книги из ГПНТБ / Булыгин В.Я. Гидромеханика нефтяного пласта

н отыскивать а = а (.г, у) также в виде полинома, то определение

Опираясь на возможность восстановить значения функции пла­ стового давления по замерам пластовых давлений в точках — сква­ жинах, можно рассчитать коэффициенты проницаемости пласта следующим методом.

Выберем систему координат так, чтобы нулевая точка принад­ лежала участку месторождения. Представим функции р и ст в окрест­ ности нулевой точки разложенными в ряд:

Тогда в окрестности нулевой точки из (ІѴ.8.4), сохраняя члены низшего порядка малости, будем иметь:

Последнее выражение не зависит от Л 2, а /1х и А , входят в виде суммы. Таким образом, при приближенном использовании (ІѴ.8.4) для определения значений о в разложениях (ІѴ.8.7) необходимо' удержать лишь члены

р = А (X2 iß) -f Вх -f- Су + Е\ ]

Уравнение (ІѴ.7.4) будет выражаться следующим образом:

Функция р = р (х, у) может быть восстановлена по замерам пла­ стовых давлений в четырех скважинах р[, р3, р3, р\. Обозначая X2 - f = и, будем иметь:

+ В ^ х 1+ СЫуз + £ (!> = р["\

140

и т. д. Если определитель системы d отличен от нуля, то система (ІѴ.8.11) — определенная. Подставляя (ІѴ.8.12) в (ІѴ.8.9), получаем

По замерам пластового давления в три соседние интервала вре­ мени строим три функции давления для яг-того участка месторожде­ ния:

РІV = A tfu + B f t x -I- Сірі/ -г EW,

PW = а %ы + BW* + cpj+ EW;

PW = A W * + BW*+ cwv + BW .

Подставив последние выражения в (ІѴ.8.8), получим:

Плотность отбора N (х , у) снимается с карт отбора и закачки, составленных на ту же дату, что и карты изобар, или рассчиты­ вается.

Приближенно для величин N (х, у) можно принять:

где qlt . . ., д4 — весовые дебиты скважин участков 1, 2, 3, 4 ме­ сторождения; a lt . . ., а 4 — углы при вершинах четырехуголь­ ника (1, 2, 3, 4), измеряемые в градусах, а As — его площадь.

141

Вычисляем определитель d и для трех моментов времени определители dlt d3. Получаем:

142

Замечание. Для вычисления функций др/дх, др/ду, Ар могут быть использованы карты изобар. Тогда, покрывая карту изобар квадрат-

Рис. 48. Карта гидропроводностп участка Бавлинского нефтяного ме­ сторождения, рассчитанная с помощью ЭВМ.

ной сеткой и применяя центральные разности (см. гл. V, § 2), полу­ чаем:

143

гДе Pij значение давления в «і/» узле сетки иа к — момент времени; h шаг сетки; /V';/1 — можно сиять с карты отборов.

Для расчетов гидролроводиости пласта Dx Бавлииского место­ рождения (произведенных Н. П. Зиновьевым) использован период перераспределения отборов, т. е. изменения давлений на этой пло­ щади в связи с промышленным экспериментом. До эксперимента

Решение «проводилось по трем картам, и затем определялось среднее значение. Для составления системы область покрывалась квадратной сеткой, производные функции р (х , у, t) вычислялись по методу конечных разностей. Распределение отбора определялось

путем разбивки участка треугольниками. Есть и другие разновид­ ности метода [49, 74].

В результате расчетов подсчитана гидропроводность и построена карта (рис. 48). При расчетах иа некоторых участках решение не получено. Таких участка три: здесь система плохо обусловлена из-за малого перераспределения давления. Сравнение с промысловой картой, построенной по совокупности других замеров (исследование кернов, гидропрослушивание, анализ индикаторных кривых и др.), дает примерно 30%-ное совпадение. Большего совпадения ожидать нельзя, так как все методы дают большую ошибку.

3. Определение гидропроводности путем решения плохо обусловленной системы линейных алгебраических уравнений

Рассматривая (IV.8.1) для ряда моментов времени, получаем возможность составить относительно величин ст, до/дх п да/ду пере­ определенную систему уравнений:

здесь p — пластовое давление на /с-тыи момент времени. Характерная особенность состоит в том, что перераспределение

пластового давления, при отсутствии резких изменений режима работы пласта, происходит медленно. Изолинии на последовательно взятых квартальных или полугодовых картах изобар меняются незначительно. Это приводит к тому, что составленная система уравнений оказывается плохо обусловленной. Переход от пере­ определенной системы к определенной может несколько улучшить обусловленность системы. В коэффициенты системы уравнений вхо­ дят производные функции пластового давления, которые опреде­ ляются с карт изобар с помощью формул численного дифференциро­ вания. Однако ввиду большой погрешности исходной информации эти коэффициенты определяются с ошибкой, которая при недоста-

144

точно хорошей обусловленности может привести к потере устойчи­ вости решения.

Использование карт изобар с большими интервалами во времени может дать желаемый результат, если только за это время давление

ооусловлена недостаточно. Введем обозначения:

4= К); С=(У = (-£-. £.■>);

Система уравнений запишется в следующем виде:

П£ = и.

Пусть А, и — какие-либо 6-приближения А , и. Решение исходной системы ^“-вектор, реализующий минимум сглаживающего функ­ ционала:

М а [£, и, il] = |M S - U||*+ oß[g],

Запишем уравнение Эйлера для сглаживающего функционала. Тогда вектор £“ может быть определен из системы линейных урав­ нений

Использование метода регуляризации для определения гидропроводности заведомо обеспечивает получение устойчивого решения плохо обусловленной системы в рамках определения корректности по Тихонову и не вызывает затруднений при численной реализации на ЭВМ.

146

Остановимся на некоторых задачах определения параметра про­ водимости, рассмотренных в работе [45].

Постановка задачи. В области D ищется функция о (х, у), реали­ зующая минимум некоторого функционала, например:

N[a{x, у) р (х, у, Т)]= JI Ір(х, у, Т, а )~ р (х , у, T^dxdip,

D

f2

I[a{x, у)р(х , у, i)]= I J j [p(x, у, t, a) — p(x, у, t)]*dxdydt;

D

71 _

і (ff-K) + І (°-w) - р*я % = f '{х’ у' qi) {l ~ 1'-та)’ (1)

где m — число скважин на площади D, с начальным условием р (х, у;

ния ст (х, у), участвующего в построении уравнения (1), чтобы вы­ численная на основе уравнения (1) функция пластового давления как можно меньше, в целом по области, или по области и времени

Q[ст (х, у)] — регуляризующий функционал. Было установлено, что

вобщем случае для решения задачи может быть использована только слабая регуляризация, т. е. регуляризующий функционал имеет вид:

Щст(х, у)] = JJ К{х, у) о2dxdy; К(х. у ) > 0.

D

Г л а в а V

РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ ПОДЗЕМНОЙ ГИДРОМЕХАНИКИ С ПОМОЩЬЮ ЦИФРОВЫХ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫХ МАШИН

Для проведения гидродинамических расчетов эксплуатируемого’ нефтяного месторождения необходимо решить ряд проблем. Среди них отметим, что нужно разработать численные методы решения краевых задач для дифференциальных уравнений [например,- (II.2.10)] или систем [например, (III.2.5); (III.5.2)]. При форму­ лировке краевых задач возникают затруднения с заданием условий на границах, а также трудности, связанные с необходимостью решать задачу при большом числе источников. В настоящее время эти про­ блемы, более или менее удачно, удается решить.

В данной главе изложены некоторые методы решения перечислен­ ных проблем. Причем наряду с классическими приемами и методами решения будут описаны и новые, иногда еще не достаточно теорети­ чески исследованные, однако проверенные численным экспери­ ментом.

Для простоты изложения иногда исходная задача упрощается, но при этом характерная особенность этой задачи сохраняется. Это позволяет наиболее выгодно показать применение численных методов для задач подземной гидродинамики.

Следует отметить, что многие современные численные методы решения краевых задач не нашли отражения в этой главе. Автор’ и не ставил перед собой цель дать исчерпывающий обзор имеющихся методов. С многими из них можно ознакомиться по работам [10, 36,. 68, 94, 92, 139].

Гидродинамические расчеты проводятся с целью предвычисления (вычисления по времени вперед) движения нефти, краевых и нагнета­ емых вод и энергетического состояния месторождения — распре­ деления пластовых давлений и температуры.

В настоящее время гидродинамические расчеты проводятся с по­ мощью ЭВМ, которые делятся на два класса машин: 1) дискретного счета; 2) непрерывного счета. При решении задачи на машинах дискретного счета должен быть разработан численный метод решения, который затем программируется и реализуется.

149