книги из ГПНТБ / Котов И.И. Начертательная геометрия курс лекций для слушателей фак. повышения квалификации преподавателей учеб. пособие
.pdfсте с векториальным отрезком -перемещается в пространстве. Если это не какой-то особый случай, то для каждого поло жения точки С можно найти прямолинейную образующую / ,
спирающуюся на три |
направляющие а *, a z ~z. с f (рис. 171). |
На этой образующей |
выделяется векториальный отрезок A1/ 2, |
определяющийся точками пересечения прямой I с кривыми
a f Я- a z . Наличие отрезка АГ^достаточно, чтобы восстало — Вить круговую образующую поверхности, лежащую в плоско сти ос , перпендикулярной I . Отсюда следует, что цикличес кую поверхность можно задать линейчатой поверхностью век ториальных отрезков ее круговых образующих.
Рис. 171
Таким образом, в геометрическую часть определителя
циклической поверхности войдут три линии а т, а 2жс 1 базо
вой линейчатой поверхности a 2t c 1 %а ] , которые опре делят линейчатую поверхность векториальных отрезков.
Алгоритмическую часть определителя (для построения об разующих) находят так:
1)( с ) € с ;
2)) € С и € Ч34' (строят образующую I , проходящую через С и принадлежащую Ф 1 , где Ф * -> линейчатая по —
верхиость, определяемая направляющими а г, а 2 и с т);
3)строят ( А / А 2) і
4)(ос ) € С и 1 I ;
111
5) строят окружность тп £с , г = 1сА ’с ] .
Пример 1. Вернемся к поверхностям вращения и посмот рим, что представляет собой их базовая поверхность. Допу
стим, имеем одну |
из параллелей т поверхности |
(рис. 172) |
|
|||||||
и векториальный отрезок А А 1 = 2 г |
. Пусть |
т ' - |
вторая па - |
|||||||
|
|
|
раллель поверхности вращения, тогда ее |
|
||||||
|
|
|
векториальный отрезок равен А 'А "=2 г . |
|
||||||
|
|
|
Очевидно, что в этом случае все вектори |
|||||||
|
|
|
альные отрезки расположатся на оси вра - |
|||||||
|
|
|
щения поверхности. Следовательно, безо |
- |
||||||
|
|
|
вой поверхностью вращения является ее |
|
||||||
|
|
|
ось. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Покажем, как для каждой точки С опре |
|||||||
|
|
|
делить векториальный отрезок, для чего |
|
||||||
|
|
|
зададим |
точечный ряд |
С |
... на оси вра |
- |
|||
|
|
|
щения z и приведем ему в соответствие |
|
||||||
|
Рис. |
172 |
точечный ряд А |
расположенный на |
|
|||||
|
|
|
той же оси. Задания этого соответствия |
|
||||||
достаточно для задания поверхности вращения. |
|
|
||||||||
Пример 2. Пусть на оси вращения z |
выбрана точка О |
|
||||||||
начало подсчета и установлено соответствие |
ОА = ОС + tc |
|
||||||||
где h |
- г |
,^*/ ... В этом |
случае |
определяется циклическая |
||||||
поверхность вращения. |
|
|
|
|
|
|
|
|||
Возможно решение и обратной задачи: задать поверх |
- |
|||||||||
ноетъ |
ее. образующей и найти соответствие точечных рядов |
|||||||||
С ... |
и А ... |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Каналовая поверхность, Каналовой поверхностью называ |
||||||||||
ют,. циклическую поверхность, плоскости |
|
образующих кото |
||||||||
рых перпендикулярны к линии центров. |
|
|
|
|
|
|||||
Для каналовых поверхностей не требуется |
задания по |
|||||||||
стоянства величины радиуса образующих. |
|
|
|
|
||||||
Допустим, имеем пространственную кривую I |
. Плоское — |
|||||||||
ти образующих каналовой |
поверхности перпендикулярны к |
|
||||||||
линии центров. Это значит, что вертикальные образующие |
|
|||||||||
АС являются касательными к линии центров |
(рис. 173). |
|
112
А
Рис. 173 |
Рис. 174 |
В соответствии с алгоритмом, изложенным выше, можно построить образующие т 2 каналовой циклической поверхно
сти Ф , базовой поверхностью которой является торсовая по
верхность Ф ' , Частным случаем каналовой поверхности является труб -
чатая поверхность, линия центров которой - плоская линия. У трубчатой поверхности базовая поверхность превращается в отсек плоскости (рис. 174).
Взаимное пересечение циклических поверхностей. Допу - стим, имеем две циклические поверхности Ф Ти Ф 2 , пере - секающиеся по линии ттг (рис. 175).
Если это циклические поверхности, то через каждую точ ку линии их пересечения должны проходить окружности как
первой, так и второй поверхностей: окружности |
и k2 . |
|||
Возможны три случая взаимного расположения этих |
||||
окружностей: |
и к2 лежат в одной плоскости |
|
||
1. |
Окружности |
(рис. |
||
176) |
и могут соприкасаться пли пересекаться в двух точ - |
|||
ках. |
|
|
|
|
2. |
Окружности |
и |
не расположены в одной плоскос |
ти (рис. 177) и при этом либо соприкасаются, либо пересе каются в точках М ы N .
3. Окружности расположены в разных плоскостях (зацеп ляют друг друга) (рис. 178) и имеют только одну общую точку. Например, окружности, расположенные на поверхности кольца (рис. 179).
114
Рассмотрим эти случаи подробно. Предположим, что в |
|
некоторой плоскости ос имеются окружности |
2 , пере |
секающиеся в двух точках А и В , и векториальные отрез ки 1 и 2 (рис. 180).
Будем плоскость ос с окружностями Іс ... перемещать в пространстве так, чтобы в каждом но вом положении плос
кость oif оставалась
параллельной плоско сти ос . Если этот
Рис. 180
пропесс представить себе непрерывным, то получим две линейчатые поверхности
Ф / и |
ф 2, имеющие попарно параллельные образующие |
1 ІІ 2, i'll |
2 / ... Это и будут цилиндрические поверхности. |
При других движениях плоскости ос получим линейчатые поверхности с параллельными образующими разных надрав - пений. Если циклические поверхности в качестве базовых имеют линейчатые поверхности с параллельными образующи ми, то линия пересечения поверхностей строится с помо — шью вспомогательных плоскостей.
Пример 1. Допустим, имеем две поверхности вращения с параллельными осями Zf[\zZ , a m f t тп2- меридианы поверх ностей. Требуется построить линию пересечения этих поверх ностей (рис. 181).
Рассечем наши поверх
ности вспомогательной пло
скостью or ( а 2 ). Получим
всечении окружности р 1и
р, которые, пересекаясь, дают пару точек искомой
линии пересечения поверх - ноетей.
US
Рассмотрим другой случай. Предварительно докажем тео рему: окружности, расположенные в различных плоскостях, пересекающиеся в двух точках или соприкасающиеся, лежат на одной сфере.
Допустим, имеем во фронтальной плоскости проекций про
екцию двух окружностей к 1 и |
(Рис* |
182). |
Отметим их |
|
|||
|
|
|
центры |
О2 и |
О2 и проведем |
||
|
|
|
из них перпендикуляры |
и |
|||
|
|
|
р 2 |
X плоскостям окружностей. |
|||
|
|
|
Найдем точку С2 их пересече |
||||
|
|
|
ния. Очевидно, что точка |
Cz |
|||
|
|
|
одинаково удалена от точек |
||||
|
|
|
как первой, так и второй |
|
|||
|
|
|
окружностей. Расстояния С2 А2 |
||||
|
|
|
и С2 В2 равны между собой, |
|
|||
значит окружности |
и |
лежат на одной и той же сфере Q, |
|||||
с центром в точке |
С . |
постоянным центром С , несу |
|
||||
Пусть некоторая сфера с |
- |
||||||
|
|
|
щая на себе две окружности |
||||
|
|
|
к 1 ж к 2, |
непрерывно изменя |
|||
|
|
|
ет |
величину радиуса R .Т о |
|||
|
|
|
гда |
образуются циклические |
|||
|
|
|
поверхности |
Ф 1 и <р 2(рис. |
|||
|
|
|
183). Каждая соответствен |
- |
|||
|
|
|
ная пара образующих этих по |
||||
Рис. 183 |
|
|
верхностей будет лежать на |
одной сфере. В этом случае линия пересечения тть поверхно стей строится методом концентрических сфер.
Пример 2 . Рассмотрим взаимное пересечение поверхностей вращения с пересекающимися осями.
116
Допустим, что во фронтальной плоскости проекции имеем
фронтальные проекции меридианов пь2 и т 2 поверхностей
вращения, оси z 1 и которых пересекаются в некоторой
точке С2 (рис. 184).
Точку С принимаем за центр концентрических сфер. Для
нахождения точек, принадлежа
щих линии пересечения поверх -
ностей, необходимо задать па —
раллель на одной поверхности,
заключить ее в сферу Q , а
потом найти параллель на вто
рой поверхности, которая ле -
жит на той же сфере. |
Рис. 184 |
Представим себе, что центр С сферы Q. перемещается,
меняются ее радиус, положение окружностей 1с’и 1с г и их радиусов на сферах, но окружности все время пересекаются ( в частном случае касаются). Линия пересечения т, таких поверхностей строится методом, эксцентрических сфер .{рис. 185). Этот метод применяется во
всех случаях, не
зависимо от фор —
мы циклических
поверхностей, лишь
бы они имели плос кие линии центров,
расположенные в |
Рис. 185 |
одной плоскости £ . В более сложных случаях линия цент -
ров может быть пространственной.
117
Пример 3. Рассмотрим пересекающиеся поверхности вра щения со скрещивающимися осями.
Допустим, имеем поверхности вращения с осями z 1 к z 2
(рис. 186). Тогда параллели р £
второй поверхности расположат
ся так, что каждая из них пере
сечет параллели р ’ первой по -
верхности трлько в.одной точке
/И .
Задачу построения линии пе
ресечения решают с помощью
лекальных кривых, так как не удается подобрать достаточно простые посредники.
§ 2. ПОВЕРХНОСТИ С ПОДОБНЫМИ СЕЧЕНИЯМИ
Поверхностью с подобными сечениями называется поверх ность, несущая на себе непрерывное однопараметрическое множество подобных плоских сечений.
Однопараметрическое семейство линий. Под однопарамет рическим семейством линий поверхности понимается множе ство линий, заполняющее эту поверхность так, что через каждую точку поверхности проходит только одна линия эго - го множества.
Допустим, имеем некоторую поверхность Ф (рис. 187).
118
Если взять на поверхности какую-либо линию / , то ду га /Я0 /И выделит на ней единственную кривую этого множе
ства, т.е. дуга М0М - параметр.
Примеры поверхностей с подобными однопараметрически ми множествами сечений:
1.Поверхности вращения (рис. 188), где параллели т. являются однопараметрическим семейством линий.
2.Линейчатые поверхности с плоскостью параллелизма (рис. 189). Образующие / этих поверхностей не пересекают ся и дают однопараметрнческое семейство линий, образую - щнх поверхности. В этом случае на поверхность надо смот реть как на непрерывный каркас, заполняющий поверхность, линии которого не пересекаются между собой.
3. Циклические поверхности, которые могут нести на с е бе, однопараметрическое семейство линий.
Существуют, кроме того,поверхности, однопараметричес кие семейства линий которых пересекаются между собой. На пример, поверхность тела желоба (рис. 190).
Рис. 189
Однодараметрические семейства плоскостей. Однопарамет рические семейства плоскостей следует понимать так: плоско сти заполняют пространство или какой-нибудь его отсек так, что через каждую точку пространства проходит плоскость и, за исключением некоторых точек, только одна.
Примеры однопараметрических семейств плоскостей:
1. Параллельные плоскости. Они заполняют все простран ство, не пересекаются между собой и через каждую точку пространства проходит только одна плоскость (рис. 191).
119
2. Плоскости пучка. Эти плоскости также заполняют все пространство. Однако в пространстве есть точки, через ко торые проходит не одна, а все множество плоскостей (пря мая т ) (рис. 192).
Есть еще и третий случай однопараметрического семей - ства плоскостей. Однако в инженерной практике его стара — ютея избегать.
Допустим, имеются цилиндрическая поверхность Ф и плоскости, касательные к этому цилиндру (рис. 193). Такие
плоскости заполняют всю внешнюю часть пространства по отношению к
цилиндру и также представляют собой
ш
однопараметрическое семейство.Здесь за параметр можно принять угол ср - угол поворота плоскости ос .
Обобщением третьего случая явля ется случай, когда плоскости обкаты вают торсовую поверхность (рис. 194).
В дифференциальной геометрии дока - зывается, что никаких других однопараметрических семейств плоскостей не существует.
120