книги из ГПНТБ / Мазин П.Н. Основы ядерной электроники учеб. пособие
.pdfг
|
|
|
|
|
(3.1.10) |
|
|
О |
|
|
|
|
|
Напомним, что индексом |
м |
обозначен стабильный |
||||
продукт, для которого |
Ам = О |
и |
е ' л»т= 1 . |
|||
При практической неизменности количества ядер А |
||||||
или в случае, когда имеется вместо ядер |
А постоянный |
|||||
внешний источник |
, математические |
ожидания |
числа |
|||
ядер £,<0, Gr --,M к моменту |
J |
|
оказываются |
равными |
||
г |
Г |
/ - е'хьт |
/ - Р~*»т |
7~Т |
|
|
д |
/д _ д + |
jл |
|
|
|
[Ag(A^ Лв) |
Ад(Ав А#) |
|
||
|
|
/ - e 'V |
|
У - e ’V |
У- e ' V |
|
|
|
|
AJAe-A J A G-A J |
|
я далее |
|
|
т |
|
|
|
|
|
|
||
|
йк +i |
= Ак е *K,ij e |
КМ ; |
|
|
|
|
г |
О |
|
|
|
|
|
|
|
|
о
Если в начальный момент времени б сложной радиоак тивной системе присутствует лишь fiQ ядер исходного вещества А , то вероятность того, что к моменту Т
130
/Vg |
ядер окажется |
в состоянии |
В , |
Mq - |
в состоя |
нии |
<£>,.■•, NM - |
в состоянии |
М и |
ИА= /|/0- |
^Л^/£,+ |
. . . + /У^ ) ядер останется в состоянии А , опреде лится полиномиальным законом распределения
-,м NA! Ng' |
... |
1 РаР вРа®'" |
Если вещество А является очень долгопериодным, т.е. его количество практически не убывает за время 7 (или вместо А имеем постоянный внешний источник ЯИ), то полиномиальный закон преобразуется в многомерный закон Пуассона
/в,»,...,и |
Hg l |
ця ! |
(3 .1 .1 2 ) |
где средние количества ядер |
|
опреде |
|
ляются из законов радиоактивного распада.
Часто нужно знать не только законы накопления радио активных веществ в источнике, но и закономерности их распадов. Если интересоваться вероятностью осуществле ния в интервале A t того или иного числа распадов лишь одного определенного типа, да еще при наличии в начальный момент t = 0 лишь исходного вещества А ,
то мы получим формулу биномиального |
распределения. |
На |
пример, вероятность осуществления в |
интервале |
в |
ряду |
|
|
131
|
|
в |
|
|
«0 |
\0 |
••• |
X |
м |
|
|
чиела распадов |
/V |
тала |
£) —- G определяется |
соот |
|||||||
ношением |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
/V |
1 |
|
|
|
|
|
P(Nq,N0) |
|
|
П0 • |
|
|
|
|
|
|||
|
tfi( n 0- |
Ny(PG) ^ ( l P ) 0 в> (3.1.13) |
|||||||||
где |
|
|
|
|
N, |
- N , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
Ро = |
Ж, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
^ |
>V. |
- |
средние |
числа распадов £) —* G , |
проис- |
||||||
|
Н ’ |
системе |
соответственно |
к моменту £ |
в |
. |
|||||
ходящих в |
|||||||||||
Если |
/V0 — |
<ж> |
, |
то |
биномиальное распределение |
переходит |
|||||
в закон Пуассона |
|
-AWi.n- |
^ |
»*в |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
Р ( ^ о ) ' L - ^ f r 2^ - ■ |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
По - |
|
(3 .1 .14) |
||
Пуассоновское распределение сохраняется для числа распадов любого члена сложной радиоактивной системы в равновесных условиях. 5 этом случае распады любого типа обусловлены присутствием в системе всех предшествующих радиоактивных веществ. Среднее количество ядер каждого из этих веществ в равновесных условиях неизменно, и распределение числа распадов отдельного типа, обуслов ленных* каждым из материнских веществ, описывается зако ном Пуассона. Следовательно, и суммарное распределение является пуассоновским.
Таким образом, исходя из физики процессов, происхо-
132
дящих в источнике ЯИ, можно определить теоретическую модель измеряемого параметра.
Далее необходимо в соответствии с методикой опреде лить связь между исхомой величиной X и сигналом си стемы. Прежде всего нужно так или иначе оценить эффек тивность схемы детектирования, т.е. определить вероят ность детектирования ЯИ, решить задачу перехода от па
раметра |
X к характеристике |
детектора. Если величина |
X распределена по какому-то теоретическому закону |
||
Р(Х) |
» который определяется |
свойствами источника ЯИ, |
то эффективность схемы измерения определяется вероят ностью потери информации на этапе прохождения ее от ис точника ЯИ до выхода прибора.
Различают различные эффективности:
-эффективность регистрации, под которой понимают вероятность регистрации всей измерительной системой}
-эффективность детектора, представляющую собой ве роятность того, что ядерная частица, попавшая в объем детектора, произведет ионизацию, достаточную для реги страции последней аппаратурой;
-эффективность счетной схемы, т .е. вероятность то го, что ядерная частица попадет в рабочий объем детек
тора и т.д.
1 нервом случае, т .е. при использовании эффектив ности регистрации, закон распределения сигнала прибо ра будет определяться, очевидно, как законом распределе ния распада радиоактивного ядра или системы ядер, так и вероятностью регистрации. Для одного ядра, характери
зующегося вероятностью распада р |
, учитывая вероят |
|||
ность |
регистрации £ |
, в соответствии с теоремой умно |
||
жения |
будем иметь вероятность появления сигнала |
в виде |
||
|
f>(y) |
= £ р ( * ) - |
(3 |
.1.15) |
133
Что касается системы радиоактивных ядер, то выше было показано, что биномиальное распределение для числа за регистрированных распадов типа А ^ М будет иметь вид
P(N0,N) |
|
К ! |
(£р)“(1-6р) |
и0-* |
|
||
|
|
N!(N0-N)! |
|
|
(3.1.16) |
||
Из вида формулы следует, |
что она не может быть по |
||||||
лучена путем простой замены полного числа А!0 |
наблю |
||||||
дений за поведением ядра на |
£/!„ .В |
самом деле,мно- |
|||||
|
N 1 |
|
и показатель степени |
/V„ - N |
не |
||
житель ———g - ., |
|||||||
NHNo-N)! |
|
|
|
0 |
|
||
зависят |
от того, |
|
с какой вероятностью регистрируются |
||||
события. |
Если А/о —.оо , |
т.е. мы можем пренебречь |
|||||
распадом ядер за время наблюдения и перейти к пуассо новскому распределению, формула получит вид
(3-1Д7)
Данная формула дает закон распределения числа частиц, зарегистрированных электронно-физической системой за время эксперимента Т . Напомним, что в этом случае мы получим реализацию процесса.
Часто эффективность регистрации найти трудно, и ее определение сводится к нахождению частных эффективно стей на основании свойства независимых отдельных факто ров, влиящих на прохождение информации по тракту. Весь путь образования ядерной частицы, вплоть до ее детекти рования, разбивается на элементарные участки, и каждый из них описывается отдельно. Общая эффективность в дан ном случае будет определяться как произведение эффектив ностей отдельных процессов, т.е.
э - Пэ, . |
(3.1.18) |
i |
|
Кроме эффективностей, выраженных тем или иным зако ном распределения, некоторые из частных эффективностей представляют собой коэффициенты, т.е. величины, посто янные для данного конкретного случая решения задачи.
Таким образом, случайная величина X будет в послед нем случае претерпевать линейное преобразование вида
У = а X * t . |
(3.1.19) |
Согласно известному правилу можно найти закон распре деления случайной величины у по известному закону
величины |
X • в виде коэффициента |
а |
чаше всего |
фигурирует геометрический фактор - |
эффективный телес |
||
ный угол, |
охватываемый рабочим объемом детектора и оп |
||
ределяющий долю ядерного излучения, которое поступает на детектор. Геометрический фактор определяется разме рами системы источник - среда-детектор. Наиболее про сто он определяется для точечного источника, излучаю щего ЯИ изотропно. Обозначим геометрический фактор че
рез Г • Тогда для |
изотропного точечного |
источника |
|
# |
г ~ W |
’ |
(3.1.20) |
|
|
|
|
где Q - телесный угол, под которым из источника ви ден рабочий объем детектора (рис. 3.1).
Принимая во внимание размеры системы: г - рассто яние окна детектора от источника S , S) - расстояние от источника S до точки А , можно определить гео метрический фактор формулой
135
i Г |
R* ' |
<? . |
+ i) . ■ (3.1.21) |
Для дискового однородного источника радиусом R который лежит соосно окну детектора в параллельной ему плоскости, геометрический фактор можно определить по формуле
„ |
„ 3 |
> R*% |
5 |
пЧ |
R% |
3 |
Г |
= Г____ R |
ш------- |
+ ------ |
R |
------ |
(ts-~r-R2)+ - (3.1.22) |
5 |
i6 |
38 |
мг а 9 |
|||
Влияние геометрии определяется с помощью стандарт ного источника с известной скоростью распада, помеща емого в нужном положении. Гео-
дметрический фактор для протя женных источников часто опреде ляют экспериментально. Кроме ге
ометрического фактора с помощью коэффициента а можно учесть долю частиц, поглощаемых средой между источником НИ и детекто ром или рассеиваемых ею, погло щаемых веществом стенок детекто
ра и т.д. Особо необходимо отметить роль вероятности детектирования, т.е. эффективности, показывающей, ка кая доля поступившего л^-^ктор Яй будет фактически зарегистрирована, точнее, создаст эффект, величина ко торого достаточна для регистрации схемой измерения.Для газонаполненных детекторов эта вероятность зависит от константы удельной первичной ионизации газа-наполните ля, давления газа, энергии и длины пробега ядерной ча стицы через объем детектора. Для большинства ЯИ, кро-
136
ме гамма-квантов, вероятность детектирования близка к единице, ж часто поправок никаких не требуется.
В случае же гамма-квантов вероятность детектирова ния зависит главным образом от энергии гамма-квантов и вещества материала, из которого изготовлен детектор. Так, обычные торцовые детекторы Гейгера с окошком из латуни, наполненные аргоном, имеют эффективность около
10# на I Мэв энергии гамма-излучения. Это отношение ли нейно для энергий выше 0,1 Мэв. Ниже этой энергии эф фективность с понижением энергии падает медленнее и на конец возрастает снова вследствие значительного погло щения в газовом наполнителе. Значительно более высокую эффективность детектирования имеют сцинтилляционные де текторы, которые сейчас в основном и применяются для регистрации гамма-квантов. При использовании кристаллов
НоЭ(Тг) можно получить эффективность, близкую к 10056. Эффективность детектирования в этом случае зави сит от энергии гамма-квантов, размера и формы кристал ла-сцинтиллятора и расстояния от источника до кристал ла, так как оно влияет на путь гамма-квантов в йодис том натрии. 3 данном случае коэффициент эффективности выражает вероятность того, что гамма-квант после попа дания на кристалл образует световой импульс, достаточ но интенсивный, чтобы он был зарегистрирован на фоне тумсв.
р качестве примера рассмотрим спектрометрическую задачу определения энергетического спектра ядерного из лучения. Пусть в нашем распоряжении имеется теоретичес
кое распределение |
f(x ) |
случайной |
величины - пара |
|
метра х |
(энергии |
ЯИ), |
полученное |
в результате вы |
полнения первого пункта методики. Измерения энергетииескогс спектра производятся с помощью сцинтилляционно~
137
го детектора, эффективность которого определена как полная собственная эффективность, т.е. учитывающая и геометрический фактор и вероятность детектирования, и описывается функцией эффективности Э(х).
В силу независимости событий получения исходного спектра и функции эффективности спектр параметра X исказится, и в детекторе будет уже спектр величины У , который определится произведением
(3.1.23)
Если принять функцию эффективности в простейшем виде для регистрируемого диапазона энергий гамма-квантов линейной, т.е.
Э(ос) - ах + t ,
где а ■<О, $ О для линейной составляющей реаль
ных функций эффективности сцинтилляционных детекторов, а в качестве теоретического распределения параметра рассматривать нормальную функцию распределения со сред неквадратическим отклонением I и математическим ожиданием х0 , то искаженная функция распределения, получаемая в детекторе, будет иметь вид
(3.1.24)
Из условия ее максимума:
т.е. он сдвинут относительно исходного сигнала. Это может привести к изменению математического ожидания си гнала. Изменяется и дисперсия распределения.
Приведенный пример типичен тем, что показывает не разрывность действий оператора при выполнении требова ний второго пункта методики. Действительно, одновремен но производится выбор оптимальной схемы детектирования
иопределение ее эффективности в зависимости от вида и энергии ядерного излучения. Так, для детектирования гамма-излучения широко применяется спинтилляционный метод, а для детектирования альфа-излучения наиболее пригодными оказались импульсные ионизационные камеры
ипропорциональные счетчики, бета-частицы же детектиру ются торцовыми счетчиками Гейгера-Мюллера и проточными
иторцовыми пропорциональными счетчиками. Последние в настоящее время находят все более широкое применение, так как они могут работать при атмосферном давлении и поэтому в них может быть использовано тонкостенное ок но, т.е. счетчик пригоден для детектирования бета-час тиц низкой энергии.
Итак, в результате выполнения второго пункта методи
ки делается переход от сигнала X к сигналу |
У . |
Следующим этапом решения задачи является |
выбор ме |
тода измерения искомого параметра и соответствующей блок-схемы контрольно-измерительной аппаратуры.
В результате выполнения двух первых пунктов методи ки сигнал У в детекторе описывается как случайная величина или система случайных величин (случайная функ ция), характеризующих целый ряд параметров Яй : энер гию ядерной частицы, момент ее появления, число ядерных частиц за время наблюдения и т.д. Каждая случайная ве личина в общем случае описывается своим, зависимым от
139