книги из ГПНТБ / Котов И.И. Начертательная геометрия курс лекций для слушателей фак. повышения квалификации преподавателей учеб. пособие

Г л а в а Ш. ЛИНЕЙНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ

Понятие преобразования в геометрии носит столь же ши­ рокий характер, как и понятие функции в математике.

Для установления какого-либо преобразования в простран­ стве поступают следующим

м ' [ ^ < х , У , г ) і / г (х ,У ,* ) і f 3(* ,y ,z )] ,

подставляя соответствующие значения я ^ у ' н г ' и эти функ­ ции. Обычно функции подбираются таким образом, чтобы по­ лучить единственные значения для х ' , у ' и z ' . Если обна — ружится, что точка М^М' , то такие точки называют двой­ ными точками преобразован я .

42

Важным понятием является также понятие 'произведения' преобразования. Допустим, что некоторая точка М1 преобра­

Затем вторым преобразованием точка /И2 переводится в точ­

ку М ^. Последовательное выполнение двух преобразований называется их произведением.

Можно непосредственно перейти от первой точки к треть­

ей. Тогда преобразование запишется так:

р 1,3 _ р 1, 2 ^р Z, 3

Преобразование, которое все преобразованные точки воз­ вращает в исходное положение, называется обратным перво­ му преобразованию. Схематически это выгладит так:

I г___________ I

р - 1

Произведение прямого и обратного преобразований равно единичному, или тождественному, преобразованию:

Г • Г ~ 1 = £ .

Преобразования пространства (плоскости) задаются фор - мулами, связывающими координаты х , у , z некоторой исход­

ной точки /И с координатами x r, у / , z ' преобразованной точ­

ки /И'. Такой способ задания преобразования предполагает наличие в исходном пространстве некоторой декартовой си - стемы координат. Это преобразование в общем случае зада­ ется следующими формулами:

задаются алгебраическими многочленами целых степеней, то

43

преобразования называются алгебраическими. Если алгебраи­ ческие преобразования представляются отношением таких многочленов, преобразования называются кремоновыми. В случае задания кремоновых преобразований многочленами первой степени получаем так называемые дробно-линейные преобразования (проективные). Если же функции

f 3 представляют собой многочлены первой степени, получа -

ем линейные преобразования вида

X ' = сг} X + &f y + ci z + d 1;

у ' = + 6z y +cz z + d z ; (2)

z ' = а3 х + Ь3у + с3 z + ,

где свободные члены и коэффициенты при неизвестных могут принимать любые значения.

Пример. Пусть задано линейное преобразование

и точка М с координатами 2 , 8, 1.

По этим формулам подсчитываем координаты преобразо —

ванной точки М 1 (5, 3, 1).

Таким образом, линейные преобразования можно изучать координатным методом, не прибегая ни к каким геометри - ческим построениям. Но тогда трудно улавливаются связи между инженерными задачами, задачами прикладной и начер­ тательной геометрии и линейными преобразованиями. Поэто­ му в дальнейшем будем стремиться к изложению геометри — ческой сущности линейных преобразований. Отметим их основ­ ные свойства:

1. Плоскость в линейных преобразованиях преобразуете я в плоскость с сохранением взаимодринадлежности точек и линий.

Данное положение вытекает из следующих рассуждений. Предположим, что в линейном преобразовании получилась плоскость

44

A x ' + B y ' + C z ' + Л = 0 .

Попробуем по этому уравнению восстановить исходный образ, для чего в уравнение плоскости вместо х ' , у''и г'подста­ вим их значения из (2). В результате подучим уравнение первой степени. Это говорит о том, что исходным образом является тоже плоскость .

2.Прямая преобразуется в прямую. Бесконечно удален — ная точка переходит в бесконечно удаленную точку (что сле­ дует из первого свойства).

3.Параллельные плоскости и прямые преобразуются в па­ раллельные (что следует из второго свойства).

4. Величина отношения трех точек, расположенных на од­ ной прямой, в преобразовании сохраняется.

Это следует понимать так. Если имеем прямую а и на ней три точки А , В , С , то линейные преобразования пря -

мую а переводят в прямую а ', точки А , В , С —в точки А,

В ' , С 'с сохранением их отношений, т.е.

(АВС) = ( А ' В ' С ' ) }

СВ ~ с ' в '

Двойные элементы линейных преобразований. Двойными точками линейных преобразований называются точки, совпа­ дающие с преобразованными:

M ( x , y , z ) = M f( x ' s я , У '= У , z ' = Z ) .

Такие точки получаются в том случае, когда на коэффициен­ ты при переменных накладываются некоторые дополнитель — ные условия. Например, учитывая, что х ' = х , y's у , 2 = Z , и подставляя последние в формулы преобразования, получим

X = a 1 X + Ьгу ■jrcJ z + d 1 ;

У = а 2 х + 62у +c2 z -fdz ;

z = а^х + é3y + C'3z + d 3 .

Данная система уравнений может быть переписана и так:

45

например, линия пересечения первой и второй плоскостей несет на себе точки, которые преобразуются без изменения двух своих координат. Если окажется, что все три плоскос­ ти пересекаются в одной точке, то эта точка будет двойной и все три ее координаты х t у и z в преобразовании не изменятся.

Возможны следующие геометрические иллюстрации взаим­ ного расположения трех плоскостей в пространстве:

1. Все три плоскости пересекаются в одной точке. В ре­

3. Двойная плоскость ося р пересекается третьей плоскос­ тью у (рис. 69). Получаем прямую I двойных точек.

4, Все три плоскости совпадают К =р е у (рис. 70). В этом случае полученная плоскость несет на себе двойные точки.

Чтобы избежать двойных элементов, плоскости задают следующим образом:

а) все три плоскости параллельны между собой ос || а J[ у (рис. 71);

б) две плоскости параллельны ос[|р , а третья у не парал­ лельна нм (рис. 72);

46

Каждый из рассмотренных; случаев расположения плоскос­ тей в пространстве можно задать в координатной форме. В аналитической геометрии формулируются те условия, кото — рые необходимо наложить на коэффициенты уравнений при переменных, чтобы подучить их.

Преобразования с двойной плоскостью. Выясним, какому условию должны удовлетворять коэффициенты уравнений,что­ бы появилась плоскость двойных точек. Очевидно, необходи­ мо, чтобы все коэффициенты в уравнениях (3) по столбцам были пропорциональны;

Пример. Составить уравнение двойной плоскости, зная, что коэффициенты при неизвестных по столбцам уравнений

(3) пропорциональны и относятся как 2:1 ;3.

Легко подсчитать, что формулы линейного преобразова - ния будут иметь вид

47

X /= 5 X + 4у +■2 z +■2 ;

у ' = 2 л : + 3 ^ + 2 + і ;

2Г/ = 6 х + б у + 4 z + 3

где а ; 6f и cY- коэффициенты, выбранные произвольно.

Учитывая, HTOx'sx \у 's у и z = z %получаем

4 х -t 4 у + 2 z + 2 - О;

2 х + 2у + Z ■+ 1 =* О;

6 х + бу + 3 z + 3 = О.

Каждое из этих уравнений представляет собой двойную плоскость, так как соблюдено условие пропорциональности коэффициентов по столбцам.

В прикладной геометрии предпочитают изучать линейные пре­ образования не обычного вида, а с двойными элементами. Это объясняется тем, что, поместив начало координат в двойную точку, можно избавиться от свободных членов в уравнениях преобразований.

§ 1. ЛИНЕЙНО-ОДНОРОДНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ

Формулы линейно-однородных преобразлваний задаются так:

X ‘ = af x + + С} 2 ;

Таким образом, линейно-однородные преобразования всег­ да имеют двойную точку - начало координат. Действительно, при X = у = Z = 0 получаем х ' = у ' - %'= 0.

Линейно-однородные преобразования можно задавать тре­ мя парами соответственных точек. При этом следует разли­ чать два случая:

48

1-й случай - исходные точки А , В и С выбираются на координатных осях (рис. 74).

Допустим, что точка А ( а , О, О) переводится в точку

Таким образом, задание одной пары соответственных то­ чек дает возможность определить коэффициенты первого столбца уравнений преобразования. Аналогично, задавшись

второй и третьей парой точек В , В 1 и С $ с \ получим ко - эффидиенты второго и третьего столбца уравнений:

2-й случай — соответственные точки выбираются произ - вольно.

Этот сдучай сложнее, так как для определения значения коэффициентов надо решить три системы уравнений с тремя неизвестными.

Допустим, даны три пары соответственных точек, а коэф­ фициенты в уравнениях не известны:

49

A ( * i , y , > z t ) — A ' ( * L y U z l )

Требуется до координатам заданных, точек найти коэффициен­ ты линейно-однородного преобразования.

Для нахождения коэффициентов первой строки необходимо в первое уравнение линейно-однородных преобразований под­ ставить координаты цервой, второй и третьей точек. В ре - зультате получим три уравнения:

я } = a }x y + t>jyf + c } z i;

третьей строки линейно-однородных преобразований.

Графический способ задания линейно-однопоиных преобразований

Линейно-однородные преобразования можно задавать тре­ мя парами соответственных точек. Это значит, что линейно­

60