книги из ГПНТБ / Булыгин В.Я. Гидромеханика нефтяного пласта

Система уравнений (III.1.10), (III.1.12) и (III.1.13) является полной и может быть использована для определения рн, рв, рк, s.

Рассмотрим случай движения, когда можно пренебречь сжима­ емостью жидкости [20] и пласта. Тогда (III.1.10) переходит в следу­ ющее выражение:

70

чем (III.1.16), так как здесь в первое уравнение входят только две неизвестные функции. В работах [53, 143] приводятся численные методы решения задач теории фильтрации с использованием конечноразностных аналогов уравнений (III.1.17) и решены примеры. Слу­ чай напорной фильтрации, когда можно считать ря = рв, будет исследован для двухмерного потока. Трехмерная модель фильтрации может быть полезна тогда, когда возможно задать входящие пара­ метры. Однако специфика образования осадочных горных пород — коллекторов нефти обусловливает их пластовую, слоистую струк­ туру. Мощность пластов (пропластков) обычно меньше их размеров по простиранию. Анизотропия пласта по простиранию также выра­ жена слабее, чем по мощности.

Особенности вскрытия пластов некоторым (ограниченным) числом скважин не дает возможности определить значения параметров пластов в виде определенной функции координат. Можно задать лишь значения средних по мощности величии, а иногда оценить возможный разброс параметров. Это заставляет сводить задачу к двухмерной одноили многопластовой при различных условиях связи между пластами (пропластками).

§ 2. Двухмерная схема фильтрации с пропиткой (капиллярного скачка)

Осредним параметры пласта по мощности, для чего, проинтегри­ ровав правую и левую части уравнения (III.1.10) по мощности, получим:

Считая функции, стоящие под интегралом, непрерывными и изме­ няющимися плавно, применяя формулу дифференцирования по

71

параметру и теорему о среднем (см. гл. 2, § 5), для первого интеграла получим

Я

—Ni(x, y; t),

где Ni (X, y\ t) — потеря жидкости через кровлю и подошву пласта. Оценим четвертый интеграл; считая, что [mß* -j- ßc] = В* —

постоянная по мощности пласта, имеем

7 2 -

Подставляя все оценки в уравнение (III.2.1) и опуская индекс «ср» (см. гл. II, § 5), получаем:

В дальнейшем будем считать насыщенность постоянной по раз­ резу пласта и относить выравнивание насыщенности за счет действия капиллярных сил, в этом случае £,• = Будем считать, что отно­ сительная проницаемость зависит только от насыщенности. Тогда для изотропного пласта получим:

Для средних скоростей движения частиц воды и нефти получаем

(111.2.7)

Обозначая скорость фильтрации жидкости (нефти и воды) в раз­ резе пласта г>нв, а среднюю скорость движения частиц шнв, имеем

ѵпп = ѵн + ѵа, что дает:

где е = е„ + ев

Начальные и граничные условия

С точки зрения условий фильтрации область, в которой изучается движение жидкостей, может быть разбита на три зоны: зона филь­ трации «чистой» нефти, зона фильтрации «чистой» воды и зона совме­ стного движения нефти и воды. В зоне фильтрации «чистой» нефти вода может находиться только в связанном состоянии и насыщен­ ность нефтью остается постоянной. В этой зоне при і = в уравнение (III.2.2) обращается в тождественный ноль, а при і = н в ноль обращается последний член. В качестве начальных условий в этой зоне достаточно задать начальное распределение приведенных

73

пластовых давлений (например, с карты изобар) и постоянное значение начальной иефтеиасыщенности. В качестве краевых условий могут быть заданы давления на внешнем контуре и контуре скважин, поток жидкости через поверхность и дебит скважин. Аналогичную картину имеем в зоне фильтрации «чистой» воды, где действует второе урав­ нение из системы (III.2.2).

В зоне совместного движения нефти и воды вступают в силу оба уравнения (ІІІ.2ч'2) и условия (III.2.3), (III.2.4) и требуется задать начальные значения функций рн, рв, s.

Рассмотрим возможность определения начальных условий, на­ пример, для случая, когда за начальное состояние принято ста­ ционарное, предшествующее разработке. Для задания начальных условий необходимо замерить начальное распределение давлений р„ или рв, например, по показаниям пьезометров (скважин), запол­ ненных одной нефтью пли водой, установить распределение началь­ ной насыщенности по испытаниям отобранных проб насыщенных пород (кернов). В зависимости от насыщенности установить скачок

используя условие (III.2.3). Для задания граничных условий в сква­ жинах учтем, что при фильтрации через стенки скважин вода и нефть текут совместно. Это дает возможность считать, что капиллярное давление на стенке скважины будет равно нулю и уравнение (III.2.3) дает:

Однако нормаль к стенке скважины лежит в горизонтальной плоскости и на основании (III. 1.26) получим

Будем считать, что КіН]р.; не зависят от е. Тогда получим

Отношение дебитов воды и нефти с учетом (III.2.12) будет равно-

74

При равномерной насыщенности пласта будем иметь

водой. Вода вытесняет нефть с образованием сплошного пе-

постоянной толщины, показывают, что при вытеснении нефти водой с постоянной скоростью длина переходной зоны сохраняется. Эту зону называют «стабилизированной зоной». В стабилизированной

Это условие будем называть условием согласования скоростей. Условие (III.3.1), полученное из опытов в трубах и лотках, будем распространять на нефтяной пласт. Это приводит к тому, что в си­ стеме уравнений (III.2.2), (III.2.4) условие согласования скоростей (III.3.1) заменяет зависимость капиллярного давления от насыщен-

75

пости, т. е. уравнение (III.2.3). Иногда такая замена является целе­ сообразной и экспериментально более оправданной, вследствие того что условие согласования скоростей получено из опытов вытеснения и передает динамику процесса, тогда как зависимость капиллярного давления от насыщенности получается в результате статических испытаний.

Условие wu = w,з выражает то, что для некоторых систем иесмешивающихся жидкостей степень дисперсности смеси может быть такова, что смесь движется как единая жидкость и частицы одной не могут обгонять другую. В этом случае в зоне совместной филь­ трации нефти н воды имеем

§ 4. Схема фронтального (поршневого) вытеснения

Будем считать, что зона совместной фильтрации нефти и воды отсутствует, и примем связанность воды и нефти постоянными. Тогда получим из (III.2.2)

где с = А‘в0|и.н/А:н0[ів — постоянная.

76

Если срединная поверхность — горизонтальная плоскость и при­ нимаем ее за плоскость приведения, пренебрегая далее действием капиллярных сил, то условие (III.4.2) переходит в следующее:

и полагают, что с,0 = 0. Тогда (III.4.1) переходит в следующее равенство:

Условия (III.4.3) и (III.4.4) запишутся в виде

( і н . м )

где с = fiH/|AB.

Вытеснение нефти краевой водой

Будем считать [12, J3], что вода занимает всю внешнюю к области нефте­ носности g+ часть плоскости g~, функции давления нефти Ф+ и воды Ф~ удовлетворяют уравнению Лапласа и условиям сопряжения (III.4.6). В областях g+ и g~, соответственно, в точках 1, . . ., т п m + 1, . . ., I расположены источники и стоки обильности

е

где 9к — дебит источника (стока); Н —' мощность пласта, очевидно, что У,ѵ/,=0.

£=і При работе добывающих и нагнетательных скважин граница раздела воды

и нефти постепенно стягивается, нормальная составляющая скорости ее движе­ ния определяется одной из следующих формул:

1.Восстанавливаем функции давления Ф+ и Ф- в начальный фиксирован­ ный момент времени.

2.Определяем новое положение границы через некоторый короткий про­ межуток времени, построив векто_ры перемещения. Применяя последовательно указанный процесс, получаем последовательные положения границы раздела.

Этот метод назовем первой процедурой Маскета.

Очевидно, при такой постановке задачи основные трудности заключаются

ввосстановлении функций давления Ф+ и Ф~. К первому этапу относптся также задача о построении функции давления в макронеоднородных пластах с прони­ цаемостями кг, кп-

Замечание. Задачу о восстановлении функции давления по условиям сопряженпя на границе области мы будем называть задачей сопряжения. Может быть

поставлена более общая задача сопряжения, а именно: класспфнцпруя функции по дифференциальным уравнениям, которым они удовлетворяют (гармоннческпе функции; функции, удовлетворяющие уравнению Пуассона с определенной правой частью и т. и.), с л е д у е т в о с с т а и о в п т ь ф у и к ц и и, о п р е ­ д е л е н н ы е и х к л а с с о м в з а п а д н ы х о б л а с т я х , п о у с л о ­ в и я м и х с о п р я ж е н и я . Если носителем условий сопряжения является известный контур, то задачу сопряжения назовем прямой, если же носителем условий сопряжения будет искомый контур, то задачу сопряжения будем счи­ тать обратной. Указанный выше процесс решения основан иа выполнении прямой задачи сопряжения. '

М. Маскет предложил также п другой более аналитический путь решения задачи. Проследим дви ж ете границы раздела воды и нефти, заданной в неявной

где wn — нормальная составляющая скорости перемещения контура Г (это встречавшееся ранее соотношение Кельвина). Однако имеем

Тогда, используя (III.4а), получим эквивалентные формы уравнения двп-

ющую одному из уравнений (III.46) и начальному условию, притом функции Ф+ и Ф_ должны быть гармоническими и удовлетворять условиям сопряжения (III.4.6), а также иметь заданные источники. Этот метод назовем второй про­ цедурой Маскета 1.

В работах [39—40] даются доказательства существования и единственности решения задачи сопряжения трехмерного (и двухмерного) случая для сред с различной по участкам проницаемостью в весьма общем виде.

Для восстановления функций давления Ф+, Ф- проведем следующие кон­ формные преобразования областей g+, g~ . Отобразим область g+ на внутренность единичного круга так, чтобы одна из точек области g+ переходила в центр круга, область g~ — на внешность единичного круга так, чтобы бесконечно удаленной точке области g~ соответствовала также бесконечно удаленная точка, и одна

78

Отображение внутренности и внешности совершается при помощи двух различных функций, так что, вообще говоря, некоторой произвольной точке т 0

где / (ф0) — известная функция.

Из первого условия сопряжения в некоторой точке ш0 пмеем, что после

79