книги из ГПНТБ / Шабалин Н.Н. Оптимизация процесса переработки вагонов на станциях

ное (экспоненциальное), эрланговские, гамма-распреде­ ление, гнперэ'кспоненциалы-юе, вейбулловское и нор­ мальное. Часто, однако, для .решения практических за­ дач достаточно иметь только числовые характеристики интервалов в потоках, такие как среднее значение (ма­ тематическое ожидание), среднее квадрэтическое откло­ нение, коэффициент вариации.

Коэффициент вариации интервалов характеризует степень неравномерности потока. Он равен отношению среднего квадратнческого отклонения к математическо­ му ожиданию и выражает относительное отклонение интервалов от среднего значения. При регулярном по­ токе, когда все интервалы равны, коэффициент вариа­ ции равен нулю, так как нет отклонения интервалов от среднего значения. С увеличением неравномерности по­ тока возрастает и коэффициент вариации, ухудшаются условия использования устройств станции и увеличива­

ление определяет закономерности появления тех или иных интервалов в простейшем потоке однородных со­ бытий. Простейший поток, как известно, обладает свой­ ствами стационарности, ординарности и отсутствия по­ следействия.

Под стационарностью подразумевается свойство по­

продолжительности этого отрезка времени, числа требо­ ваний и не зависит от положения этого отрезка на оси времени.

Ординарность потока означает практическую невоз­

Отсутствие последействия заключается в том, что ве­ роятность поступления определенного числа требований за принятый отрезок времени не зависит от того, сколь­ ко требований поступило до этого. Отсутствие последей­ ствия определяет взаимную независимость событий в по­ токе.

10

Плотность распределения интервалов между собы­ тиями (дифференциальная функция распределения) в этом случае определится по формуле

сивности % интервалы между двумя соседними события­ ми потока независимы и распределены показательно с плотностью распределения (2). Дискретное пуассоновское распределение числа событий за определенное время t по формуле (1) и непрерывное показательное распреде­ ление независимых интервалов между событиями по фор­ муле (2) выражают один и тот же простейший поток событий.

Среднее значение (математическое ожидание) ин­ тервалов t определяется как величина, обратная интен­ сивности .потока,

Дисперсия интервалов будет равна

а среднее квадратическое отклонение как корень квадрат­ ный из дисперсии

=J _

и

Коэффициент вариации интервалов в простейшем по­ токе равен единице. Это значит, что интервалы отклоня­

лен график непрерывного распределения интервалов по

сдвинутое показательное распределение, когда интерва­ лы не могут быть меньше определенной величины ta, на­ пример при поступлении поездов только с одного участ­ ка, где минимальный интервал определится условиями пропускной способности. В этом случае плотность рас­ пределения .интервалов

График плотности 'вероятности сдвинутого показа­ тельного распределения интервалов приведен на рис. 2 при / 0 = 6 мин (0,1 ч). Площадь под кривой плотности распределения, как известно, равна единице.

Интегральная функция показательного распределе­ ния

12

Между функцией плотности распределения и инте­ гральной функцией распределения оуществует тесная связь. Производная от функции распределения для непре­ рывных случайных величин равна плотности распреде­ ления. В связи с этим ордината точки t кривой плотно­ сти распределения равна тангенсу угла наклона каса­ тельной в точке t к интегральной кривой. Чем ниже точ­ ка на кривой плотности распределения, тем меньше тан­

лростым, зависящим только -от одного параметра К. Для потоков с показательным распределением интервалов получены аналитические зависимости, характеризующие показатели функционирования систем массового обслу­ живания. Кроме того, при помощи показательных рас­ пределений можно сформировать потоки с различной степенью неравномерности, т. е. с различными коэффи­ циентами вариации интервалов.

Р а с п р е д е л е н и е Э р л а н г а

Каждый интервал в потоке Эрланга состоит из К подын­ тервалов, распределенных по юказательному закону с ин­ тенсивностью X/. На рис. 5 по оси П нанесен поток собы­ тий с показательным распределением интервалов (пуассоновский поток) и интенсивностью X/. На оси Э показан по­ ток с эрланговским распределением порядка К = 2 и интен­ сивностью X, у которого каждый интервал состоит из двух подынтервалов. Математическое ожидание интервалов в по­ токе Эрланга равно — , а математическое ожидание подын-

х

тервалов равно .

14

Следовательно, среднее значение интервалов в эрланговском потоке

,X'

или в оощем виде л = — .

Для потока Эрланга порядка К'- плотность распределения интервалов

дисперсия интервалов

/с

среднее квадратическое отклонение

а - № •

коэффициент вариации

t 1к

Формула (4) выражает плотность распределения интер­ валов эрланговского потока при фиксации интенсивности X' исходного пуассоновского потока и поэтому с увеличением порядка К увеличивается среднее значение интервалов

{t = —-^, т. е. поток как бы прореживается, делается бо­ лее редким. Для устранения этого применяется нормиро­ ванное распределение Эрланга, которое можно получить, подставив в зависимость (4) интенсивность эрланговского

В этом случае с увеличением параметра К поток сохраняет свою интенсивность неизменной, а будет ме­ няться лишь величина рассеивания интервалов в потоке.

15

Числовые характеристики нормированного распреде­ ления Эрланга примут вид:

среднее значение интервалов

дисперсия

1 .

2 •среднее квадратическое отклонение

1

° IVк '

коэффициент вариации

мода, т. е. интервал, имеющий наибольшее значение плот­ ности распределения,

симость степени неравномерности эрланговских потоков

На рис. 6 приведены кривые плотности распределе­ ния нормированных потоков Эрланга при различных значениях порядка К и интенсивности %=4, а значит среднем значении интервалов t=0,25. Для примера по­ следовательность расчета при /С=2 приведена в табл. 1. Как видно из рис. 6, с увеличением порядка К уменьша­ ется рассеивание интервалов относительно среднего зна-

.чения, уменьшается положительная правосторонняя (хвост справа) асимметрия, а мода перемещается от ну-

16

Рис. 6. Зависи­ мость плотности распределения от параметра К при нормированном за­

коне Эрланга

ля до среднего значения. Так, при К=\, М0=0 — пока­

При большом значении К эрланговское распределе­ ние приближается к нормальному (Гаусса) и может быть заменено последним (при К^9).

Сумма всех элементов вероятностей (вероятностей попадания случайной величины в данный разряд), выра­ жающая площадь под кривой плотности распределения, должна быть равна единице (итог последней графы табл. 1).

17

значением порядка К можно аппроксимировать потоки с различной степенью неравномерности с коэффициентом вариации интервалов от 0 до 1. Однако при переходе от К—\ до К=2 имеется значительный скачок значений коэффициента 'вариации от 1 до 0,71. Для потоков, име­ ющих коэффициент вариации в границах от 0,71 до I , плотность .распределения интервалов может быть пред­ ставлена в виде о б о б щ е н н о г о з а к о н а Э р л а н г а второго порядка, который является композицией законов с показательным распределением, но с различной ин­ тенсивностью. В этом случае интервалы обобщенного по­ тока состоят из подынтервалов, распределенных по пока­

Здесь интенсивность составляющих потоков определяет­ ся в зависимости от коэффициента вариации интервалов по формуле [20]:

18

и средних значений интервалов. Один подынтервал стре­ мится к среднему интервалу t, а второй к нулю. С приб­ лижением коэффициента вариации к 0,71 параметры ис­

Г

!