книги из ГПНТБ / Арсеньев А.А. Сингулярные потенциалы и резонансы

А. А. А Р С Е Н Ь Е В

СИНГУЛЯРНЫЕ

ПОТЕНЦИАЛЫ И РЕЗОНАНСЫ

ИЗДАТЕЛЬСТВО

МОСКОВСКОГО

УНИВЕРСИТЕТА

1 9 7 4

Предисловие

Эта работа посвящена математической теории рассеяния. В ней обсуждаются вопросы, связанные с резонансами, ква­ зиуровнями, квазистационарными состояниями и полюсами волновой функции на втором листе комплексной поверхности энергии при нерелятивистском рассеянии на «ловушечном» (см. рис. 1 на стр. 8) потенциале. Данные вопросы с физи­ ческой, точки зрения давно ясны [1]. Основное содержание работы составляет, математическое доказательство резонанс­ ного характера решения задачи рассеяния на «ловушечном» потенциале, доказательство существования полюсов с малой мнимой частью у волновой функции задачи рассеяния, дока­ зательство резонансного поведения фазовых сдвигов, оценки неэкспоненциально убывающих «хвостов» при распаде квазистационарных состояний, оценки энергетической ширины квазнуровней.

Единственное существенное предположение о потенциа­ ле, которое мы делаем (помимо обычных требований об убы­

нарных состояний не включает наиболее интересного случая многочастичных задач, она является (насколько известно автору) одной из первых моделей, в которой с математиче­ ской точки зрения удалось разобраться до конца.

В современной литературе по математической теории рассеяния принято по определению резонансным состоянием; называть функцию из области изменения оператора, являю­ щегося вычетом в полюсе аналитического продолжения ядра1 оператора R(X, Н). Однако далеко не все полюсы оператора. R(%, Н) связаны с «истинными» резонансами (т. е. пиками в сечении или скачками в фазе рассеяния). Вопрос о том, как связаны полюсы аналитического продолжения ядра резоль­ венты с «истинными» резонансами и почему эти полюсы ле­ жат близко от действительной оси в случае потенциала, изо­ браженного на рисунке 1 (стр. 8), также нетривиален.

Основная идея предлагаемых доказательств состоит в исследовании спектрального разложения оператора ехр(—<Я) (Я — оператор Шредингера) и при учете того, что в случае диффузии для «ловушечного» потенциала имеется легко оце­ ниваемый малый параметр; вероятность частице из области |х|<Яо попасть в область |х |>Яо-

3

Обозначения

Точки //-мерного евклидова пространства Rn обозначим

(a, b) = ab — скалярное произведение в RN:

N

ab = (а, Ь) = £ арс,

i= 1

р{А, В) — расстояние между множествами А и В в Rn] {х; 3i}— множество точек х, удовлетворяющих усло­

вию 31;

LP, 1 < р < о о — банахово пространство с нормой

\\f(x)fp = §\f(x)\pdx;

L°° — банахово пространство с нормой

||/(х)||м = vrai sup |/ (х) |; x€Rfj

LP (S) — подпространство Lp, состоящее из функций, равных нулю вне 5:

L — пересечение пространств L1и L°°, L =Ь' П£°°;

z, z*— число, комплексно-сопряженное числу z;

(f)o(k) — преобразование Фурье функции /(х):

(7)0 (&) = j exp (ikx) f (x) dx\

\A->-B, 31]— пространство линейных непрерывных отобра­ жений банахова пространства А в банахово пространство В, где А и В— любые банахо­ вы пространства, удовлетворяющие условию 31; интегральный оператор с ядром А (х, у) обозначаем символом А:

(Af) (х) = j А (х, y)f(y)dy;

5

ЧАСТЬ I

РАССЕЯНИЕ НА СИНГУЛЯРНЫХ ПОТЕНЦИАЛАХ

Определение 2. Функция V(х) удовлетворяет условию А~ (a, R), если она удовлетворяет условию Л+(а, R) и допол­ нительно выполнено требование

У(*)£!*, <7>0,5W.

Определение 3. Функция V (х) удовлетворяет условию A (a, R), если функция

V+ (х) = max {У (х), 0}

удовлетворяет условию Ж-0 (a, R), а функция

У~ (х) = — min {У (х), 0} —

условию Л<-> (а, R).

7

Пусть Mi(n) и М2(п) — произвольные бесконечно­ большие последовательности чисел

V „ (* ) = V & <*)(*) Vm2 (п) (х).

Эта глава посвящена изучению предела при п-^оо функции Грина задачи Коши для уравнения теплопроводности

'-$- = * u— Vn(x)u, x£ RNt > 0, и(х, +0) = ио(х),

01

и(х, t) 6 L°°.

§1. Вспомогательное интегральное уравнение

Пусть функция К(х)еЛ(_>(а, R). Рассмотрим интеграль­ ное уравнение

со(х, y , t ) e L 7 ® L y ® Ц°ол.

Подставив это решение (1.2) в уравнение (1.1), полу­ чим, что функция со(х, у, t) удовлетворяет интегральному уравнению

8

9