книги из ГПНТБ / Котов И.И. Начертательная геометрия курс лекций для слушателей фак. повышения квалификации преподавателей учеб. пособие

преобразованиями. В случае линейных преобразований ими могут быть мгновенные преобразования подобия, мгновен - ные преобразования родства, скольжения и т.д. Рассмот — рим некоторые частные виды мгновенных преобразований и возможности их использования для конструирования поверх - ностей линейных преобразований.

Мгновенные преобразования родства с постоянной двой - ной плоскостью и достоянным направлением родства. Пусть вершина Л исходного тетраэдра перемешается в пространст­ ве по ребру АЛ , пробегая положения Л ' ... прямой d ' (рис. 218).

Рассмотрим мгновенные преобразования родства Г ...,

определяемые тетраэдрами АВСВ ж АВСЛ'... Эти преобразо — вания имеют общую двойную плоскость А ВС и постоянное-

размножаются в параллельные между собой прямые т Отсюда следует, что линия f размножится преобразования-

ми Г... в линии J 1... цилиндрической поверхности Ф ' .

131

Составим уравнения преобразований Г... Примем векторы A ß t 1C , АД за единичные векторы исходной системы координатт X , у , z . Легко видеть, что единичные векторы

преобразованных систем координат для осей х ' , у ' совладают с единичными векторами осей х , у t а единичные векторы

осей z ' коллинеарны единичному вектору оси z (рисң220).

Учитывая, что единичные векторы осей х ' , у ! , Уопределяют своими координатами столбцы матрицы преобразования, подучаем следующую матрицу преобразований Г...:

где с —переменная величина, принимающая значения, соот—

ветствуюпще положениям точек Д 1 ... на прямой d / . Формулы преобразования имеют вид

х ‘ = а х ;

У = ьу ;

2 ' = CZ ,

где с — переметая величина.

Во всех случаях, когда точка Д перемешается по нря -

мой,точки М ...размножаются в точ­ ки /И1 ... прямых т ' . . . %параллельных прямой перемещения точки Л , а лй-. нину ... — в цилиндрические поверх­ ности. В общем случае единичные векторы осей z ' ... при перемещении точки Д по прямой общего положа - ния имеют пропорциональные ксюрди —

ваты на оси х и у , что вытекает из подобия треутольни —

132

Это значит, что коэффициенты третьего столбца матрицы преобразования являются зависимыми.

Мгновенные родственные соответствия с постоянной двой­ ной плоскостью. Пусть точка Л тетраэдра А BCD изменяет

свое положение, перемещаясь до произвольной кривой d '

Отнесем с помощью точек м , /И к тетраэдру A BCD некоторую точку М . При перемещении точки В по кривой

d ' получим множество пар тетраэдров AB СИ и ABCB'.*.t определяющих непрерывное множество Г... родственник соот­ ветствий с общей двойной плоскостью АВС . Точка М в

этих преобразованиях размножится в точки м ' ... кривой

т ' , вентрально подобной линии d ' с центром подобия в

точке /И . Точка М размножится в точки м ' ... кривой

rrz / , центрально подобной линии frr'с центром подобия в точке С . Учитывая, что вершины треугольников /ИЛМ и

/И'д'/И'расположены на параллельных прямых /И/и'ЦВВ'ЦМ/й',

133

несет на себе два семейства кривых; кривые у ' ... и кривые

/гг'... (линии хода точек /И кривой у ). Первое из этих се­ мейств состоит из мгновенно-родственных кривых, второе - из мгновенно-подобных кривых, порознь центрально подобных линий d f .

Указанные выше поверхности назовем поверхностями по — добно—род ственных каркасов. Если линия d ' представляет со­ бой окружность, расположенную в плоскости, перпендикуляр - ной прямой AB , с центром на этой прямой, то поверхность Ф является поверхностью вращения с осью AB и мериди - аном у . Если линия d ' —произвольная плоская кривая, рас­ положенная в плоскости, перпендикулярной прямой AB , то поверхность Ф — осевая поверхность подобных сечений,

родственными меридианами которой являются кривые у ' ...

Если кривая у расположена в плоскости, параллельной плос­ кости Ае е , то, независимо от формы кривой d ' , поверхность Ф —поверхность параллельного переноса, образованная по способу Софуса Ли.

Действительно, заключим кривую PQ в коническую поверх­ ность с вершиной в точке В . Смещая точку В по кривой

d ' , получаем множество конусов с вершинами в ' ... и одним и тем же основанием Pf (кривая Pf Qf i как кривая двойной плоскости, является общей кривой всех преобразований Г ...).

эффидиентом подобия ѣ -BP'.PPy-BQ ; QQ . Последнее говорит

о том, что поверхность Ф — поверхность параллельного пе­ реноса. Линии ходар ' и у' — конгруентны, так как они цент­ рально подобны кривой d 'c одним и тем же коэффициентом подобая к .

134

Уравнения преобразований имеют следующий вид:

=а х + с , z

Уb y +C2 Z ;

z ' = С ?г ,

где с; * С 2 • сз ” независимые величины, равные координа­

там единичного вектора АЛ' любой из осей z ' ... В силу слу­

чайности выбора положения точек Л ' ... величины с г , с 2 , с 3

являются переменными.

Линейно-однородные мгновенные преобразования. Пусть тетраэдру ОАВС соответствуют тетраэдры 0 А ' В ' С ' ..., где

С ' пробегает некоторую кривую с ' (рис. 223), а единичные векторы осей х , у , х есть векторы ОА j 1 ,0 ,0 J , # 5 |о ,1 ,0J-

и ОС{0,0,1}. Как было выяснено ранее, единичные векторы

13S

Если исходная система координат (рис. 224) несет на своих координатных плоскостях ху и л z проекции с'г и с2

линии с и уравнения этих проекций есть

у =Уі (ж) ,

Z —У С х) у

дует из того, что переменные коэффициенты третьего столб­

М1М 'С'... расположены на параллельных прямых, поэтому ли­

нии т ' центрально подобны линиям с ' и центрально подобны между собой (каждая пара имеет свой центр подобия).

ность Ф предо тавляет собой поверхность подобно-родствен -

ных каркасов тгг'... в. у ' . . . В сдучае если у лежит в плреко*

1S6

сти, параллельной ху , получается поверхность параллельно­ го переноса.

Пример 1. Составить уравнения преобразований Г ..., за -

данных векторами 0Л'{ 1,1,2}, 08/ j l.—1,1 J- и линией с' , пред­ ставляющей собой окружность

соответствует множество точек С' ...» 'пробегающих' винто­ вую линию

Запишем уравнения преобразования;

х у = 2 X + 3у + с7z ;

Подставив в последние уравнения координаты точек С и

137

щаяся на отрезок А В как на диаметр и проходящая через на­ чало координат 0. В плоскости ,4 ß £ дан эллипс к , проеци — рующнйся в окружность к ; (рис. 225). Точкам? перемещает­

ся по кривой с 1 , проекции которой задаются уравнениями У = Х \ 2 = у ( х ) . Непрерывному множеству точек С'... со­

ответствует непрерывное множество эллипсов к располо­

женных в плоскостях АВС1.... образующих поверхность Ф покрытия (рис. 226), огражденного полуцилиндром с основа­ нием к и к .

Требуется составить уравнения преобразований Г ..,, раз­ множающих исходный эллипс к в образующие к ' ... поверхно­ сти Ф .

138

Рис. 228

Таким образом, и поверхность Ф>' , и поверхность Ф '

будут представлять собой поверхности параллельного пере_носа. Если линии с ' и Ъ' прямые, то поверхности Ф ' , Ф>

и Ф ' вырождаются в плоскости.

Если через точку М проходит какая-нибудь линия f , то ее точки М ... размножаются преобразованиями Г... во

множество поверхностей Ф' ..., заполняющих отсек прост -

ранства, ограниченный поверхностями Ф ' , соответствующи­ ми концевым точкам дуги линии . Линия f размножится в

двупараметрическое множество кривых f ' ..., являющихся

линиями хода точек /И' ... при переходе их с одной поверх­

ности Ф ' на другую (рис. 230).

140