книги из ГПНТБ / Булыгин В.Я. Гидромеханика нефтяного пласта

В дальнейшем будут изложены методы определения средних значений про­ ницаемости по гидродинамическим данным.

Анализ гистограмм проницаемости пластов, слагающих продуктивные нефтеносные горизонты, показывает, что кривая распределения вероятности иногда имеет асимметричный впд.

Рис. 11. Карта проницаемости Бавлинского нефтяного месторождения.

На рис. 9 приведены результаты замеров проницаемости пласта Д-1 Бавлииского нефтяного месторождения и нанесены средние значения, полученные- в результате обработки этих материалов. Из рисунка видим, что средняя про­ ницаемость меняется по простиранию пласта в широких пределах. Также сильноменяется проницаемость по мощности продуктивного пласта для каждого раз­ реза скважппы.

На рис. 10 приведены геологические профили для Бавлинского нефтяного месторождепия. Они характеризуют неоднородность пластов как по проница­ емости, так и по мощности. На них четко прослеживается разобщенность пласта отдельными перемычками.

На рис. 11 приведена карта средних значений проницаемости пласта Д-1 Бавлинского нефтяного месторождения, составленная в ТатНИПИнефть посовокупности исследования кернов гидродинамическими методами исследования скважин.

Как видим, месторождение имеет выраженный продуктивный пласт по всей площади месторождения. Только в районе скв. 247 он замещается зоной глини­ стых алевролитов, очень плохо проницаемых. Проницаемость меняется в основ­ ном от 0,4 до 1,5 д. Причем, изменение проницаемости носит хаотический (случайный) характер. Вероятно, невозможно подобрать никакой зависи­ мости, удовлетворительно ее описывающей на всем протяжении пласта. Однакоостаются возможности задать ее в виде карты или таблицы чисел.

§5. Кинематика

Ккинематике относят вопросы изучения движения материальных частиц,

сгеометрической точки зрения, т. е. без привлечения сил. Однако здесь пол­ ностью нельзя обойтись чисто кинематическими понятиями и наряду с ними, рассматриваются динамические масса и плотность.

Средняя скорость движения частиц

Поровые каналы, по которым движется жидкость, имеют весьма причудли­ вую конфигурацию. При этом если следить за изменением скорости частицы жидкости, то окажется, что она будет постоянно менять свои величину и напра­ вление [83, 84]. Можно пометить частицы жидкости компонентов (фазы) в каком-

нибудь сечении, пронумеровав / = 1, I и найти средние значения проекций скоростей:

(

2 wibi

в трубе. Тогда, если ось трубы направлена по оси х, то и>у ср = юг ср = 0 при статическом характере движения, т. е. отклонения от прямолинейного движения должны взаимно компенсироваться.

21

Назовем средним перемещением частиц жидкости компонента (фазы) век­ тор ALj cp (Ахі cP» Aj/t cp, Azt Ср), проекции которого на координатные осп определяются следующими выражениями:

как и жидкость (газ), заполняющая ее. Жидкость и каждый из ее компонентов (фаз) может двигаться в пористой среде, причем скорости — непрерывные функ­ ции, зависящие от координат п времени.

Скорости движения компонентов (фаз), из которых состоит жидкость, в общем различны, но они, разумеется, могут и совпадать между собой. Скорости движения компонентов зависят от свойств жидкостей. Однако по условию объем компонента поступившей жидкости равен объему подвижной жидкости, и про­ цесс установившийся. На этом основании имеем

dx = Wjx dtj

откуда

Vjx = »lEiWix,

где wix — составляющая средней скорости подвижных частиц і-того компонента (фазы), направленная вдоль осп х.

Аналогично получим:

В дальнейшем аналогичные формулы будут получены и для нѳустановпвшегося режима.

Скорость и>і представляет собой среднюю скорость движения частиц: ком­ понента (фазы) нагнетаемой жидкости в условиях фундаментального опыта.

Траектории, линии тока, линии отмеченных частиц

При изучении движения жидкости для наглядности строят ряд линий, характеризующих картину потока. К ним относятся траектории движения частиц жидкости, контуры, линии тока и поверхности (линии) отмеченных частиц.

22 '

откуда

где г играет роль параметра. Это есть дифференциальные уравнения линий тока. В случае плоского движения имеем

rfa: __ dy

WX wy

При построении линии тока могут быть использованы не средние скорости движения частиц жидкости, а скорости фильтрации, так как они различаются постоянным множителем, который сократится, т. е. будем иметь

в каждый момент времени і на поверхности (линии). Эту поверхность (линию)

— это уравнение Кельвина.

Пусть s (X, у, z) = а (где а — const) есть уравнение поверхности равной насыщенности. Тогда в последующий интервал времени точка поверхности ■с координатами {х, у, z) перейдет в следующее новое положение:

(x+ivuxöt; y + w inß f , z + wuzöt),

тде wux, wuy, wuz — компоненты скорости движения поверхности равной насы­ щенности.

Новая поверхность будет

s = (xßwuxüt; y + wUy6f, z-\-wuz6t; t-\-öt) = a.

Разложив функцию s в ряд и сохранив члены, содержащие множители пер­ вого порядка малости, получим аналогично предыдущему:

24

иумножая правую п левую части последнего равенства на wun, где п — нормаль

кповерхностн s = а, получаем

Уравнения неразрывности

Выделим из пласта элементарный параллелепипед (рис. 13) с ребрами dx, dy, dz и определим массу жидкости (пли ее компонента), втекающую за период d t через грань, перпендикулярную осп х:

рvx dy dz dl,

где р — плотность жидкости, Аналогично определим массу жидкости, втека • ющую через две другие грани:

Накопление массы жидкости будет равно разности массы жидкости, посту­ пившей и вытекшей через противоположные грани:

Однако изменение массы жидкости за тот же промежуток времени будет равно:

д(рsm) dx dy dz dt. dt

Сравнивая два последних выражения, получим:

25

ш ш

При фильтрации одной жидкости s равно единице. (1.5.6) есть уравнение неразрывности для движения жидкости в пористой среде. При установившемся режиме (входящие параметры не зависят от времени) имеем

Получим уравнение связи между скоростью фильтрации и средней ско­ ростью движения частиц жидкости.

Предположим, что в среднем масса поступившей и вытекшей через грани жидкости (или компонента) равна средней массе подвижной жидкости и жидкости, перешедшей в элемептарпом параллелепипеде за рассматриваемый промежуток времени в связанное состояние. Будем считать, что при выполнении этого условия жидкость (пли ее компонент) замещается в среднем. Высказанное предположение можно записать так:

Однако, в результате того, что должно выполняться уравпеппе (1.5.5), имеем

Принимаем vy = vz = 0, тогда из условия, что жидкость будет в среднем замещена, получаем

— уравнение связи скоростей фильтрации со среднтпі скоростями движения частиц жидкости. Обозначая ет = т д, имеем

Предположим, что в сечении будет равномерное распределение скорости.

Тогда для всего сечения получим w = w. Предположим далее, что режим тече­ ния установившийся. Тогда объем вошедшей жидкости будет равен объему жидкости вытекшей, т. е. фронт воды пройдет весь выделенный объем жидкости.

Совершенно очевидно, что все рассуждения, проведенные при выводе урав­ нений материального баланса и связи скорости движения со скоростью филь­ трации, могут быть применены для любого количества взаимно нерастворимых

жидкостей. Тогда для каждого из г = 1, п компонентов получим

26

Например, для системы иефть — вода будем иметь і = и, в.

Для установившихся движений, как памп было показано, могут быть по­ строены неизменные трубки тока. Уравнение неразрывности для элементарной трубки тока будет следующим:

рибсо= const,

где би — площадь сечения трубки тока.

§6. Основные уравнения динамики

Вдинамике изучается движение механических систем в зависимости от дей­ ствующих на них сил. При анализе сил в гидродинамике их разделяют на две группы: поверхностные (приложены на поверхности частицы жидкости или фиксированного объема); объемные, или массовые (действуют иа каждую частицу объема жидкости). Силы могут быть разложены на нормальную и касательную составляющие, направленные по нормали и касательной к поверхности. Предел

отношения силы к площади сечения при стремлении последней к нулю назы­ вается напряжением. Нормальные напряжения, действующие на частицы жидкости, называются гидродинамическим давлением. Если рассмотреть какоенибудь сечение пористой среды, заполненной жидкостью, то одна часть площади, этого сечения будет занята твердым поровым скелетом, а другая жидкостью.. При поровом скелете и малых скоростях фильтрации силы трения между жидко­ стями двух смежных сечений будут малы по сравнению с нормальными. Ввидуэтого при анализе фильтрации касательными напряжениями пренебрегают,, а спла сопротивления пористой среды движению жидкости рассматривается как массовая.

Изобарические поверхности, изобары и линии тока

Изобарпческиші называются поверхности, на которых давление постоянно. Если в пласте определено давление в виде функции р (х, у, z; t), то изобариче­ ские поверхности со значениями давления р = р/ (где р/ — постоянная) будут р,- = р (ж, у, z; t) — поверхности, зависящие от времени как параметра.

Нормалями к этим поверхностям будут являться

Возьмем уравнения Дарси в форме

и подставим в уравнение линий тока (1.5.3), тогда получим

т. е. для изотропных пластов линии тока перпендикулярны к изобарическим поверхностям, по отношению к пластам анизотропным это утверждение непри­ менимо.

2?

Введем некоторую функцию ф (х, у), которую определим так, чтобы выполнялпсь равенства:

где Н (X, у) — мощность пласта. Таким образом, имеем:

•откуда

^L d x + ^ - d y = o

—это полный дифференциал функции ф, т. е.

<3ф = О,

интегрируя который, получим

ф= const,

г. е. линии ф = const'— линии тока.

Умножая равенства (1.6.5) почленно крест накрест, получим

по проницаемости пластов (приведенных к плоским) при законе фильтрации Дарси линии тока ф = const всегда ортогональны изобарам р = const. Линин тока характеризуют течение жидкости в данный момент и разделяют фильтра­ ционный поток на полосы (секторы), для которых в данный момент нет перетоков жидкости из одной полосы в другую. Как уже отмечалось, для установившихся течений траектории совпадают с линиями тока.

Уравнения движения

Замечательный вывод уравнений движения жидкости в пористой среде дал Н. Е. Жуковский [47], этот вывод используется в настоящем разделе. Будем считать, опираясь на закон Дарси, что сила сопротивления, оказываемая

28