книги из ГПНТБ / Котов И.И. Начертательная геометрия курс лекций для слушателей фак. повышения квалификации преподавателей учеб. пособие

лением уравнения

Приведем пример использования этого приема. Пусть име­ ем уравнение \у\ = - |рс| —х , график которого есть отрица­ тельная полуось X , и уравнение |У | + у 355 -2 я , график ко^

торого есть луч прямой у = —•х для л: < Q. Объединение двух фигур задается уравнением

Су + llyl +2sc)(!y| + |*| +*) = 0.

Если эту фигуру сдвинуть в положительном направлении оси X на отрезок, равный а , то новому положению фигуры будет соответствовать уравнение

( у +Ы + г э О О у І + ІжІ + ж) = 0 -

181

Чтобы теперь от фигуры двух лучей перейти к фигуре треугольника, надо промодупировать переменную ^ . В ре­ зультате получаем:

(у +ІУІ + 2 І л і - 2 а ) ( І у І + І і х і ~ а ) + I x j - а) = 0.

ных слагаемых послед­ него уравнения приводит к различным деформациям графика.

Пример 1. Пусть уравнение окрулености х 2 + у 2. = 1 пере­

писано последовательно так:

182

прете гавляет собой составлю кривую. Для х ^ 0 - это ду -

Операцию модулирования переменных можно использовать для составления уравнений областей.

Как было отменено ранее, уравнение отрезка AB оси х записывается уравнением

\X ~ гп \+ IX - п \ — тъ-т 7

гд е ft>rrt и А ( ,0). В { f t »0). _____

Пусть имеем некоторую плоскую фигуру. Предположим, что она непрерывным образом изменяет свою форму и поло­ жение, вызываемое непрерывным изменением одного ее па - раметра, например параметра t .

Запишем множество уравнений, соответствующих множест­

Последнее уравнение есть уравнение той двумерной обла­ сти, которая 'зам етается' рассматриваемой фигурой в про — лессе изменения параметра t .

Пример 1. Пусть окружность х 2+ у 2= ? 2 изменяет свою

форму н положение за счет непрерывного изменения радиуса

184

Пример 3. Уравнение области, ограниченной окружностью

п2

X + у = 25, можн° записать так:

\ х гл у г- 2 5 1+ 1х 2+у 2 I ~ 2S .

Пример 4 . Уравнение квадрата А BCD с диагональю АС ~

Уравнение области, заключенной между квадратами, име­ ет вид

М + Ы - 2 ) + | | * | + | у | - б | = 4 .

Одним из методов составления уравнений сложных фигур является метод, при котором удается 'обрезать' прямые и кривые линии путем перевода их точек из действительной области в комплексную.

Введем в рассмотрение функцию S [В(х)] , наделив ее сле­ дующими свойствами:

F(x) > О — S [V f*)] = + 1.

185

F(x) < 0 -► S (У ^не имеет смысла в действительной области. Примером такой функции может служить + V х — \х l + Stg-uoc'. Это выражение для х > 0 равно +1, а для х < 0 не имеет смысла в действительной области.

Условимся, что при рассмотрении произведения S[f(x)]f(x))

графиком уравнения|д/х- Jх | +St^tixj( у - 0) =0 является положительная полуось х • Точки, у которых л < 0, из рас­ смотрения исключаются.

Уравнение вида

[ і / х - д ~ \ х ~ б \ + s-i^n (ос- 6)' ] Су ~ 0 ) - 0

своим графиком имеет ту часть оси х , для точек которой

X » Ъ •

Уравнение вида

[ У а - х ~ fa - X ] + s i g n ( а - х ) J ( у - 0 ) = 0

своим графиком имеет ту часть оси, для точек которой х&а. Чтобы выделить на оси х отрезок А В , где А ( а ) и

В ( 6 ), поступим следующим образом. Введем в рассмот -

Первый множитель- в рассматриваемых выше уравнениях является условным. Его роль заключается лишь в том, что—

188

бы указать, сохраняются ли соответствующие точки в гра - фике функции иди их необходимо с чертежа снять. Поэтому для машинного чтения уравнений форму функции S можно упростить. Так, для координатной положительной полуоси ее уравнение можно записать как

■ ? [ / ( * ) - у ] ( у - / ( * ) ) * 0 -

187

И в этом случае гранила присоединяется к области. Напри­ мер, уравнение области, расположенной под синусоидой у = - s i n X , запишется так:

S [sitt X - у ] ( у - s i n X ) = 0 .

Уравнение области внутренних точек окружности запишет­ ся так:

S ^ r 2- ( x z+ y 2 ) ] ( х 2+ у г - г 2) = О.

Для записи уравнения плоской области можно ввести уравнение плоскости Z - 0. Будем иметь;

J [ s i n X - у ] ( z - 0) = 0 ;

5 [ r 2- { x z +y 2) ] ( z - 0 ) = 0.

Введя вместо плоскости z =0 поверхности z = j (х , у ) , рассматриваемым приемом можно удалить с этих поверхно­

—Fz (х )] . При этом на плоскости или поверхности оставля­

ют для рассмотрения только те точки, для которых ни одна из функций S f и S'2 не является неопределимой в действи —

тельной области. Так, уравнение кольцевой области, ограни-

ченной окружностями х + у = 2- ~ - а х + у * = К , где ./?>/*,

запишется как

188

S, [ х \ у г- г г ] ^ [jg2- x 2- y 2] ( z - 0) - 0.

Уравнение области, ограниченной прямыми у = к х + m f

В тех случаях, когда область ограничена несколькими кривыми, в рассмотрение вводят соответствующее число функций S .

Пример 1, (рис. 284). Пусть требуется записать урав -

нение области, внешней границей которой является окруж —

ность X + у =16 . Пусть вңутри этой окружности имеется четыре отверстия, границы которых есть окружности

Искомое уравнение запишется так: \х +(у~2) -

- 2 ) \ у г- і \ S3[x\(y+2)Z-l]-S4[{х+2)\уг- i]-Ss [l6-xz- y z](z -0) = 0.

Пример 2. (рис. 286). Уравнение области прямоугольни­ ка, ограниченной прямыми у = 2; у - 5; X - 3; х - 4 , запишет­ ся так:

При выходе в пространство путем 'заметания' некоторой фигурой-областью в последний множитель уравнения поверх­ ности надо внести указания на величину перемещения исход­ ной поверхности.

188

Допустим, что окружность с четырьмя круговыми отвер­ стиями, рассмотренная в примере 1, является проекцией фи­ гуры, ограниченной двумя параллельными плоскостями z =2 и z = 5. Тогда уравнение цилиндра с четырьмя цилиндричес­ кими отверстиями запишется так:

S 1S Z S‘3 S4 S^ ( S 6 [ ( z - 2 ) ( z - s ) ] ( z - k ) ) = 0,

где S , Sj , сГ, , Sj,, S г - взяты из предыдущего уравнения ;

'4 ~ параметр.

Итак, рассмотрено три метода составления уравнений сложных фигур на плоскости и на поверхности. Первый из них базируется на операции модулирования переменных,вто­ рой - на теореме о .заметании” областей и третий - на вве - дениа условия снятия из рассмотрения точек фигур в связи с переходом их в комплексную область.

Данные методы легко обобщаются на многомерное про - странство. Покажем, как это осуществляется при переходе

втрехмерное пространство.

Вкачестве исходной будем рассматривать функцию Z = =У" ( X t У) • Можно сформулировать ряд предложений, описы­

вающих различные преобразования поверхностей функций двух

переменных при введении в их уравнения модулей перемен - ных.

Предложение 5. Поверхность уравнения z - j/ ( х , у ) | со­ стоит из точек поверхности z =у (х , у ), имеющих положи­ тельные аппликаты, и точек, симметричных относительно плоскости х у точкам той же поверхности с отрицательны - ми аппликатами.

нию будут соответствовать две полуплоскости, проходящие

через прямую----к \ , точки которых имеют положитель -

а ъ

яые аппликаты.

Предложение 6. Поверхность z =_f ( |je| , у ) состоит из точек поверхности z ~f ( х t y ), имеющих положительные абсциссы, и точек, симметричных относительно плоскости

z y точкам той же поверхности с отрицательными абсциссами.

190