книги из ГПНТБ / Шабалин Н.Н. Оптимизация процесса переработки вагонов на станциях

распределение горочных интервалов может быть аппрок­ симировано кривой, нормального распределения. В табл. 5 приведен порядок проверки гипотезы о нормальном

50

В первой вертикальной графе представлены целочис­ ленные значения горочного интервала, которые являются серединами разрядов, каждый из которых равен 1. Во второй графе проставлена статистическая частота каж­ дого разряда. В третьей графе определяется теоретиче­ ская вероятность попадания в данный разряд как произ­ ведение величины разряда на плотность распределения вероятностей по предполагаемому нормальному закону распределения, т. е. Pv=Atf(t). Здесь Д £ = 1 , а значение плотности распределения для каждого значения t на­ ходится при помощи таблицы нормированного рас­ пределения по зависимости

/(о=4-/'^),

где / ' ( — н а х о д и т с я по таблице (например, по табл. 3

книги Вентцель Е. С. «Теория вероятностей»). Для полученных данных

/w-J-z-f-^)-

Так, для * = 6 /'(?=!?) = 0,054 и /(0=0,01 8 Р т =0,018

(см. рис. 16). Произведение объема выборки 1920 на тео­ ретическую вероятность дает значение теоретической часто­ ты каждого разряда, что и отражено в графе 4. В гра­ фах 5 и 6 помещены соответственно отклонения и квадраты отклонений теоретической частоты от статистической. В 7-й графе показаны отношения квадратов отклонений к теоре­ тической частоте. Сумма графы 7 дает значения X2 .

Число степеней свободы равно числу разрядов минус число наложенных связей, что в нашем примере опреде­ лится г=1—3=16—3 = 13. По специальной таблице [2] находим . Р=0,163 . Следовательно, выравнивание с по­ мощью нормального распределения согласуется со стати­ стическими данными. Это видно и по рис. 16, где на гисто­ грамме нанесена кривая распределения. Если по табли­ це получим значение Р < 0 , 0 5 , тогда принятая гипотеза отвергается. Как отмечалось выше, анализ интервалов обслуживания различных видов: расформирования, фор­ мирования, обработки в парке прибытия и отправления и т. д. показывает, что коэффициент вариации их чаще всего не превышает 0,4—0,5, т. е. значительно ниже, чем

51

коэффициенты вариации входящих потоков требований. Это объясняется тем, что операции обслуживания явля­ ются результатом определенной технологии и находятся в руках определенных исполнителей или функционирова­ ния определенных устройств и по сравнению с потоком требований более управляемы. Потоки требований под­ вержены большему влиянию различных объективных факторов с различной частотой и дальностью действия,, что и обусловливает значительно большую их неравно­ мерность по сравнению с потоками обслуживания.

3. ПОКАЗАТЕЛИ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ МЕЖДУ ПРОЦЕССАМИ ПРИБЫТИЯ И РАСФОРМИРОВАНИЯ ПОЕЗДОВ

Успешность процесса расформирования поездов, как и любой системы обслуживания, зависит от перераба­ тывающей способности горки (или вытяжек формирова­

условиях средний горочный интервал на расформирова­ ние одного состава должен быть меньше среднего интер­ вала прибытия поездов. В зависимости от соотношения интенсивности прибытия и расформирования поездов в

скорость устранения очередей зависит от наличия резер­ ва мощности обслуживающего устройства (горки). От­ сюда возникает задача оценки и учета степени неравно­ мерности прибытия и расформирования при определе­ нии как потребной мощности устройств, так и показа­ телей процесса переработки вагонов.

Для получения средних показателей процесса рас­

сивность прибытия поездов можно характеризовать па­ раметром потока X, равным среднему числу поездов, поступающих в час. Интенсивность расформирования

52

зависит от мощности горки и может быть охарактери­ зована средним числом поездов v, которое горка рас­ формировывает за час.

Для начала возьмем наиболее простой случай, когда интервалы между требованиями и интервалы обслужи­ вания независимы и имеют показательное распределе­ ние. В этом случае процесс обслуживания рассматрива­ ется как марковский процесс, при котором вероятность состояния системы в будущем зависит только от состоя­ ния ее в настоящий момент и не зависит от способа, ка­

шийся режим вероятностного процесса, не зависящий от начального состояния системы. Это значит, какое бы ни было состояние системы в данный или начальный мо­ мент, через определенное число шагов переходного про­ цесса система достигает определенного стационарного состояния, определяемого соотношением интенсивности прибытия и расформирования.

Потоки прибытия поездов и их расформирования рассматриваются как простейшие со свойствами стаци­ онарности, ординарности и отсутствием последействия.

Для этих условий рассмотрим вероятности измене­ ния состояний однолинейной системы расформирования за элементарный отрезок времени dt под влиянием пото­ ка требований и обслуживания. Сумма вероятностей раз­

В соответствии со свойством ординарности потока ве­ роятность появления двух и более событий за малый про­ межуток времени есть величина бесконечно малая посравнению с этим промежутком. В связи с этим практи­ ческое значение имеют только два слагаемых, а осталь­ ными можно пренебречь и написать

P0(dt) + P1(dt)=l.

53

Рис. 17. Граф перехода системы из одного состояния в другое

так и те, которые обслуживаются. В рассматриваемой од­ нолинейной системе расформирования на горке один состав может находиться в процессе роспуска, а ос­ тальные в очереди.

альных уравнений [ 7 ] . Вероятность того, что в системе расформирования в конце периода t-\-dt не будет ни од­ ного состава

один поезд не прибыл. Второе слагаемое определяет вероятность того, что в момент t был один состав и за период dt один состав был расформирован.

Вероятность того, что в системе расформирования в конце периода t-\-dt будет п составов, может образо­ ваться тремя способами

слагаемое — вероятность того, что в момент t в систе­ ме было п + 1 составов, но за период dt один состав расформирован.

55.

Если в этих уравнениях раскрыть скобки, перенести соответственно Po(t) и Pn(t) влево и разделить на dt, то получим систему дифференциальных уравнений:

^= - x p 0 ( 0 + VPI(0;

сматривая предельный установившийся режим вероятност­ ного процесса, при котором в силу эргодичности процесса

Pn{t)~+PnVi -»-0 (^-»-со), и приравняв производные

нулю, получим для стационарного состояния алгебраичес­ кие уравнения:

ЬРо = v P i ;

(X + v)P„ = X/V-j + v/>„+„

Для упрощения разделим оба уравнения на v и получим

Л = Ро^г = Ро?1

Приняв т г = 1 , получим из второго уравнения

Величина р определяет уровень загрузки горки, при­ веденную плотность потока требований, определяющую, сколько поступит поездов за время расформирования одного состава. Эта величина определяет степень опере­ жения темпом расформирования темпа прибытия поез-

.56

ДОБ. Естественно, что в условиях неравномерности за­ грузка горки, как и любого обслуживающего устройст­ ва, должна быть меньше единицы. При заданных раз­ мерах прибытия поездов в расформирование уровень загрузки горки можно снижать сокращением горочного интервала.

Полученная зависимость (19) позволяет определять вероятность различных состояний любой однолинейной системы обслуживания с ожиданием и бесконечной оче­ редностью на входе. Сумма вероятностей всех возмож­ ных состояний как полной группы событий

liPn = 21ЯоР л = 1.

Отсюда вероятность того, что система расформирования свободна

Здесь знаменатель' представляет собой сумму членов геометрической убывающей прогрессии ( 1 + р + р 2 + р 3 + -f-...+р'1 ), которая равна 1/(1—р). Отсюда Рп=Р0рп —

=( 1 - р ) р »

Значение Ро определяет резерв мощности горки. Сор­ тировочная горка может быть или занята, вероятность

горки, будут ожидать расформирования, пока горка не освободится, а составы, поступившие в период свободности горки, такого простоя иметь не будут.

Из зависимости (19) следует, что распределение ве­ роятностей различных состояний системы расформиро­ вания определяется уровнем загрузки горки р и ее ре­ зервами мощности Ро. Чем меньше уровень загрузки горки, тем больше вероятность того, что она будет сво­ бодна пли в системе будет небольшое число составов. Чем больше уровень загрузки горки, тем больше веро­ ятности значительного числа составов в системе рас­ формирования, а значит и в очереди. Это особенно на­ глядно видно из рис. 18, где показано распределение вероятностей нахождения числа составов в системе рас­ формирования, как и в любой однолинейной системе-

5Г

ности последовательно уменьшающегося числа составов снижаются довольно медленно. Ниже в табл. 6 приведе­

.58

Знание распределения вероятностей различных со­ стояний системы позволяет определить среднее числа требований в системе обслуживания, среднее число тре­ бований, ожидающих обслуживания, а также время на­ хождения в них и других показателей процесса.

Среднее число требований в системе обслуживания равно сумме произведений каждого возможного числа требований п на их вероятность Рп, т. е.

со со

ния (средняя длина очереди), определится как сумма

Ожидать расформирования будут все составы, кроме одного, находящегося в процессе роспуска,

со со

как и в первом случае при определении среднего числа составов в системе расформирования.-

Среднее число составов, находящихся в системе рас­ формирования, равно сумме средней длины очереди и среднего числа составов, находящихся в процессе рос­ пуска, которое равно уровню загрузки горки, т. е.

Lc = L0 + p.

Из зависимостей (20) и (21) следует, что среднее число составов в системе расформирования и в очереди

нить через интенсивности потока поездов и их расфор­ мирования, то она примет вид

59