книги из ГПНТБ / Котов И.И. Начертательная геометрия курс лекций для слушателей фак. повышения квалификации преподавателей учеб. пособие

Представим себе, что линия тп - пространственная кри­

вая, Каждую

точку на ней

можно задать

длиной дуги s ~

~ М° М , значит

точки кривой об­

разуют однопара—

метрическое мно­

жество.

Допустим, что в окрестности точки М взяли точки М1

и М 2 . В результате подучили какую-то плоскость <х :

ил. [М1М М 2] , определяющуюся тремя точками.

Будем приближать точки М 1 к /И и /И 2 к М . Как бы близко не приближали точки, каждый раз будем получать со ­ ответственно плоскости ос (появится множество таких плос­ костей). Предельное положение их называется соприкасаю — щейся плоскостью. В предельном положении соприкасающая­ ся плоскость схг проходит через касательную (рис. 195).

Таким образом, в

каждой обыкновенной

точке пространствен­

ной линии можно по ­

строить соприкасаю -

шуюся плоскость. Мно­

жество соприкасающих­

однопараметрическим. В дифференциальной геометрии дока­ зывается, что это и есть касательные плоскости к торсо - вой поверхности, образующие которой являются касательны— ми X линии т

121

Описанные выше случаи можно свести к единообразному, удобно^ для графики способу, который заключается в еле - дующем: в пространстве зада -

122

окружность, центр которой лежит на линии S , причем s = d (рис. 200). В результате получаем каналовую циклическую поверхность с сечениями переменного радиуса.

3. Осевая поверхность подобных сечений.

Линии d a s совпадают и представляют собой прямую, линия т, - произвольная кривая (рис. 201).

П р и м еч а н и е . Если линия I — окружность, получаем по­ верхность вращения, у которой линия гп - меридиан.

Можно построить бесчисленное множество различных по­ верхностей по вышеизложенной схеме задания поверхностей с подобными сечениями. Примером поверхности с подобными сечениями является поверхность витых куполов (рис. 202). Несмотря на сложный вид 'витой луковиды', ее образование

123

Возьмем какую-либо кривую ~т и будем ее переносить в пространстве по соответствующим векторам м м ' ... Кри -

вые т 1... назовем кривыми, параллельными кривой т . Два свойства параллельных кривых.

Пёрвое свойство. Допустим, имеем прямую т и топку А вне этой щдшой. Известно, что, оставаясь В пределах эвк­ лидова пространства, можно построить единственную прямую

лт/ , параллельную т (рис. 206), для чего достаточно за - дать вектор АЛ А и все точки прямой т перенести на этот вектор. В результате получим т'\^гп.

Если на прямой т- выбрать какую-либо другую точку,на­

Таким образом, за начало вектора параллельного пере - носа можно принять точку прямой т, .

Иначе обстоит дело с параллельными кривыми. Допустим имеем некоторую кривую линию т. и точку А вне этой кри­ вой. Возьмем какую-либо точку М на линии rrz и осущест­ вим параллельный перенос (рнс. 207). 7 4

Возьмем теперь точку /V , соединим ее с точкой А и снова осуществим параллельный перенос, но уже на вектор А/А . Получим новую кривую т " , параллельную пг и про - ходящую через точку А .

Таким образом, при параллельном переносе кривой ее положение существенно зависит от выбранного вектора пе­ реноса. Через точку вне кривой проходит бесчисленное мно­ жество кривых, параллельных ей.

125

Второе свойство. Допустим, имеем прямую т и точку А вне прямой (рис. 208). Требуется построить прямую тп' , симметричную т относительно точки А (центра симметрии).

На основании определения центральной симметрии точка А является точкой пересечения диагоналей параллелограмма. Следовательно, прямые tn и т ''параллельны.

Иначе обстоит дело с кривыми (рис. 209). Построим симметричную -т относительно центра А . В данном случае

кривую тт-гНельзя получить из кривой m параллельным не - реносом.

Поверхностью параллельного переноса называется поверх­ ность, образованная непрерывным параллельным перемещени­ ем линии trz. по векторамхордам кривой п (рис. 210).

126

Сначала точку М параллельным переносом на вектор ОN,

перенесем в положение

/И , а затем точку М

поднимем по прямой м ' М

на высоту z z . Получим

точку М ' .

В соответствии с эти­

ми операциями уравнение

поверхности параллельно­

Рис. 211

го переноса запишем так:

Пример 1. Предположим, что в плоскости х Z задана па­ рабола X2 —2 р z , а в плоскости у г - парабола у 2—2 q z

(рис. 212).

Первую параболу переместим по второй. Полученная по - верхность параллельного переноса представляет собой эллип­ тический параболоид

Если р - q , получаем параболоид вращения

2рг = х 2+у 2.

Пример 2 . Предположим, что образующая поверхности

параллельного переноса задана параболой х2= - 2-pz, &направляю­

щая —параболой y 2= 2 q z (рис. 213).

Соответствующая поверхность параллельного переноса бу­ дет гиперболическим параболоидом

*_ * £ .

2q 2р

На чертеже Мошка поверхность параллельного переноса задается проекциями образующей т и направляющей н. (рис. 214).

127

Образование поверхностей параллельного дереноса до способу СоФуса Ли. Возьмем какие-либо две кривые т я го (они могут быть и плоскими, но тогда должны лежать в разных плоскостях) и некоторую точку М' на кривой m .

В результате появится конус, который определяется точкой

М' и кривой « (рис. 215).

Разделим образующие м ' N*... конуса в одном и том же

отношении, например пополам, и

получим кривую 1^. Очевидно,

она подобна кривой и с цент —

ром подобия в точке АЛ ' . При­

дадим точке М ' новое положа -

Рис. 215 образующие в том же отноше —

нии и получим кривую I2. Она

также будет центрально подобна кривой п с центром подо —

бия в точке АЛ2 .

Отметим, что кривые \ * и I 2 конгруентны, так как их

можно совместить перемещением в пространстве на вектор

L TLZ= Y M 1MZ‘

Продолжая перемещать точку /И по кривой m и строя кривые 1..., подучаем поверхность конгруентных между со -

128

бой линий. Докажем, что они образуют поверхность нарал — лельного переноса.

Возьмем на кривой 1 Г и левой образующей М1N 1перво —

го конуса некоторую точку L 1 , а на левой образующей M 2N1

второго конуса Ф 2 и кривой 1 2 - точку L 2 . Соединив точ­

ки L ' и L 2, получим вектор Z 1L 2. Выполнив аналогичные построения для второй и третьей пар образующих конусов

ср г ъ Ф 2, получим векторы L fL Z... ЛеГхо видеть, что

L 1 L Zxr ~ М 1/И2. Следовательно, действительно осуществлен

параллельный перенос.

Отсюда вытекает, что если ввести в рассмотрение вто —

рые конусы Ф ... с вершинами в точках N 1... и направля­ ющей і-гі , на них появится второе семейство образующих

р... поверхности параллельного переноса (рис. 216).

Взаключение рассмотрим случай, когда пространстве? - ная кривая ю. является одновременно и образующей, и на — правляющей поверхности параллельного переноса (рис. 217).

Смещая точку /И кривой т на векторы /И/И ' , ММ" ,

М М ,п , подучаем каркас конгруентньщ кривых т , m ' ъ

тгг?"'. Поверхность параллельного переноса будет огра —

129

Можно считать, что поверхность параллельного переноса образуется в этом случае следующим образом. Конечная точка М дуги MN кривой ттг принимается за вершину ко­ нуса, направляющей которого служит кривая т. . Затем осу­ ществляется непрерывное параллельное перемещение этого конуса на переменный вектор, ''пробегающий' все векторы - образующие исходного конуса.

§ 4 . ПОВЕРХНОСТИ ЛИНЕЙНЫХ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ

Как уже было сказано, линейные преобразования конст — руктивно задаются двумя тетраэдрами. Если эти тетраэдры имеют общую вершину, то линейные преобразования перѳхо - дят в линейно-однородные, а если тетраэдры имеют общее ребро, - то в преобразование, называемое скольжением, и, наконец, е с л и тетраэдры имеют общую грань, —в преобразо­

вание родства.

Пусть Исходным тетраэдром является тетраэдр А В СИ. Подвергнем Ого непрерывным однопараметрическим преобра­ зованиям. Тогда возникает возможность рассматривать не — прерывное множество преобразований Г ..., определяемых

множеством пар тетраэдров А ВСИ и АіВ гС1ВІ Преобразова — ния Г... размножают точку /И пространства, отнесенную к

исходному тетраэдру, во множество точек М 1 ... некоторой

линии t n ' t а линию f пространства, отнесенную к исходному

тетраэдру, — во множество линий J ' ... некоторой поверхно­ сти ср .

Таким образом, преобразования Г... могут служить мето­ дом конструирования поверхностей. В отличие от кинемати — веских способов конструирования поверхностей, в рассматри­

ваемом методе образующая f ' поверхности Ф не только пе­ ремещается в пространстве, но и непрерывным образом из —

меняет свою форму. Если при этом образующие у /... явля - вугся линейногзависпмыыд, ■.то образуемые ими поверхности Ф называются поверхностями линейных преобразований.

Множество преобразований Г... назовем мгновенными

130