную вели­ чину У , останется прежней. Но теперь вылет ядерной частицы из источника ядерных излучений представляет собой результат распада двух ядер, и мы должны в соот­ ветствии с вышеприведенным перемножить условные произ­ водящие функции, чтобы получить условную ПФВ для случая двух ядер:

91

( G f O / i f - l x + V s ) 1,

а безусловная производящая функция определится по фор­

муле

Ai=5

N=i

В данной формуле не известна вероятность гипотез, кото­ рые представляют собой события распада ядер. Очевидно, возможно несколько вариантов:

1. Ни одно ядро не распалось, т .е . N - О • Вероят­ ность этого события равна

Р (я-О ) - f t - fp ° .

2. Распадается одно ядро, т .е . /V - I . Вероятность события, заключающегося в распаде одного ядра из двух, определяется как суыма произведений ptf, двух несов­ местных событий. Произведение же взято потому, что ве­ роятность события, заключающегося в том, что должны про­ изойти два события - распад одного и отсутствие распада другого ядра, определяется по теореме умножения вероят­ ностей:

P(N=i) - р? +p f = 2р$-

3. Распадутся два ядра, т .е . Д/ = 2 . Вероятность этого события определится как вероятность произведения:

P(N=2) = рр = .

92

Итак, получим ряд распределения, описывающий число распадов ядер за время наблюдения. Теперь безусловная ПФВ будет

О(») = х m 6 Ш ~ г м с ( 7 н - 1)+

N--i

+ p sG( **/'N-S) - Spy (г + i?s) + р 8(г+

Напомним, что при отсутствии распадов обоих ядер условная вероятность равна нулю.

Имея ПФВ, нетрудно определить закон распределения

Подставим полученные значения в формулу для определения закона распределения через производную от ПФВ:

Для случая одного ядра получим вероятность вылета ядерной частицы как произведение ps> . Попробуем представить аналогично ряд распределения для двух ядер:

93

Сравнивая полученные выражения с форыулой для /Y/f^

в случае двух ядер, видны, что они имеют одну конструк­

описывающее распад ядра и вылет ядерной частицы из ис­ точника ЯИ, представляет собой биномиальное распределе­

94

сти позволило определять вероятности сложных событий, происходящих в источнике и среде его окрухащей, с ис­ пользованием аппарата производящих функций.

§ 4 . Кумулянты производящих Функций

Кумулянты представляют собой логарифмические момен­ ты закона распределения случайной величины. Ряд авторов определяет их как коэффициенты при членах разложения ло­ гарифма характеристической функции в ряд Маклорена. По­ кажем это и установим связь между обычными моментами за­ гона распределения СВ и кумулянтами. Для этого исполь­ зуем выражение для характеристической функции

в (z?) - J ej*x f(x)dx.

—с*э

Разложим 9 (&) в ряд Наклорена, для чего предва­ рительно найдем производные:

- вторая производная

95

При параметре & = 0, очевидно, выражение для S) -й

производной будет иметь вид

со

где /779 - начальный момент i) -го порядка.

Таким образом, производная производящей функции не­ посредственно связана с начальным моментом. Ряд Макле­ рена в общем виде можно записать следующим образом:

а для характеристической функции

■}=/

Найдем теперь логарифм характеристической функции и его производные по параметру & .

Пусть у>(т?) = £ п в М . Тогда после подстановки по­ лучаем

В общем виде разложение в ряд логарифма (у + z ) запишется как

96

Для надето случая

* - 2

V:/

гС*°

от начальных моментов. Действительно, из полученного выражения следует:

97

Для центрированной величины выражения упростятся, так как математическое ожидание для нее равно нуле, т .е . я?, * 0 . Тогда связь мезду кумулянтами и централь­ ными моментами будет еще проще:

Коэффициенты асиммеТрии и эксцесса, как известно, определяются формулами:

Подставляя значения моментов через кумулянты, получим

В качестве примера рассмотрим моменты закона Пуас­ сона.

Ранее било получено выражение для ПФВ случайной ве­ личины, распределенной но закону Пуассона:

С М - * * " 0 .

98

Найден математическое окидавие случайной величины

Для нахождения кумулянта первого порядка необходимо най­ ти логарифм производящей функции, а затем взять произ­ водную и приравнять ее параметр хО к единице:

Теперь покажем, что кумулянтн являются логарифми­ ческими моментами закона распределения. Для этого до­

статочно применить общую методику нахождения моментов производящей функции.

Воспользуемся выражением для логарифма характери­

стической функции

99