книги из ГПНТБ / Булыгин В.Я. Гидромеханика нефтяного пласта

уравнение (III.4.15), учитывая условия (III.4.12) и (III.4.11), из которых ука­ занные функции определяются с точностью до постоянной слагаемой. После того как граничные значения будут найдены, по ним восстанавливаются функ­ ции іі+ (г, ф) п і г (?■, ф) решением задачи Дирихле.

Рис. 29. Продвижение первоначально кругового контура нефтенос­ ности к эксцентрично расположенной скважине. Крестиками отмечены вычисленные точки.

(индекс «О» при Фо и і|з0 опускается).

Тогда интеграл, стоящий в левой части равенства (III.4.17), заменится выражением

.80

Представляя Q a (cp) и (Д,0 (cp) в виде рядов, имеем:

Интегро-дифференциальное уравнение движения границы раздела двух жидкостей

В. Л. Данилов для решения задачи о продвижении границы раздела двух жидкостей воспользовался второй процедурой Маскета [43, 44].

Перейден к выводу уравнения движения границы. Введем гармоническую' функцию, представляющую сумму полей давлений от отдельных скважин:

і /И

натами §, 1 1 ; р — плотность логарифмического потенциала простого слоя в точке

І, т|, непрерывно распространенного по Г.

Согласно известным свойствам потепцнала простого слоя пз (III.4.23) сле­ дует, что

Функция Ф, взятая в виде (III.4.23), является гармонической всюду, кроме точек скважин, где она имеет логарифмические особенности заданного дебита и непрерывна на границе раздела воды и нефти, что следует из непрерывности функции ф и потенциала простого слоя при переходе через границу Г. Если к тому же Ф будет иметь плотность р, удовлетворяющую соотношению (III.4.25), то, следовательно, функция давления удовлетворяет всем условиям задачи.

Воспользуемся этим для составления уравнения движения границы раздела. Для этого найдем предельное значение производной давления по нормали

при стремлении к Г изнутри, она равна:

Подставляя первое равенство (III.4.86), вводя значение из (III.4.25) и обо­ значая

1сі —с2

с1 + с2

получаем следующее уравнение:

Задача отыскания функции F (x, у; t) сведена к задаче Коши для интегродифференциального уравнения (III.4.27) с начальным условием F (х, у; t) = 0.

В уравнении (III.4.27) интегрирование ведется по искомому контуру. Для того чтобы избежать этого, перейдем к полярной системе координат г, Ѳ. При

82

этом предполагается, что контур «звездный», т. е. любой радиус, исходящий лз полюса, пересекает его лпшь 1 раз. Уравнение контура зададим в виде

F(r, Ѳ; t) = r — f (0; 0 - 0 .

В начальный момент I = 0 будем иметь

/о (Ѳ)—/ (Ѳ, 0) = 0,

где /0 (Ѳ) — известная функция.

Формулы перехода к новой системе координат следующие:

После преобразования приходим к уравнению с постоянным интервалом интегрирования:

В. В. Скворцовым был рассчитан пример для кругового пласта при одной эксцентрично расположенной скважине [ ill] , а в работе [85] дан пример экспе­ риментального определения продвижения границы с помощью щелевого лотка.

§ 5. Схема напорной фильтрации

Нередко градиенты внешних давлений значительно превышают капиллярные, а значение функций рі, р£ близки между собой. В этом случае из (III.2.3) получаем

Построенные при этом предположении схемы назовем схемами напорной фильтрации, подчеркивая тем самым преобладающее вли­ яние внешних воздействий. Тогда уравнение (III.2.5) переходит в следующее:

Суммируя уравнения (III.5.3) при разных индексах и учитывая,, что sH-г sB = 1, получаем

К— средняя pro мощности абсолютная проницаемость. Уравнение (III.5.4) можно написать в виде

где е = ен -і- ев.

СХбычно решается краевая задача, сформулированная для уравне­ ния (Ш .5.4) и одного из уравнений (II 1.5.2).

Скорости фильтрации и средние скорости частиц нефти и воды опредёляются по формулам

с участка начальной нефтенасыщенности) за время Т . Оно будет равно

Составим уравнение баланса нефти внутри области начальной нефтенасыщенности за время Г. Для этого, интегрируя члены урав­ нения (III.5.3), получаем

Преобразуем первый член этого выражения, для этого интеграл по области заменим интегралом по контуру нефтеносности L и сква-

84

Интеграл по контуру L равен нулю, так как поток нефти через внешний контур отсутствует, вторые интегралы, входящие под знак суммирования, равны дебитам нефти скважин, расположенных на рассматриваемом участке. В результате получаем

N

N

где 2 Qj и T — суммарная добыча нефти.

/=і

Для несжимаемого пласта при непроницаемой кровле — подошвеполучим

запасы подвижной, при данном способе эксплуатации нефти. Они определяются по следующим формулам:

Определим среднюю нефтеотдачу Д р и выработанность Л ср пла­ стов с момента разработки. Тогда получим

Перед вычислением нефтеотдачи пластов, вводимых в эксплуата­ цию, суммарная добыча нефти должна быть рассчитана заблаговре­ менно, для чего могут быть использованы формулы (II. 5.10) и (III.5.10а).

85

§6. Схема напорной фильтрации для несжимаемых жидкостей

ипористой среды

1.Если сжимаемостью жидкостей и пористой среды можно пре небречь, то из (III.5.3), (III.5.4) получим:

Для определения фильтрации и скорости движения частиц нефти и воды имеем (III.5.7), (III.5.8). Из (III.5.8) получим:

Аналогично выражая др/дх, др/ду из (III.5.6) и подставляя в (III.6.2), будем иметь:

Из (III.5.6) можно определить значения у Р и подставить их в формулу, выражающую скорость движения воды. Тогда получим

5 — средняя по разрезу пласта водонасыщенность; / (s) — функция Баклея — Леверетта.

Подставив составляющие средней скорости движения воды в урав­ нение (III.6.5), получим

mH&f(s) wHBх+-щг mHef (s) ^нв y+mH-^- + N B= 0. (III.6.11)

86

Сгруппировав в последнем выражении члены с учетом, что

где добавлены два последних члена, равных нулю в сумме. Учитывая, что на основании (III.6.8) второй, четвертый и послед­

ний члены в сумме равны нулю, и обозначая

Однако по условию (III.2.15) N B = f (s) N. Тогда можно записать:

Из вывода уравнения Кельвина следует, что wu есть скорость-

Проинтегрировав (III.6.15') методом характеристик, имеем

dn dt ds

8Г

при построении схем фильтрации, выясним, как будет двигаться жидкость при различном виде кривых относительной проницаемости. Д ля этого вычислим значение / ' (s), входящее в формулу (III.6.14).

.линиями равной насыщенности увеличивается и зона совместной •фильтрации нефти и воды будет растягиваться по всей длине. Если же это условие не выполняется, то существует значение насыщен­ ности, при котором расстояния между линиями равных насыщен­ ностей сокращаются, что может привести к образованию скачков насыщенности, которые обусловливают характер вытеснения.

Для примера предположим, что ewHB = const. Тогда характер вытеснения обусловливается видом функции / ' (s). Образование скач­ ков насыщенности возможно, если функция / ' (s) имеет максимумы в интервале изменения насыщенности св <( s <( 1 — ск.

Для нахождения экстремальных точек вычисляют вторую произ­ водную функции / (s).

В интервале св <( s <( 1 — сн знаменатель в нуль не обращается.

.Экстремальные точки определятся путем отыскания корней уравнения

(/снцв + /с0цн) (кнк"в— к'акв) — 2 (/с>в + /свцн) (к„к'в— кнкв) = 0. (III.6.20)

Если кривые Агн, кв заданы аналитически, например в виде “(1.9.10) или таблично, то численными методами эта задача сравни­ тельно просто решается. В частном случае при а = 0, соответству­ ющем относительным проницаемостям, задаваемым двумя прямыми (1.9.12') из (III.6.20), получаем:’

(Пн — Ив)(1 — св — с„) = 0.

При цн Ф цв функция / ' (s) не имеет максимума, а ц,, = цв «соответствует движению одной жидкости. При а > 0 (при вогнутых кривых к*, (s), kt (s) максимум лежит внутри интервала св <( s <

83

жаются и в последующем сливаются в один. Скачок насыщенности возрастает, стремясь к определенному пределу Яф. Величина скачка насыщенности зависит как от вида кривых kl, kl, так и от отношения вязкостей p.„/fxB. Величина скачка насыщенности убывает с ростом последнего отношения.

При образовании скачка насыщенности положение фронта насы­ щенности определяется путем вычисления интегрального материаль­ ного баланса участка заводненной площади. Предположим, что рассматривается участок, ограниченный линиями тока и кривой L, через которую происходит приток воды, и контуром фронта насы­ щенности. Тогда можно записать:

где sa, su0 — соответственно текущая и начальная водонасыщенностьучастка; F — площадь участка, ограниченного подвижным фронтом насыщенности, кривой L и линиями тока; qBJ- — дебит воды /-той

скважины (/ = 1, п); Т — время разработки.

Площадь F выбирается таким образом, чтобы уравнение (III.6.21)

89