Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги из ГПНТБ / Котов И.И. Начертательная геометрия курс лекций для слушателей фак. повышения квалификации преподавателей учеб. пособие

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

23.10.2023

Размер:

7.72 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 1920 / 2120 21 > Следующая >>>

Предложение	7. Поверхность z = / ( х ,\|у]) состоит из то
чек поверхности	z = f ( х , у ) с положительными ординатами

и точек, симметричных относительно плоскости z x точкам той же поверхности, имеющим отрицательные ординаты.

Предложения 5,6 и 7 справедливы и для линий, расположенных в про — странстве. Так, винтовая линия на

цилиндре х 2+ у 2 ~і~ будет дерехо - дить при модулировании переменной у в уравнениях винтовой линии в со — ставную винтовую линию, дуги кото рой расположены на полуцилиндре (рис. 286). При использовании пред ложений 5,6,7 следует иметь в виду,

что они не могут быть применены,

Рис. 286

если соответствующая переменная

входит в уравнение во второй степени, так как \х\^= ( - х ) =

2 = (+х ) . Однако при этом можно осуществлять модулирова

ние слагаемых переменных в первых степенях.

Пример 1. Пусть дано уравнение сферы эс2+ у 2+ 2 .2= 1. Преобразуем его к виду

(2.рс)2+ (2y^Z+ ( 2, z) = -f

и затем осуществим операцию модулирования:

( х + I ас |) z +( 2 y ) Z + ( 2 z ) Z= 4 .

При ас ^ О этому уравнению соответствует правая часть

полусферы зс + у + z = 1 (рис. 2 8 7 ), при х		< 0 -	цилиндр
у 2 + Zz= 1.	. 2		2
2		) +
Переведем теперь уравнение (2 х ) +	(2 у		(2 z ) ж 4

в уравнение

(ас + М ) 2 + ( у + | у \ ) Z + 4 z z = 4 .

При х ^ . о \ уравнению соответствует четверть сферы

yè - Oj x z+ y z + z z = 1, заключенная между полу плоскостями х = 0 жу~ 0 (рис. 288);

при х \ - полуцилиндр X 2 + z 2= 1;

У< 0 )

Рис. 287		Рис. 288
Пример 2 . Уравнению \|x\| + \|^ \| + [ z\| = a:		соответствует
восьмигранник, представленный на рис. 289.
Пример 3	. Возьмем уравнение плоскости 2 x + 2 y + 2 z = 8
и переведем	его в уравнение ( х + \| х \| ) + 2 у + 2 z = 8.
При X Ь 0 уравнению будет соответствовать полуплоскость
X +у +Z = 4 ,	отсекающая на осях х гу , z	отрезки, равные 4,

а при X < 0 — полуплоскость, перпендикулярная плоскости y z

и отсекающая на осях у		и z отрезки, равные 4		(рис. 280).
Пример 4 . Уравнению
	0 + \| * l ) Z- 0 ' + l . yl) 2 = 8 z
при х>.0 'I соответствует		четвертая	часть гиперболического
У ЪО J	параболоида х 2- у = 2 2		(рис. 291);
при у	половина параболического цилиндра			х г- 2 г ;
при х<0 \	половина параболического цилиндра - у 2 = 2 z ;
у > ,о )

1В2

при		отсек плоскости 2 = 0, заключенный между от -
У	< 0 J	ридательными полуосями х и у ,
		ридательными полуосями х и у ,

Рис. 291

193

Так же как и на плоскости, в пространстве можно осу - ществля чь всевозможные перемещения фигур и их объединѳ — ния. Теорема о 'заметании' пространства будет выглядеть


так. Пусть		F	( х ty , 2	=0 есть уравнение какой-ни
будь фигуры Ф			трехмерного пространства; С = f ( х , у			,
г	t ) — параметр фигуры Ф			, выраженный в явной фор -
ме;	fTtCOC и £T?n•t t T —максимальное и минимальное значения
параметра		С , принимаемые этим параметром при непре				—
рывном перемещении фигуры Ф .					Ф , имеет
	Фигура, "заметаемая"в пространстве фигурой
уравнение
I	С, JO Z,... - 0тах I+\|			2 , ... * - стіп I =	отахСтіп

Доказательство теоремы базируется на рассмотрении уравнения отрезка числовой оси « , точки которой снабже ны весами.

Рассмотрим пример применения этой теоремы к состав лению уравнений области пространства.

Пример. Пусть имеется геометрическая модель втулки, представляющая собой сферу х 2+

+ У2+ 2 £я 25 с		цилиндрическим от-
верстаем х	2	2
	+ у	= 4 (рис. 292),
Введем	в рассмотрение кольцо,

ограниченное внутри окружностью

-/~2	zP	окружно
ѵх + у	~ 2 , а снаружи -	окружно
стью	=Ѵ25 - z 2	. Соста -

вим уравнение множества колед для случая, когда они заметают указанную выше фигуру:

j\/xz+ У2 ‘ 25 - г 2 ' \+\Vx2+yz'~ 2 J =■ У 25- z 2' - 2 , где z $ VzT.

Теорему о "заметании" областей пространства можно сфор мулировать для двупараметрических множеств кривых.

Пусть имеем некоторую фигуру Ф , уравнение которой F ( х , у ,... А , В ) = 0 , пусть также удается в явном ви -

194

де выделить два независимых параметра формы или положе ния А = <уА { х , у ,...) и В = ( PC ty ,...) и пусть каждый

из параметров принимает как непрерывные значения, так и некоторые максимальные и минимальные значения Ат ,

Ат іп. * Вт ах ’ Вт .л .

В этом случае "заметаемая'двупараметрическим множест вом фигур Ф область задается двумя уравнениями:

і У л & г У » •' ■ )~ ^ п ?а х\+ 1<РдС5С».У> I = А m a x . А т ь п ;

I (*>У> -)- ВгпахІ+1^в(х,У>'"^~ Вт іп I Вmax ~ Вт іп .

Пример 1. Пусть имеется двупараметрическое множество прямых» отсекающих на осях х и у отрезки а и Ь , и при этом известно, что величина а меняется в пределах А1 > Аг ,

а Ъ — в пределах			, В2 • Соста
вить уравнения этого двупараметри
ческого множества прямых (рис.298).
Записываем уравнение прямой в
	X , У	I	и определяем па-
отрезках— + — =
рамѳтры а и b :				Рис. 293
а —	хЬ	6	у д
	b ~У		-
			а - X

после чего записываем уравнения области, "заметаемой'ука— занными прямыми:

хЬ	Аг	хЬ	I _
Ъ-у	Аг	Ь - у ~ ^ t \	А г ~ Аі і
Ъ-у		Ь - у ~ ^ t \	А г ~ Аі і
уа		Уа	>
уа		Уа
а - х - в 2		CL-X - В .	= BZ ~ B1 ■
			J
Например, при		3 , А2= 5 и В = 2 , В = б имеем следу

ющие уравнения области двупараметрического множества прямых;

195

		хЬ	- 5	■і	X Ь ~3
		Ь - у			6 - у
		у а			у а
		а - х - 6 т а - х ~ 2
Пример 2. Пусть имеется двупараметрическое множество
эллипсов	X2	У2		которых полуось а меняется в пре
эллипсов	+ — 2 “ 1, у			которых полуось а меняется в пре
делах от	А7 до А2 $ а полуось, ö -					от і?	до В2 . Требуется
составить уравнения области этого множества эллипсов.
Определив полуоси эллипса
		а ---	хб		s		ссу
		а ---
		лГь2- ^				л / а 2 - X 7-
				-у *		л / а 2 - X 7-
можно записать уравнения области:
		хб	л	+	xâ	-/1.	= А,~А 1 )
	у ь г- у 2'		л	+	Ѵ і ‘- у г
	у ь г- у 2'		2		Ѵ і ‘- у г
	.	а у .. - я		+	cty	- в . ^ в 2- в г
	.	а у .. - я		+		- в . ^ в 2- в г
	У а 2" * 2'		2		У а 2- * 2 '

В пространстве можно рассматривать области, "заметае - мые" одно-, двух- и трехпараметрическими множествами по верхностей, которые будут задаваться одним, двумя или тре мя уравнениями.

Пример 1. Составить уравнение области, ограниченной эллипсоидами

Определяем из уравнения эллипсоида величину полуоси с :

_ ________ z a i _________

Л / а 2Ь 2- Ь2х 2- а 2у 2

Записываем уравнение области, ограниченной указанными выше эллипсоидами:

198

z ab	- С	2 аЪ
	- С	-----------------------------п	1 = С2~С,
1/ а гЬ2 - Ь 2х 2- а гу 2	°2	ЛІ 2<2 L 2 2 2 7 '	1 = С2~С,
1/ а гЬ2 - Ь 2х 2- а гу 2		Уа о -Ь х - а у г

Пример 2. Составить уравнения области двупараметричес кого множества эллипсоидов, ограниченной эллипсоидами

*1! + У1 + _£1 = , .				У 2	= 1 .
а 2	6 2	с 2	>	а * +	= 1 .
а 2	6 2	с 2	>	а * +	+
Уравнения записываются так:
		\ 6 - Ь 2 \+ \â - â f \ = ъ 2 - ь 1 ,
где		\с ~сг \|+		\c-Cf I = с 2 - с г ,
где
		Ь =		у ас
		Ь =
		V а 2с 2- х 2с 2 ~ а г z 2
		с —		г а Ъ
		с —
		У	а2Ь 2 - д 2х г - а 2у 2

Пример 3. Составить уравнения области трехпараметри - чѳского множества эллипсоидов, ограниченной эллипсоидами

	/г	Z2		Л
		ч-------	„ 2 +	Л	= і .
			„ 2 +	< 2	c z
“ /	и 7	Г			с z
Уравнения записываются так:
		\ а - а 2 \ + [ а - а , ] = a z - а , •
		\Ъ- Ъг I + ЪI - b1I		= Ъ2 - Ь1;
где		I с - сг I + I с - с, I = сг - с , ,
где
		а =	z аѣ
		а =
			У ~ а 2Ь 2 - Ь 2х 2 - а 2у 2 '
б и с -	подсчитаны выше.

Метод перевода дут линий в комплексную область путем введения S —функций, примененный на плоскости, может с успехом применяться и к поверхностям в пространстве. Пат етично с этим приемом уже познакомились, когда рассмат ривали уравнения поверхностей с отверстиями.

187

Образование границ фигур по плоскостям уровня осущест вляется с помощью введения S -функдий вида

S [ ( y - c ) ( c l - x ) ] ; S [ ( z -<?)(/- z.)] ,

а образование гранил фигур по проецирующим цилиндричес - ким поверхностям —с помощью S —функций вида

s [ y - F ( * ) ] ; s [ y - F ( z ) ] ; S [ Ä - F ( * ) ] .

ЛИТЕРАТУРА

1.. К о т о в И.И. Начертательная геометрия. 'Высшая школа', 1970.

2. Ч е т в е р у х и н Н.Ф. [и Äp.J Начертательная геометрия. 'Высшая школа', 1969.

		ОГЛАВЛЕНИЕ
			Стр.
Предисловие		.............................................................................	3
Г лав а	1. Основные модеди проецирования.............		5
8 1 .		Модель метода центрального проеци
		рования ..............................................................	5
§ 2.		Модель метода параллельного проеци
		рования ..............................................................	П
§	3. Родственные соответствия........................		14
Г лав а	lb	Проекционные модели декартовой си
		стемы координат в пространстве ..........	22
8 1.		Методы преобразования эпюра Мошка. .	23
§ 2.		Аксонометрическая модель натураль
		ной системы координат...................	29
Г л а в а	III.	Линейные преобразования.......................	42
8	1.	Линейно-однородные преобразования . . .	48
8 2.		Вырожденные линейные преобразова
		ния .......................................................................	53
8	3.	Мгновенные линейно-однородные пре
		образования .....................................................	58
Г л а в а	1У.	Построение обводов точек на плоско
		сти .......................................................................	65
Г л а в а	У.	Общие вопросы прикладной геометрии
		поверхностей..................................................	68
Г л а в а	У1. Простые поверхности..................................		74
8 1.		Поверхности вращения...................................	75 -
8 2.		Винтовые поверхности.................................	86
Г л а в а	УП. Линейчатые поверхности.............................		89
8 1.		Цилиндрические поверхности....................	89
8 2.		Конические поверхности............................	92
8 3.		Торсовые поверхности...............................	94
8 4.		Конгруѳнции прямы х...................................	96

199

				Стр.
8 S.		Линейчатые поверхности общего
		в и д а ........................................................................		88
9 6.		Частные виды линейчатых поверх
		ностей ...................................................................		101
8 7.		Клиновидные	поверхности......................	107
Г лав а	УШ. Поверхности сложнойформы......................			ПО
8 1.		Циклическиеповерхности...........................		ПО
8	2.	Поверхностис подобными сечениями ..		118
§ 3.		Поверхностипараллельного переноса		124
8	4.	Поверхности	линейных преобразова
		ний
8	5.	Непрерывно-топографические поверх
		ности ......................................................................		148
8	6.	Ключевые методы конструирования
		поверхностей.......................................................		153
8	7. Поверхности хоягруентяыхсечений . . . .			158
8	8. Обводы поверхностей......................................			166
8	9. Уравнения составных фигур...........................			178
Литература		....................................................................................		198

Иван Иванович Котов

НАЧЕРТАТЕЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ

Редактор Р «М. Белозерова_______ Техн. редактор АJT. Мухи Л. 137141 от 22/Х 1-73 г. Объем 12.5 печ.л. Зак. ^^976658________ Цена 50 коп,______Тираж 1000

Ротапринт МАИ

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 1920 / 2120 21 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ