книги из ГПНТБ / Булыгин В.Я. Гидромеханика нефтяного пласта

и газа отношение объема подвижной части компонента (фазы) к общему его объему *:

т следует заменить на т1, а определения насыщенности жидкостью (газом)

«Ід= m(l — си —св — cr),

нлп, счптая сг = 0, имеем

т д = т (1 — сн— св).

Далее, так как

тен= т (1 — сн —св — ев) = тА — гтв,

то при малых содержаниях подвижной воды (нефти) будем иметь

/ден гад (шев тд). (1.1.4)

§ 2. Проницаемость

Проницаемость — параметр пласта, характеризующий способность коллек­ тора пропускать жидкость или газ. Абсолютно непроницаемых пород не бывает, однако в природе встречаются пласты, для которых при существующих неболь­ ших перепадах давлений проницаемость оказывается очень малой, п эти пласты могут считаться практически непроницаемыми (глины, слайды).

Многие осадочные породы являются проницаемыми, и сквозь эти породы возможно движение жидкостей и газов.

Впервые количественные закономерности фильтрации жидкости через пористую среду исследовались в 1856 г. французским инженером Анри Дарси. Им ставились опыты в связи с изучением водоснабжения г. Дижона. Они за­ ключались в следующем. В вертикальную трубу (рис. 2) на сетку насыпался песок, через который пропускалась жидкость. С помощью кранов, расположен­ ных на трубах, можно регулировать количество поступающей воды и, следова­ тельно, давления р х и р 2 в манометрах.

Дарси установил, что эти опыты можно описать уравнением:

А Q _ к Ар

~K F ~

1В настоящей работе названия «вытеспяемость» и «эффективность вытесне­ ния» переставлены местами.

10

где АQ — расход — объем жидкости, протекающей через сечеппе AF в единицу времени; AL — длина образца; Ар = р 2 — p t — разность давлений на выходе и входе образца. В левой части (1.1.1) стоит величина, называемая скоростью фильтрации, обозначая ее уСр. имеем

AQ

Ä F ~ VcP-

Для трехмерного изотропного пласта, т. е. такого, у которого свойства одинаковы во всех направлениях, скорость фильтрации будет определяться по формулам:

что иначе можно записать в следующем виде:

Формулы (1.2.1) и (1.2.2) выражают линейную зависимость скорости филь­ трации от градиента давления, которую называют законом Дарсн. Этот закон применим в нитроном диапазоне давлений, встречающихся прп разработке неф­ тяной залежи. Нарушение закопа происходит в зоне высоких скоростей фильтраций, например в призабойных зонах. В настоящей книге принято, что закон Дарси выполняется всюду.

Исходя из формулы (1.2.1) будем иметь сле­ дующую размерность проницаемости:

тальным. Считают рн— PB— PK (s) (рис. 3)-

Наряду с эффективными проницаемостями вводятся также проницаемости относительные [6, 34, 59, 70, 76].

Существуют два определения относительных проницаемостей. В ряде зару­ бежных работ [6, 70] определяют относительную проницаемость как отношение эффективной проницаемости к проницаемости образца к0 замеренной с помощью той же жидкости в случае, если образец на 100% заполнен этой жидкостью:

ЛЧ= -г—; ■

лОI

Другие авторы [59] определяют относительную проницаемость как отно­

шение фазовой проницаемости к абсолютной к, принимая за последнюю газо­ проницаемость:

к*—

к

11

Кривые средней из нескольких опытов относительной проницаемости (ки, А'в) представлены па рис. 4. Замечено, что значительные изменения кривых от отно­ шения вязкостей не наблюдаются. Характер кривых (рис. 4) для систем нефть — вода и газ — вода сходный.

Фундаментальный опыт положим также в основу определения связанности фазы. За связанность нефти (воды) образца е,- 0 примем минимальную насыщен­ ность образца нефтью (водой), при которой происходит совместная фильтрация жидкостей под воздействием внешних градиентов давления. Например, на основании кривых, изображенных на рис. 4, связанность воды составляет спо = 0,3 н нефти с„о = 0,15.

Вытесняемость будет равна

б£ ~ si

Прп расчетах часто полезно иметь функции, дающие аппроксимацию отно­ сительной проницаемости. Произведем аппроксимацию относительной прони­ цаемости в двух предположениях: 1) считая количество связанной с породой

жидкости в течение опыта постоянными; 2) начиная с насыщенности, при которой компонент приобретает подвижность, эффективность вытеснения этого компо­ нента линейно зависит от насыщенности. В первом предположении имеем:

Так как с,- 0 — постоянные, то изменение относительных проницаемостей представляется двумя прямыми.

Во втором предположении имеем:

12

Зависимость относительных проницаемостей аппроксимируется квадратич­ ной параболой.

Вкачестве примера определим изменение относительных проницаемостей

взависимости от насыщенности при следующих данных. Будем считать, что вода становится подвижной, когда насыщенность образца водой достигает 0,3,

анефть подвижна при насыщенности образца нефтью, равной 0,15. Тогда (сн0 =

= 0,15; св0 = 0,3) получим

т. е. две прямые, проходяпще через точку начальной подвижности компонента и точку, отвечающую относительной проницаемости, равной единице, и насыщен­ ности, также равной единице (рис. 5, 6).

13

Формулы (1.2.7), дающие связь относительных проницаемостей к*,I п к\, могут быть приняты для любых зависимостей проницаемостей, полученных опытным путем. Предложенные способы аппроксимации относительной прони­ цаемости являются простейшими. Ввиду сложности строения нефтяного кол­ лектора для промысловых расчетов они достаточны, так как ошибки, вносимые прп определении параметров, например абсолютной проницаемости, мощности и другие, очень высоки. Для других целей могут потребоваться формулы и с луч­ шим совпадением точек, например при лабораторных исследованиях однородных образцов, при стандартных условиях испытаний, их можно найти в работах по физике нефтяного пласта.

Приведем однопараметрпческпе зависимости, дающие возможность изме­ нять крутизну кривых:

§3. Анизотропные пористые среды

Впериод образования осадочных пород — будущих коллекторов нефти, могут создаться такие условия, прп которых зерна, слагающие породу, будут ориентироваться преимущественно в некотором направлении. Это может проис­ ходить, например, в области течений, пли волновых движений жидкости, несу­ щих частицы породы, недостаточно окатанные нли отличающиеся от сферических

всилу их кристаллической структуры. Движения земной коры приводят к изме­ нению условий осадконакоплення, что, в свою очередь, ведет к образованию слоистости коллекторов. При определении проницаемости таких пород оказы­ вается, что она зависит от направлений, в которых проводятся определения.

Вещества, свойства которых меняются в зависимости от направления, назы­ ваются анизотропными. Анизотропность пластов по пронпцае5Юстп бывает иногда очень значительной, особенно еслп сравниваются проницаемости по напласто­ ванию и по мощности. Прп фильтрации жидкости в таких коллекторах вектор скорости фильтрации ѵ не совпадает по направлению с вектором — градиентом

давления ур.

Известно, что [60] два вектора могут быть поставлены в соответствие путем скалярного умножения одного из них на тензор, так что при несовпадении векто­ ров а и ур величина, связывающая их — проницаемость (вязкость считается постоянной), должна иметь тензорную природу. В работах [126, 148, 144] дается другой путь получения этой.зависимости. Итак, для анизотропных сред должно быть:

14

где к — постоянная, имеющая размерность проиидаемостд; а, ß, у — направля­ ющие косинусы вектора скорости фильтрации. Известно, что надлежащим вы­ бором осей тензор — (1.3.2) может быть преобразован к следующему виду:

[ * і О О I

А ' т = I 0 к.2 О і .

I 0 0 к3 J

Такие оси называются главными осями. Обозначим их хх, у и zl , а соот­ ветствующие им проницаемости — кх, k2l к3 назовем главными проница­ емостями.

Запишем (1.3.1) иначе:

где ilt j x, kx — едшшчпые векторы — градиенты давления, совпадающие с на­ правлением главных осей, т. е. имеем следующее:

Свяжем теперь проницаемость в некотором заданном направлении анизо­ тропной пористой среды с компонентами тензора проницаемости, т. е.' опре­ делим, что происходит в узкой трубке, вырезаниой в направлении п (О^РдУх) с изолированными боковыми стенкам. Очевидно, при этом скорость фильтрации должна быть параллельна заданному направлению.

Перепад давления вдоль трубки будет:

Определим проницаемость в направлении п, пользуясь соотношением Дарси,

Q __ __ кп_ dp

и аналогично в направлениях хх, у х, z x:

Учитывая, что Fx = Fna x; Fy< = A„ßi; FZi = Fny x и подставляя эти вы­ ражения в (1.3.5), получаем

15

Между направляющими косинусами всегда имеем соотношение

“!+Р1 + Ѵ?=4-

Приходим к заключению, что квадратный корень из значений проница­ емости, измеренной в различных направлениях анизотропной среды, может быть изображен эллипсоидом, осп которого совпадают с направлениями главных осей проницаемости, причем их длина равна корню квадратному из главных проницаемостей.

§ 4. Осреднение параметров пласта по мощности

Пласты, слагающие продуктивные горизонты, имеют сильно выраженную неоднородность физических параметров (рис. 7) как по мощности пластов, так и по простиранию. Построить методы расчетов, учитывая все разнообразие пара­ метров, не представляется возможным не только из-за сложности математиче­ ской задачи, к которой это приводит, но и в результате невозможности снять

Рис. 7. Кривые, иллюстрирующие неоднородность строения продуктивного пласта.

эти данные по замерам в скважинах. Отсюда возникает необходимость осреднять параметры. Такие осреднения проводятся как по мощности пластов, так и по простиранию [6, 19, 97, 124, 126].

Другой важной характеристикой пласта является график эмпирической плотности вероятности измеренных величин [33, 35]. Для построения этого

16

графика иа каждом интервале, как на основании, строят прямоугольник, пло­ щадь которого равна либо числу случаев, либо относительной частоте. Площадь всего графика будет равна, соответственно числу всех случаев или единице. Графики подобного вида называют гистограммами.

Проводят сравнение построенных кривых с теоретическим распределением вероятностей. Наибольшее употребление из теоретических распределений для непрерывных случайных величин имеет нормальный или Гауссовский закон распределения случайных величин. Его можно записать в виде следующей формулы:

(■іі-к )

где К — среднее значение; а — среднее квадратичное отклонение.

Рис. 8. Распределение отклонений по величине.

Перейдем к определению этих величин. Предположим, что на некоторой мощности Н пласта проницаемость изменяется непрерывно. Среднее по мощности значение проницаемости К будет:

я я

О

а среднеквадратичное отклонение о = V D . Формулы (1.4.2) и (1.4.3) являются определениями среднего значения и дисперсии непрерывных величин (с одина­ ковой плотностью вероятности, равной в нашем случае Дz/H), входящих в (1.4.1). Важной характеристикой является также вероятное отклонение, которое по определению равно

Определить среднюю проницаемость К по формуле (1.4.2) удобнее, пользуясь графиком этой величины. Первая часть формулы представляет площадь, ограни­ ченную кривой проницаемости и осью ординат, деленную на мощность. Площадь вычисляется с помощью планиметра или путем разбивки на элементарные фигуры. Для вычисления дисперсии строят эшору изменения квадрата откло­

нения, т. е. (к >—1 К)2, и затем ведут вычисления, как было указано выше,

Для нормального закона распределения медиана совпадает со средним значением. Вероятное отклонение характеризует распределение отклонений по пх величине.

Ряс. 9. Результаты пспытанпя кернов на проницаемость.

р [Я + ЗА>< /с< Ä4-4A>]=0,02.

Таким образом, распределение отклонений по величине можно представить приближенно (рис. 8), что можно записать следующим образом:

и 91% — с худшей проницаемостью. По вычисленным значениям К жа кривые нормального распределения построить несложно.

18

в

Р и с . 1 0 , а , 6, в.