книги из ГПНТБ / Арсеньев А.А. Сингулярные потенциалы и резонансы

ЧАСТЬ И

РЕЗОНАНСЫ В НЕПРЕРЫВНОМ СПЕКТРЕ ОПЕРАТОРА ШРЕДИНГЕРА

Поясним основную идею последующих вычислений. Пред­

положим, что потенциал V(х) имеет вид «ловушки» (рис. 1 на стр. 8). Рассмотрим вспомогательный потенциал V(x),

</?о+'б/2}, и будем рассматривать потенциал V(х) как воз­ мущение потенциала V(x). Как мы увидим, при таком под­ ходе малым параметром является величина ехр[— (М—X)

V d(M)l4], где d(M), грубо говоря, толщина потенциального барьера У(х) на уровне V(x)=M, X— спектральный пара­ метр (энергия частицы).

Нам будет удобно рассматривать данный потенциал У(х) как элемент однопараметрического семейства потенциалов {Vm (x)}, Vm (х ) / V(х), .M-voo. В качестве такого семейства можно взять любую последовательность, удовлетворяющую, например, условию

min (М, V (х)) < Vm (х) < min (2М, V (х)).

Для конкретности положим Ум(х)=гшп(М, У(х)). Предпо­ ложим также что потенциал V(х) неотрицателен; общий слу­ чай сводится к этому стандартными методами теории возму­

щений.

<

80

Г л а в а 5. РЕЗОНАНСНЫЕ СВОЙСТВА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ РАССЕЯНИЯ

§ 1. Достаточные условия существования неотрицательного точечного спектра

В этом параграфе мы приведем достаточные условия су­ ществования у оператора Л точечного спектра, расположен­

ленные точки, С22= # я\ (£2 UQi) •

Теорема 5.1. Если р(Йь 'й2)> 0 и mesQ2>0, то собствен­ ные функции точечного спектра оператора Н существуют и

В силу теоремы 4.2 справедливо равенство

J |f (х) |2 dx = (2zt)~NJ |/ (&) |2 dk +

которое в силу (5.2) для-финитных в £22 функций превращает­ ся в равенство

§2. Оценка вспомогательного интеграла

Вэтом параграфе мы получим оценку, которой в даль­ нейшем будем неоднократно пользоваться.

Пусть ф(х, А,-) — собственная функция точечного спект­

ра оператора Н, Aj>0, им(х, k) — решение задачи рассея­ ния для оператора Нм. Положим

фм (k, Ау) f ф(-^> Ау)Ц-м{.х, k) dk,

' (5.3)

0(М, t) = ||G(Q — GM(t)\\2.

Теорема 5.2. Если у оператора Нм при любом М <°° то­ чечный спектр отсутствует, то справедлива оценка

летворяют равенствам

им exp (— kH) = GM(t) им, фехр (— А,/) = G (0 Ф>

откуда следует, что

[ехр (— kH) — exp (— Ау-01 фм (k, Ay) =

= J им (У, k) [ J [Gm (y, x,t) — G (y,x, 0] Ф (x, Ay) dx] dy

(возможность перемены порядка интегрирования вытекает из компактности носителя ф(х, Aj)), и в силу равенства Парсеваля

(2n)~Nj |exp (— kH) — exp (— Ajt) |21фм (k, Ay) |2 dk =

= IGM(t) - G(0) ФII2 < IIGM(0 - G (t) |1= 62 (M, t).

82

д(М)/м~ у

X exp 1

Доказательство . В силу определения (5.3) 0 (М, t) < sup f [GM(At, y,t) — G (x, y, /)] dy\

X J

воспользуемся леммой 5.1 и теоремой 1.8.

Отсюда следует, что если V (х) — \R0— |х ||—v, то

§ 3. Поведение собственной функции оператора Нм вблизи собственного значения оператора Я

В силу теоремы 4.1 функция ф(х, Xj) тогда и только тог­ да является собственной функцией дискретного спектра опе­ ратора Я, когда она удовлетворяет уравнению

Отсюда следует, что точка р=1 является особой для резоль­ венты R{\x, T+(Kj)). Пусть Вр— идеал вполне непрерывных операторов в L p, Se = {AT, ||AT||p<e} f] B v и p — произволь-

по АТ в равномерной, топологии;

4)оператор Я,-(АТ) может быть записан в виде

(Ej {АТ) /) (jc) = ф(х, X, |AT) j ф (х, X/1 АТ) / (х) dx,

84

Введем обозначение

р/ (Х) М) = |^-^.| + Ж->.

Из теоремы 3.1 вытекает Лемма 5.3. Для любого е > 0 можно найти такое б(е)^>0,

собственное значение оператора Тм (X).

В силу теоремы 2.3 справедливо равенство

им (х, k) — exp (ikx) + R (1, Тм (k2)) Тм (k2) exp.(ikx), (5.7)

поэтому из теоремы 5.3 и лемм 5.3—5.5 вытекает

Теорема 5.4. Если Xj — простое собственное значение дис­ кретного спектра оператора Я, то существует такое бу>0, что при всех (k, М)<={Л4, k\ 0<р3(&, М) < б3} функция им{х, k)

где

coy (k, М) = ру (k2, М) (1 - ру (k2, М))~> еу (k,M),

§ 4. Исследование функции coj (/г, М) и доказательство резонансного поведения функции им(х, &)

Так как р.Д62, М)->1, М-^-оо, k2-yXj, то можно было бы подумать, что уже из 5.7 вытекает резонансный характер функции им(х, k) при Л4->-оо к А2- ^ . Покажем, что такое заключение было бы преждевременным.

Лемма 5.6. Функция еД&, М), определенная равенством (5.9), удовлетворяет соотношению

|е3(&, М) |-»0 при р3- (k2, Л4)-> 0.

Доказательство. Из равенства

Т+ф==— цеи (Е +/С+ (Я,))ф = ф

следует, что функция

т] (х, Xj) = exp (Xt) (Е + К+ (X) ф

удовлетворяет условиям излучения и уравнению

exp (— Xt) г) (х, Xj) = G(t) т] (х, Х;),

поэтому т] (х, Х^) — ф (х, Xj). Следовательно,

ф{х, Xj) = (exp(— Xfl — G0(t))ф (x, Xj),

поэтому

|tj (k, M) |= j j exp (ikx) ф (л:, Xj \k2, M)dx |=

=|J eikx[ф (x, Xj |k2, M) — ф(x, Я,,-)] dx +

+[exp (— Xjt) — exp (— kH)\ j exp (ikx) ф (x, Xj) dx |<

< 1ф(x, Xj \k2, M) — ф(x, Xj)Hi + |exp(— Xjt) —

— exp( - kH) ЩФ(x, Xj) |k-* 0, pj (k\ M) -*- 0.

Лемма доказана.

8 6

Тем не менее справедлива Теорема 5.5. (О существовании резонансов в непрерыв­

Л'1->00

\k-—ЬА<о(М)

Доказательство. Справедливо равенство

Легко видеть, что в силу теоремы 5.4 первое_слагаемое в этом

равенстве есть величина о(1), второе— ]/7-о(1) и третье — /(1+о(1)). Поэтому из (4.2) и (2.2) следует равенство

87

1=0(1) + / / •О(1) + / (1 + о (1)),

т. е. I —1+ о(1), что и требовалось доказать.

З а м е ч а н и е . Обычно резонансы связываются с особенностями ана­ литического продолжения функции им (х, к) по переменной к. При наших предположениях об убывании потенциала, если даже и существует анали­ тическое продолжение функции им(х, к), то его особенности могут не иметь никакого отношения к резонансам (так называемые «ложные» полю­ сы в теории рассеяния).

§ 5. Особенности аналитического продолжения решения задачи рассеяния вблизи собственного значения оператора Н

как элемент пространства [Ь1-> Ьа2] и принадлежйт классу Ci>a при каждом X6 />,

2) как элемент [L\-+ L.I] оператор Тм {X) имеет аналити­ ческое продолжение из D0 в область

D+ = {X, ReA,>0, — а < 1 тЯ ,< 0},

которое вычисляется по формуле

Tt(X) = eH(E + K+(X))gM

и в область D~ = {X; ReA.>0, 0 <Im x<a}, которое вычисляет­ ся по формуле

Тм(Х) = ёН(Е + К-(Ь)Вм).

(операторы /С* {X) определены на стр. 117);

8 8

3) операторы Т*м(Я) £ Ci,a и

||(А.)|| о 2->0, Re Я -*— оо,

Lar+La

4) равномерно по Я на каждом компакте в DQ\JD+\J D~— справедлива оценка

\\Т( Х) - Тм(Х)\\г2 ,2-vO, М ->оо.

La'~*La

Пусть D= 'Dq[) D+U D~ — кусок накрывающей поверхно­ сти голоморфной функции ТМ(Х), в точках которой оператор Тм(Х) вычисляется по приведенным выше формулам. В даль­ нейшем будем рассматривать оператор ТМ(Х) как функцию точки на Д и опускать знаки (+ ) и (—) там, где безразлич­ но, какая именно точка поверхности Д накрывает данную точ­ ку Я.

До к а з а т е л ь с т в о . В нем нуждается только послед­ нее утверждение теоремы, так как первые три есть тривиаль­

1(Тм (X) - Т (Я))/Ца < С j e - a l ^ + a u - y l |{ ( g - g M) f) {у ) р dy dx <

Ho

'iy- \g(y,z,t)-^gM(y,z,t)\dz = 0

ММ\ J |g(y, г, t) — gM(y, z, t)\dz<

<2 J|ff(у, z,t)\dz<C">e-bW.

Всилу теоремы Лебега из (5.13) следует утверждение 4 на­ шей теоремы.

Предположим, что условия, теоремы 5.6 выполнены. Тогда

справедлива Лемма 5.7. Точки положительного дискретного спектра

оператора Н суть полюсы первого порядка оператора

{Е-Т{Х))-\

Доказательство . Пусть Я,- — точка положительного дискретного спектра оператора Н. Тогда уравнение

89