книги из ГПНТБ / Котов И.И. Начертательная геометрия курс лекций для слушателей фак. повышения квалификации преподавателей учеб. пособие

однородные преобразования можно задать двумя тетраэдра - ми с общей вершиной (рис. 75).

Допустим дана точка A4 . Графический способ построения

точки /И7, соответственной

точке АЛ , заключается в

следующем.

Отнесем точку АЛ к т ет - раедру ОАВС с помощью то­ чек A4 и М . Теперь поло -

жение точки АЛ характери -

зуется тремя числами (СМВ),

(АЛ4М), (ОММ ). Так как от­

ношение трех точек в линейных преобразованиях сохраняет - ся, то положение точки М* будет характеризоваться такими жв по значению тремя числами:' (с'м'В1) , (а'М'/ИО» (O'ÂÂ'M'),

причем (СААЗ ) —(с'м'в'). Основываясь на этом положении,

можно построить точку М' . Далее проведем прямуюА'М' и

но второму отношению, т.е. (АЛАМ ) = (а‘м 'м ' ) , найдем точ —

ху М 1. Проведя прямую ОМ1, по третьему отношению опре -

делим положение точки АЛ' . Именно в такой последователь­ ности операций и заключается графический способ построе - ния соответственных точек.

Преобразование родства с двойной плоскостью

Преобразованием родства в пространстве называется пре­ образование с двойной плоскостью.

Чтобы задать двойную плоскость, необходимо взять два тетраэдра с обшей гранью (рис. 76). Пусть ОВС=- О'В С - двой­

ная плоскость, где 0 ^ 0 ' , С=С' и В=В*. Докажем, что па­

ры соответственных точек лежат на параллельных прямых.

Пусть точка АА отнесена к тетраедру ОAB С . Построим

51

x _f быть решена. Но для этого необходимо наличие линейно зависимых столбцов матрицы, столбцов с равными

или пропорциональны­ ми элементами, столб­

цов, составленных из нулей. При этом воз - можны два случая

1)проецирующие лучи ( ММГ ...) параллельны между со­ бой (параллельная аксонометрия);

2)проецирующие лучи пересекаются в одной точке (цен­ тральная аксонометрия).

§2. ВЫРОЖДЕННЫЕ ЛИНЕЙНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ

Это даст возможность определить величины коэффициентов линейно—однородного преобразования:

х / = a fa + 6 f 0 i-cf 0 -

у' = aza + 6z0+ez0;

z f = а 3а + bj 0

А ' ( а г * а г > * з ) ■

Аналогично для точек /9'и С ' будем иметь

* ' ( Л , b2 , h ) 1 ^ с / ( сп С 2 , с з ) -

Рассмотрим векторы 0д>, OB' и öS' • Если они окажутся ас одной плоскости, получим вырожденное линейное преобра­ зование. При этом столбцы коэффициентов матрицы преобра­ зования будут линейно зависимы, а это значит, что опреде­ литель матрицы преобразования равен нулю:

Условием расположения трех векторов в одной плоскос­ ти является равенство

ОА' = гг? OB' + tbOC'.

Если мы хотим, чтобы тетраэдру ОАВС соответствовала

плоскость О'А'В'С', необходимо, чтобы линейно-однородное преобразование задавалось так:

Говорят, что линейное преобразование вида (7) дает кос ординатную линейную модель пространства.

Пример. Пусть в формулах линейно-однородного преобра­ зования второй и третий столбец коэффициентов заданы про­ извольно:

X ' = a f x +у + 2 z ; у ’ = аг х. + 2 у - г ъ

з ' = а 3х - у + Z .

54

Тогда, задавшись числами т и к , можно по формулам (7) подсчитать коэффициенты первого столбца матрицы.

Пусть w = 2 , /z= 1. Тогда получим преобразование, первы­ водящее пространство в плоскость:

<%' — 4х + у + 2 Z I

у ' — 2 х + 2 у - 2 2 ;

Возьмем какую-либо точку с координатами М ( 1,1,1),

Требуется определить координаты точки /И ' , соответствен ной /И .

По формулам (8) находим м ' (7,2,-1). Точка /И ' обязаг-

тельно лежит в плоскости векторов 0А' г 0ВГи ОС' ■ Легко показать, что эта плоскость не является двойной.

Полученная плоская координатная модель пространства не является ни параллельной, ни прямоугольной, ни централь­

ной аксонометрией. Такая координатная модель пространст — ва называется линейной аксонометрией. В линейной аксоно­ метрии прямая переходит в прямую, окружность - в эллипс и т.д. Направления проецирования в линейной аксонометрии не существует. Однако из линейной аксонометрии, как част­ ный случай, можно получить параллельную аксонометрию.

CC' { c t- 0 , сг - 0 , C3 - 1 } .

Теперь зададим линии связи коллинеарными, для чего необходимо условие пропорциональности координат векторов:

55

fs* 1s*

у= -

58

Легко проверить, что это преобразование удовлетворяет наличию двойной плоскости, поэтому можно записать урав - нение плоскости проекций ЭТ':

kz kf

А Я'*ТУ* z = О

или

к2 + к}У + Z = 0 .

Направление проецирования определяется вектором АА',

ВВ1или СС\ например, —вектором СС'. Тогда можно запи­

сать

п

А~

ярешить две задачи:

1)задать формулы преобразования и найти уравнение плоскости проекций и направление проепирования;

2)задать плоскость проекций, направление проѳцирова - ния и найти формулы преобразования.

Пример. Составить уравнения параллельных проекций на плоскость 5 л + 2у + 2 z = 0 по направлению вектораі^-І ,-т2,-4|.

Данный алгоритм дает возможность решать задачи по строения параллельных проекций с помощью ЭЦВМ.

37

8 3. МГНОВЕННЫЕ ЛИНЕЙНО-ОДНОРОДНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ

Как известно, основное отличие движения от геометри — ческих преобразований заключается в том, что движение осуществляется непрерывно и параметры, характеризующие его, ведь..фуиилвт -времени, а длины отрезков сохраняются. Учитывая свойства непрерывности движения, облегчающие решение различных кинематических задач, введем понятие мгновенных преобразований, параметры которых изменяют — ся непрерывно и могут рассматриваться как функции време­ ни.

Комбинированное задание динейно-опнородных преобразо­ ваний. Пусть дано линейнооднородное преобразование

x'=afx +bfy +c,z ■

Предположим, что коэффициенты первых двух столбцов зада­ ны. Тогда для определения коэффициентов ст, с z и треть­

его столбца можно задать пару соответственных точек С ,

С г или какие-либо другие геометрические условия. В ре - зультате подучим комбинированное задание линейно-однород­ ных преобразований, в котором сочетаются как аналитичес­ кий, так и графический способы.

68

можно определить коэффициенты с , с „ , С-. третьего столбца.

Если теперь зафиксировать положение точки С , а точку С г непрерывно перемешать в пространстве по некоторой кри­

вой с ' , то получим бесчисленное множество пар соответст —

венных точек С , с'... (рис. 78).

Каждая такая пара определит ли­

нейно-однородное преобразование,

потому что по координатам ее

можно подсчитать коэффициенты

третьего столбца.

Следовательно, множеству пар точек С , С ' ... будет со - ответствовать непрерывное множество троек коэффициентов

cf ..., cz ..., Су..., а каждая тройка соответственных значе —

ний этих коэффициентов будет определять некоторое преобра­ зование Г. Очевидно, непрерывному множеству троек ( сг , С2,

) будет соответствовать непрерывное множество мгновен­ ных преобразований Г...

Пример мгновенных гтеобразовяний. Рассмотрим поверх - ность вращения (рис. 79).

Пусть она задана осью вращения

но, что проекции меридианов тг ...

иродственны, так как отно —

величина постоянная, зависящая от угла поворота ^ . При этом г — ось родства; M^MZ Lz^— направление родства;

Sc у - коэффициент родства.

59

Qci овные свойства мгновенных, линейно-однородных пре­ образований с двумя постоянными стопйіами коэффициентов!

некоторую кривую т ' . Выбирая непрерывное множество пар

точек ММ' ..., ползаем непрерывное множество мгновенных преобразований вида (11). При этом коэффициенты третьего

перейдет в одну общую для всех мгновенных преобразований точку N* с координатами

60