книги из ГПНТБ / Котов И.И. Начертательная геометрия курс лекций для слушателей фак. повышения квалификации преподавателей учеб. пособие

Объясняется это тем, что координата z точки N равна нулю и поэтому коэффициенты третьего столбца не влияют

на значения х ' , у ' и z ’ . Это значит, что если линия ть - прямая со следом /у в плоскости ху , то она размножится

в коническую поверхность с вершиной в точке N ' и направ­

ляющей m '.

Пример. Задана исходная система координат х , у , z . Предположим, что нашими преобразованиями оси х иу пере­

ведены в положение х' и у ' , а ось z —в набор осей z ' (рис. 80).

Возьмем в исходной системе координат прямую п со следом N { х , у , О ) , проходящую

через точку М . Подсчитаем

координаты точки А/ . Точка

/И размножится в линию тп'

точек /И7..., а прямая гг — в

рез одну и ту же точку /Ѵ/ и

образующие коническую _ но —

верхность с вершиной в точке

іѵ' и направляющей m ' . Чтобы получить уравнения, перево­

дящие прямую п в коническую поверхность, необходимо за — дать два столбца в матрице преобразований и уравнение кривой, по которой должна перемещаться точка A4 .

Теорема. В однопараметрических мгновенных преобразо­ ваниях (11) линия размножается в поверхность подобно-род­ ственных каркасов.

Это означает следующее: если взять линию п и на ней множество точек М ..., то с помощью мгновенных преобра­ зований Г... каждая точка /И размножится в линию а линия п - в пинйи хода п ' ... (рис. 81). Легко доказать,что

линии г г г попарно подобны, а п ' ... - попарно родственны.

81

торым центром подобия 1. Затем возьмем вторую кривую ^ '

и тоже построим подобную ей, но с другим центром подобия II н так далее, т.ѳ. для каждой пары подобных кривых бу - дем выбирать свои центры подобия, расположенные в одной плоскости (рис. 82).

Нетрудно заметить, что все кривые гп ... попарно подоб­ ны, так как пары точек /ИЛі' ... каждой кривой лежат на па­ раллельных отрезках прямых, а линии п ... - попарно родст­ венны с меняющимся направлением родства и общей плоско­ стью родства а .

Мгновенные преобразования с тремя направляющими

Пусть заданы точки А , В , С и не зависимые друг от

друга кривые к , / , т .

3 'к С'по кривым к , / , т

задаются таким образом,

чтобы они все время нахо-

дились в одной плоскости

(рис. 83).

Рис. 83

В результате подучаем множество преобразований

62

Г..., каждое из которых определяется исходной и новой тройкой точек. Если дана кривая п в исходном положении, то она размножится в поверхность кривых ??'...

Пример. Пусть в плоскости <п2 задан верхний батокс, в

плоскости <п1 — линия широт, в плоскости а - исходный шпан­

гоут, параллельный плоскости ТГ^ (рис. 84).

Рис. 84

Введем в рассмотрение плоскости«' ... Ца. Получим точ­

строить сколь угодно плотный каркас шпангоутов т ' , афинных trt.

Уравнения шпангоутов составляются следующим образом. Допустим точка А имеет координаты ( x f , у ,(?)• Т огда

соответственная ей точка будет Аг{х^ , у2 , 0 ) . Аналогично

Теперь по трем парам соответственных точек можно найти все девять коэффициентов преобразований, а значит, дать формулы, связывающие между собой все шпангоуты. Если для нашего случая составить соответствующие систе­ мы линейных уравнений и решить их, то в конечном счете подучим следующие формулы преобразования:

63

Г л ав а 1У. ПОСТРОЕНИЕ ОБВОДОВ ТОЧЕК НД ПЛОСКОСТИ

Допустим, что на плоскости имеем набор точек (рис.85). Через нѵгк можно провести бесчисленное множество кривых. Чтобы избавиться от этой многозначности, надо задать до­ полнительные условия.

Французский математик Лагранж предложил, решить эту задачу с помощью

кривых, уравнение

которых записыва­

ется многочленом

/г —й степени:

Рис. 85

у = X tc + /гг/ л n - J + m z X п - 2 -+ . . .

Если заданных точек много, то степень многочлена Ла - гранжа высока н работать с ним с помощью ручного счета трудно. При наличии же быстродействующей электронносчетной техники построение кривых (как кривых, задавав - мых полиномами Лагранжа), проходящих через данные точ­ ки, не вызывает затруднений.

Кроме того, инженеры разработали ряд приемов построе­ ния составных кривых, проходящих через данные точки. Сначала строят самостоятельно каждую отдельную дугу AB , ВС и т .д ., затем их объединяют в одну кривую - обвод.

Таким образом, обвод - это кривая, составленная из дуг различных кривых, определяемых парами смежных точек.

65

Веди Луги имеют на стыках общие касательные, обвод назы­ ваете! гладким.

Метод окружностей

Решим задачу: построить гладкий обвод из дуг окружно­ стей, т.е. коробовую линию окружностей, проходящую через Точки А , В , С , В (рис. 86).

Проводим хорду AB и задаемся касательной t , Строям

окружность к 1 \ аі , t , В , г* *

- О,А].

Центр второй дуги лежит

на радиусе 01В . Вторая и

третья дуги определяются

так:

К і [ в , і в , 0 , г - 0 2 в \ -

кА с’ *с’1,- г - 0А

и Т.Д.

Применение сдвига для построения обвода. Предположим, что имеем дугу окружности AB . Требуется расширить ее до дуги ВС (рве. 87).

Дугу Ав можно расширить дугой ВС , сдвигая дугу ВС ' до направлению t В . Чтобы расширить Дугу СВ "в дугу СП ,

ее

Г л а в а У. ОБЩИЕ ВОПРОСЫ ПРИКЛАДНОЙ ГЕОМЕТРИИ ПОВЕРХНОСТЕЙ

Несколько лат назад перед геомэтрами-ирикладниками нетал» задача создать общий язык с инженерами-конструк - торами. Тщательное знакомство Со способами построения инженерных чертежей поверхностей дало основание геомет — рам сформулировать такие важные понятия, как определи — таль и каркас поверхности.

Под определителем понимается совокупность условий, за­ дающих данную поверхность» Существуют две концепции по - яятия определителя. Первая развивается в учебнике Н.Ф.Чѳтверухинд 'Начертательная геометрия', где дод определите — лем понимается совокупность элементов поверхности (пара­ метров), выделяющих конкретную поверхность из данного класса поверхностей, X которому она принадлежит.

Допустим, что имеем какой-нибудь класс поверхностей, например поверхностей вращения, и хотим выделить из него одну единствеиную поверхность. Для этого достаточно за — дать ось и образующую поверхности вращения. Ида другей пример: имеем класс винтовых поверхностей; чтобы выдѳ — дать из него конкретную поверхность, надо задать ось вра­ щения, образующую и ход ( & ->-?тг) винтовой поверхности.

Особенностью первой конНеддаи является то, что класс поверхности предполагается известным, а задаются геомет­ рические элементы, выделяющие из этого класса конкрет - дую поверхность.

Суть второй концепции заключается в том, что поверх - ноетъ определяется двумя видами условий. Задается фигура постоянных элементов и набор операций по построению то - чек и линий общего положения этой поверхности (алгоритм).

Как показывает практика; в прикладной, геометрии по - верхяостей обе ковлапдии имеют равное значение.

68

Пример 1. Задание поверхности матричным способом (способ разработан Л.В.Сергеевым).

Определитель поверхности составляется тан: берется фи­ гура постоянных элементов, а затем задается матрица дви­ жения образующей;

ОПР. (Фп.э ,* М ).

Пример 2 . Определитель поверхности составляется тах (способ разработан PJT.Ага­

евой) : задаются направляю -

щиѳ 1,2,8 и образующая I

(рис. 88). Далее задаются

формулы мгновенных линей­

но-однородных преобразова­

ний, размножающих линию I

во множество образующих

Ргго ЯЯ

О/ ' ••«

Каркас поверхности

Обычно под каркасом поверхности понимают множество ее линий. Часто каркас поверхности совпадает с силовым каркасом, т.е. конструируется так, чтобы это был одновре ­ менно и силовой каркас и каркас поверхности.

В теории каркаса существуют две концепции: первая со — стоит в том, что за исходное принимается каркас поверхно­ сти, а за производное —поверхность, а вторая —в том, что за исходное принимается поверхность, а за производное — каркас.

Каркасные способы решения позяпионных и : метрических задач:

Задача 1. Зная закон образования поверхности, выделить фигуру достоянных элементов, алгоритм построения линий общего положения и построить каркас поверхности.

Готовых рецептов решения этой задачи нет, но во многих случаях Оно необыкновенно: просто: например, построить кар­ кас поверхности вращения (рис. 90),

88

Первый вариант решения. Пусть заданы своими проекция­

стится эта точка, а если точки на ме - ридиане взять достаточно плотно, полу­ чим сколь угодно много линий каркаса -

параллелей.

Второй вариант решения. Фигура по­ стоянных элементов сохраняется ( z н « ) , а в качестве алгоритма выбирается вращение меридиана (рис. 91).

Прямоугольная проекция плос — кой кривой /гг при вращении ее

плоскости 2J вокруг следа (оси z ) подвергается преобразованию

родства одного и того же направ­

ления с одной и той же осью.

Коэффициент родства определяется

косинусом угла наклона плоскости

меридиана к фронтальной плоскости

проекций <Н2 .

Повернем меридиан т. вокруг оси z (оси родства) на угод ос в новое положение ю ' . Направление родства будет

Новое положение фронтальной проекции меридиана строим как фигуру, родственную линии nz2 . Таким образом, во фронтальной плоскости проекций подучим семейство

70