книги из ГПНТБ / Котов И.И. Начертательная геометрия курс лекций для слушателей фак. повышения квалификации преподавателей учеб. пособие

8. Касательная плоскость к цилиндрической поверхности непрерывным перемещением может обкатывать ату поверх - ноетъ.

Пусть имеем проекцию ф>1 поверхности ф по направле -

В этом случае все

образующие поверх­

ности выродятся в

ные плоскости - в прямые (рис. 131) .

Теперь можно говорить о развертке цилиндрической по — верхности. Представим себе обратное движение: о&атываем цилиндр до плоскости и в сиду второго свойства получаем его развертку.

Уравнение цилиндрической поверхности

Рассмотрим частный случай составления уравнения цилинд­ рической поверхности (рис. 132). Допустим цилиндрическая

на следе поверхности, можно запи­ сать уравнение прямой, проходящей через две точки в про — странстве:

91

где х ъ у и z - текущие координаты точек на поверхности. Параметром является величина х 1 . Рассмотрим, в каких

случаях две данные кривые можно расположить на одной ци­ линдрической поверхности. Пусть даны две плоские кривые. Прежде всего надо выяснить, представляет ли одна из них параллельную проекцию другой или нет, т.е. являются ли эти кривые родственными. Родство можно: проверить по ка — сательным к этим кривым.

Большие трудности возникают в том случае, если одна кривая представляет собой полное сечение некоторого ци — линдра, а другая является дутой второго сечения. Тогда ци­ линдрическая поверхность может быть натянута только на совпадающих участках. Поэтому надо взять касательную к некоторой точке одной кривой и посмотреть, найдется ли у другой кривой касательная, параллельная или пересекающая первую. Трудность решения задачи состоит в необходимости проведения большого числа проб. В случае задания простран­ ственных'кривых решение задачи осуществляется по той же схеме.

связкой прямых. Связка заполняет пространство, потому что, какую бы мы не взяли точку /И в пространстве, через нее и точку S пройдет прямая. Представим себе, что в связку погружается некоторая лилия т . Очевидно, она и выделит коническую поверхность Ф' (рис. 134).

92

е

Некоторые свойства конической поверхности

Параллельные плоские сечения конической поверхности

центрально подобны: т. с о т (рис. 13S). Отсюда вытекают следствия:

1. Касательные к плоским сечениям в соответственных

точках параллельны: t ГЦt 2.

2. Касательная плоскость вдоль образующей не меняет

своего положения: ‘Т/ = <г2 .

3. Любые две кривые, расположенные на одной коничес - кой поверхности, в соответственных точках имеют или па - раллельные, или пересекающиеся касательные, так как каса­ тельные в соответственных точках кривых располагаются в общей касательной плоскости к конической поверхности.

83

Здрятта конической поверхности на чертеж» Монжа; Для яадяяия конической поверхности на чертеже необходимо з а ­ дать проекции вершины S ( S f \ S2 ) конуса и направляю -

тих т { т 7 ; гп2 ) (рис. 136).

Уравнение конической поверхностн

Предположим» что коническая поверхность задана своим следом в плоскости x O z , имеющим уравнение z =■ ( х 1 ) э и вершиной S С координатами х 2 » y z ■ гг2 (рис. 137). Зная

расположенную на следе ловерхно -

сти, можно записать уравнения пря­

мой» проходящей через две точки в

Так как У7=0 и z ~ f ( x t ), то

уравнения конической поверхности в параметрической форме будут иметь вид

Параметром является величина xt .

8 3. ТОРСОВЫЕ ПОВЕРХНОСТИ

Торсовой поверхностью называется поверхность касатель­ ных к пространственной линии. Торсовые поверхности плохо поддаются изучению аппаратом начертательной геометрии.

Объясняется это сложностью их образования. Торсовая по - верхность состоит из двух поп, линией раздела которых яв­ ляется ребро возврата поверхности ѵ (рис. 138).

На эпюре Монжа торсовая поверхность задается ребром возврата ѵ ( Ѵг • ѵ2 ^ (Рис139). Легко видеть, что в

94

этом случае можно по горизонтальной проекции точки поверх­ ности построить ее фронтальную проекцию. Следовательно, по­ верхность задана.

проекцию М2 точки М .

Для получения наглядного чертежа необходимо построить каркас поверхности. Примем без доказательства, что каеа - тельная плоскость вдоль образующей торса не меняет" свое­ го положения (постоянна во всех своих точках). Отсюда вы­ текает, что, какие бы кривые не взяли на поверхности тор­ са, в соответственных точках их касательные или параллель­ ны, или пересекаются.

Иногда говорят, что смежные образующие торсовой по — вѳрхности лежат в одной плоскости. Это надо понимать так (рис. 140): в дифференциальной геометрии доказывается,«то если A B — расстояние между точками соприкосновения ка — сательных есть бесконечно малая первого порядка малости, то 12 - расстояние между касательными есть бесконечно

смысле можно говорить о пересечении смежных офазующих торсовой поверхности.

65

§ 4. КОНГРУЕНШИ ПРЯМЫХ

Иногда для конструирования линейчатой поверхности бе - рут конгруешшю прямых, под которой понимается множѳст - во прямых, зависящих от двух параметров.

Представим себе некоторую поверхность и в каждой точ­ ке этой поверхности - касательную плоскость (рис. 141). Тогда через каждую точку касания плоскости с поверхно — стью можно провести перпендикуляр к поверхности. Множе - ство всех нормалей к поверхности есть контруешщя.

Рис. 142

Возьмем две какие-либо кривые тп и « , а на линии m — точку /И (рис. 142), Тогда в рассмотрение можно ввести

вершину конической поверхности по пинии m , получаем но­ вые конические поверхности, образующие которых заполни — ют некоторый отсек пространства.

Множество всех прямых (образующих) является двупара­ метрическим множеством. Если взять некоторую прямую I

этой контруеншш, то ее положение определится дугами 0 S 1

и 0 S 2 . Множество всех прямых, пересекающих две данные кривые, есть двупараметрическое множество, т.е. конгруен— пня.

Изучением гонгруешшй линейчатых поверхностей в на - чертательной геометрии не занимаются, так как с помощью проекционного метода нельзя вывеете их общие Свойства, я поэтому рассматриваются только частные случаи конгруендий.

96

Посмотрим, как конгруенщш используется для конструи - рования линейчатых поверхностей (рис. 143).

Пусть имеются две кривые А В и СВ . Тогда множество всех прямых выделит какой-то отсек пространства. Можно указать граничные поверхности контруендии: это конические

щей части появляется некоторое множество прямых, пересе­ кающих все три дуги AB , СЛ и EF, т,е. из конгруенции выделится некоторый отсек линейчатой поверхности ф .

97

â 5, ЛИНЕЙЧАТЫЕ ПОВЕРХНОСТИ ОБЩЕГО ВИДА

Линейчатой поверхностью общего вида называется по - в-рхность, образованная перемещением прямой линии до трем направляющим.

Задание направляющих нельзя осуществлять произвольным образом. Третья из них должна полностью или частично вхо­ дить внутрь хонгруенлии, определяемой первыми двумя. При задании некоторых конгруендий возможен случай прохожие - ния двух или более образующих через каждую точку третьей направляющей. В этом случае имеем поверхность с самопе­ ресечением.

Пусть коягруендия задается двумя скрещивающимися пря­

заполняет пространство. Например, если взять какую-либо

точку L и рассмотреть две плоскости oc1[L , ггъJ и оі

то последние, имеющие общую точку, должны иметь и об - шую прямую. Условие задания трех направляющих линейна - той поверхности сохраняется и в этом случае. При задании отрезков прямых поверхность вообще может не получиться или получится неудобно расположенной. Если удалось виде - лить внутри конгруенции линейчатую поверхность, то это значит, что найден способ приведения в соответствие точеч­ ных рядов направляющих т и п (рис. 147).

Рис. 147

98

Рассмотрим четыре способа установления взаимно одно­ значного соответствия между точечными рядами исходных

99

логичные построения, получаем еще ряд точек /V ... и пар

2 / ; 3 ,3 ';...

Таким образом, путем параллельного перемещения плос­ костей получаем взаимно однозначное соответствие точек на направляющих « и тг, Это соответствие определяет ли­ нейчатую поверхность.

3 - й способ. Пусть имеем две кривые т и п . Возьмем какую-либо прямую р . Задавшись точкой /И на линии т ,

можно построить коническую поверхность ф ' : Ф> [М, п] (рис. 150).

Построим точку пересечения прямой р с поверхностью

ф ' : Р ' = р • ф ' . Придавая новые

М

положения точке М на направляю­

щей и выполняя соответствующие

построения, получаем еще рад то -

чек пересечения прямой р с поверх­

ностями ф ' ... Нетрудно видеть,что

и в данном случае имеет место вза­

имно однозначное соответствие меж­

ду точечными рядами исходных на - правляющиX.

4 - й способ. Берут две направляющие т игп (рис. 151). Их хорды АВ и СЛ подвергают пропорциональному делению,

что устанавливает взаимно одно­

значное соответствие между то­

чечными рядами хорд: 1,2,3,...

Допустим, что в плоскостях

ос 1и а^через точки 1,2,3,... про­

ведены перпендикуляры к хор­

дам, тогда на кривых w и « ло-

100