книги из ГПНТБ / Арсеньев А.А. Сингулярные потенциалы и резонансы

(ft, Е (X, Н) /2> = (2я)-"

J

(ТгГ (k) (1) (A) dk+ £ (/,)* (/,),.

lfe|2<X

а.г<х

(4.24)

Обозначим символом Р(Я2)

проектор

на

подпространство

функций из Е2, для которых функция

Ф (Я) = ( / , £ ( * , Я )/>

абсолютно непрерывна

по

X для всех

Хе[0, оо). Пусть

A — P(Hq)L2. Из формулы (4.24) следует,

что А является ор­

тогональным дополнением в L2 к гильбертову пространству,

натянутому на векторы {ф(х,

Аг)} и к L2(Q). Чтобы доказать,

s - » ± o o

'

<Л,

(Я, Я0) /2) =

(2n)~Nj (fS (k) (f2) (k) dk,

(4.25)

W-,

(Я, Я0) f = {2n)~NJ exp (— ikx) Cf) (k) dk,

(4.26)

</i. W- (Я0, Я )/2) =

(2*)“ " J {hY (k) (7ajо (A) dk,

(4.27)

(W- (H0, H) f) (x) =

(2n)~N| a* (*, k) (~f)о (A) dA.

(4.28)

W± (G0 (t), G(/)) - WT(Я0, Я) и (G (t), G0(0) =

(Я, Яс),

(4.29)

поэтому преобразование f —*Щ —(2л) Nl2 (/) (ft)

является од­

нозначным преобразованием А на все ZA

Пусть/6L*CR*\Q). [(2л)—^/2 (/) (ft). {fг}]

образ функции

(/) (ft) последовательность функций, каждая

из которых

равна

нулю в окрестности множества {ft, ft2 6 {ft;}}-

Так как

по

дока­

занному каждый

элемент множества

L2 ® 12тявляется

образом

некоторой

функции / (х) (ЕL2 (Д^ \ £2)

при

отображении

U,

то

найдется

такая

последовательность

/„ (х) в Е2 (Rn \

“ )>

что

ufn=[(2n)-Ni2(T)n( k ) ,m -

,

Для каждой функции fn(х) и любой функции а W с ьо

в силу доказанной формулы (4.8)

справедливо равенство

( а ( х ) , (Е (к, Н) / п) (а-)) =

= (2я)-ы12 Г (a) (ft)* (Ъп

dk+ £ (а)*/; =

= Пт [(2я)-" J* и* (х, А) (/)„ (k) dk + £

(х, А,,)].

П-—*оо

lfe|*<X

\<Х

Формула (4.9)

доказана.

единицы

относительно

Так как

£ (А,, Я )— разложение

' Пусть p(f) — такая

абсолютно непрерывная

мера на

[0, оо), что при некотором е>0

00

exp (et) d\i (t) < оо, j t~4*~edn(t) < po

(4.31)

о

о

и пусть

F (A,) =

00

(4.32)

J exp (— Ai) dp.(^).

• ОО

(4.33)

F (Я) ср = | G (t) yd\i{t).

ОО 00

00

F (Я) ф = Г К е-ЩЕ (К Я) ф] й\к {t) =

j F (К) dE (К, Я) ф,

О 0

о

средственно теорию операторного исчисления Хилле

Фил­

липса [5] в случае L°° не удается. Легко видеть, что Е(Н) —

интегральный оператор с ядром

F (Я) (х, у) = j G (х, у, 0 ф (0

(4.34)

о

Лемма 4.4. Справедливо неравенство

1,

К 1<4£,

j g (*, У>0 dH< • С |^ехр

-у-1 х ) +

И > 4 R,

(4.35)

где константы не зависят от i.

М < 4 # }

неравенства

До к а з а т е ль с т в о .

При

(4.35) следует из оценки

О

g (х, у, t)

Gq(•*■>У* >.

а при х^{х,

|л:| >4/?}

воспользуемся равенством

1

fg (х, y,t)dy= 1 — Пт § jexp ^— tJ ]/м(2УТх (т) -f х)

=■

v

П

=

1 — lim <§(

sup x(x)\\2Vtx{%)\<'

'iW—>оо

I, 0< т< 1

1

<

-L |л' |, ехр ^

j VM(2 VTx (т) +*)>**)} —

О

— lim $( sup

|2 |Лл:(т)|>

М-*оо

(0<Т<1

o<t<i

2

I

0<т<1

2

выполнено равенство

lira |/х(т): sup |2]/7х(т)|<

М-+00

I

0<т;<1

1

< - i - 1х |, exp( — f ^ Via (2 V t x (т) +

x) d(t)^| =*•

о

= (э/х(т): sup

|2Vtx (т) I <

l

0<t<l

<

|x I, exp

i

Ем0г(2 Vtx (t) + x) dt^j

j

о

и из (4.36) следует

неравенство

{

0<T<1

2

J

l

< 1 — 1 jexp

t ^ Em, (2 1 /7 x (t) + x) di^j. -f

0

+ 2$ ( sup

12 J/Tx (t)|

|X |) <

lo<x<i

2

J

I

< ti |J drVM,, (2VTx (t) + x)j

+

+ 2§ I sup |2^

л:(т)|>4-|х | 1 <

lo«<i

2

J

-Сt

sup

Vм„ (5 + x) + 3 (M„ +

1)

x

lll<—Ul

2

X I

( sup

|2]/£ x (т) |>

-i- |x |\ •<

1<XK1

2

J

< C |^exp

11X|-w-« j .

(Мы воспользовались условиями A (a, R).)

Лемма 4.4 доказана.

Пусть Г (Я) — оператор с ядром

00

у, t) ф (f).

Г (Я) (х, у) = j

g (x,

о

Лемма 4.4. Справедливы утверждения:

непрерывен при

1) Г (Я) 6 [Lq -*■ L4,

1 < q <

оо]

и вполне

1 <<7<°о;

2)

||Г (Я) — Г (Ям) А,-,,->■ 0, 1 <<7< о о , М -*оо;

3)

Г (Я) 6 [L(>~*LP, 1 < р < 7 < оо ] И вполне непрерывен;

4)

|| Г (Я) — Г (Ям) ||7-,р-» 0, 1 < р < < 7 < о о , М -> оо .

Д о к а з а т е л ь с т в о . Если cpei>, 1< р<оо, то g(t)<p

непрерывна по ( в Lp, и ее интеграл Бохнера — Стилтьеса

есть сильный предел сумм вида

j

00

Г (Я) (X, у) dy = j [j g (x, у, t) ф (*)] dy =

о

=

j [J g (X, у ,t) dy] Ф (t) < С [1 + |X ]]-" -“ .

(4.37)

со

о, М-► оо,

= J [j.(g (X, у, t) - gM(х, у, t)) dyj ф (о -»

о L

то справедливо равенство

|Г (Я) — Г (Нм) ||оо-»р-э-0, 1 < р < о о , м -»оо.

Интегрируя, легко получить (4), а вполне

непрерывность

Лемма 4.5. Если / (х) 6 L" f|

то

R(F(X + Ю), Е (Я0))/ = Р (Я)"1[£ + K t (Я)]/,

где

(Я.)/ = (2я)-"/2j £ (р2) [F (Я +

t'O)— F (р2) ] - 1х

о

JN__ (P\*— y\)f(y)

N_

X [J — -------- Y Z —

iy] ? ‘ “p'

w

w

4 Д' (Я)

;__ЛГ

__М

+ \ г

2

(2ш) 2 {

J

Я-(Р2)[.Р(Я)— ^(р^)]-1X

a r g p = e

X Н{1 _ л ( г

р Р) 2 dp +

J

Е(Р2) [F (X )-F (Р2)]"1х

2

a r g p = — 0

JL

х Я ^ _ 1(гр)р2 dpj.-

(4.38)

2

уравнению

ср = Т~р (A) (exp (ikx) -f- ф), А =

№.

(4.39)

До ка з а т е ль с т в о .

Без изменения проходят рассужде­

ния леммы 2.5.

Лемма 4.8. Любое решение уравнения

F (А) и = F (Я) и,

принадлежащие некоторому

Ьр, 1<р<;°°,

удовлетворяет

уравнению

Ни = Аи.

До ка з а т е ль с т в о .

Это

утверждение,

есть следствие

наложенных нами требований на меру ц('0

и теоремы 16.6.2

из [5].

Лемма 4.9. Любое решение уравнения

Ф = т £ (А)ф,

(4.40)

принадлежащее Lp при некотором

принадлежит

L2 и удовлетворяет уравнению

Яф =

Аф.

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Из (4.40)

следует, что функция

ф(х, А,) имеет асимптотику

1—N

ф (х, X) = С {%, N) р (п) |х:| 2

exp(i]/X|x|) +

Ь " -в

8 > 0 п = х/\х\, |х|-*~оо,

+ 0(|х| 2 ),

где

Р (я) = j* exp (— i (п, у) ]/Х (Г (Я) ф) (у) dy.

Умножая равенство (4.40)

на Г (Я) ф*,

а равенство

ф(х, Я,) = 0(|х|

2

), |jc|—»-оо.

(4.41)

Умножив обе части (4.41) на

R (F (X+ t'O), F(H0)),

получим,

что ф(х, X) удовлетворяет уравнению

F (X) ф =

F (Я) ф.

Из леммы 4.8 и оценки (4.41) следует, что

Яф = Аф, ф(х, ^,)=0,

ф(х, X) 6 L°°,

поэтому ф(х, Х)^Ь2.

Теорема 4.4.

1) Если X£{Xj}, то

—1

2N

(4.42)

( E - T t (Х)Г € Lp -> U,

N — 1 < Р < °°

Tt (Л.) Ф = ф.

(4.43)'

Д о к а з а т е л ь с т в о . Если Хф.{Х,},

то

из теоремы 4.4

следует, что уравнение (4.40) нетривиальных

решений не име­