книги из ГПНТБ / Арсеньев А.А. Сингулярные потенциалы и резонансы
.pdfПерейдем к оценке функции ф^ (х, t). Как известно, функция фм (х, t) может быть найдена в виде потенциала двойного слоя
1
фм (X, t) = j |
dx j |
— |
G0(x, у, t — x) Ум(у, x)dSy, |
||||
|
0 |
|
Sj |
dn |
|
|
|
|
|
|
|
|
( 1. 22) |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
где плотность |
ум {у, |
т) |
есть решение интегрального уравне |
||||
ния 1 |
|
I |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
у, t — т) |
|
|
HF -i- [Х)И(х, |
t) + |
J dx j1 |
■G0 (х, |
Ум (У, т) dSy = |
|||
|
|
о |
|
дпи |
|
|
|
|
|
s3 |
|
|
|
||
|
|
|
|
= |
Фм(х, |
О- |
(1.23) |
Пусть B{S2, t) — банахово пространство измеримых функций от x e S 2 и те[0, t] с нормой
||ф(*> т)||а= sup |ф (х, 01 x&S. т6[0,(]
и пусть А — интегральный оператор в B(S2t):
t |
G0 (х, у, t— -г)JФ (г/, т)dSg. |
(Ар)(х, 0 = 2 1 dt ^ |
оs , L
При достаточно большом т норма оператора Ат удовлетво ряет неравенству
и единственное решение уравнения (1.23), принадлежащее B(S2, t), дается формулой
=F Ум (х, |
t) = £ |
( - 1)"' {Ат2ФМ) (х, t). |
(1.24) |
||
|
|
т=О |
|
|
|
Каковы бы ни были точки х£ S2, t > |
0 |
|
|||
1 im Фм (х, |
t) = |
lim Г\GM(x, у, |
t)<f(y)dy — y$(x, |
О] = |
|
М-+оо |
М-*оо LJ . |
|
|
J |
|
= j G (х, у, |
t) ф (у) dy — ф(‘) (х, t) = Ф (х, t), |
|
|||
причем для всех М и т ( [0, |
i] |
|
|
•* Выбор знака должен быть согласован с направлением, нормали, для даль нейших оценок он несуществен.
20
IФл1 (X, т) I < |
|j |
Gm (x , |
у, |
т)(f(y)dy\ + \cpff (x, t)| < |
|
||||||
<C(t,\|F<~> (x) \q) [2 + | |
(x) I .] ||«p(y) Ik: |
(1.25) |
|||||||||
Как известно, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
^+1-6 |
aU—i/i2 |
|
|
|
-j— G0{x,.y, |
t — x) |
< C ( t - 1) 2 |
'e |
t—x |
Xt У6 *^2> |
||||||
|
|||||||||||
dny |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a > 0 , |
6 > 0 . |
|
|
|
|||
Следовательно, интеграл |
|
|
|
|
|
|
|
||||
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Я1 |
d |
G0(x, |
y, |
t — t) q dSy d%< |
oo |
|
|||||
0 s. |
|
dn |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
при некотором q > |
1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Поэтому справедлива оценка |
|
|
|
|
|||||||
|Л(Ф — Фм)(х, |
|
t) |< ^J |
J |
|
| G0 (х, |
у, |
t — т) |
qd.S„dxsj |
lq x |
||
|
|
|
|
о |
s, |
|
9 |
|
|
у |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
(1.26) |
X ( j |
j |
|Ф(х, |
t ) - |
Фм(.х, |
0 р-dSxdT)'/p, |
||||||
|
о |
S, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
отсюда следует, |
|
что |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||Л(Ф-Фм)||в->0, |
М~> оо, |
|
|
|||||||
поэтому из формулы (1.24) следует, что |
|
|
|
||||||||
||р(х, |
t) — \iM{x, |
ОЦв-^-0, |
|
УИ-э-оо, |
|
||||||
где |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ ц(х, 9 = £ (— 1)т (Лт2Ф) (х, t).
m=0
Обращаясь к формуле (1.22), видим, что равномерно по x^DiczDi, т е (0, t) выполнено равенство
lim cp $ (*> 0 = |
<Р(2)(х, t), |
(1.27) |
М->оо |
|
|
где |
|
|
t |
|
|
фР)(х, t) = _^dx J [ — Go (^» |
У< t — x)j n(y,x)dSy. |
(1.28) |
0 s. |
|
|
21
Из формулы (1.28) следуют оценки
1ф<2>(л:, f)|<C 2(f, |
|
- |
— 1*1“ |
||р(г/, т)||в < |
р (грDx, грD2)) е |
8‘ |
|||
|
|
U|* |
|
|
CC^f. ptrpD^rpDJJKWWge |
8i |
||1Ч(0)|»»ФШ», |
||
IVx¥2)(x> t) I< |
clit, p(rp Dx, |
rpD2), II V<--] (x) \q, |
||
IIУм„ (У) lleo) exp ^---- 1x |2^1ф (у) И»• |
(1.29) |
|||
- Формулы (1.28) |
и (1.18) были получены нами при ус |
ловии, что функция ф(г/) — непрерывна. Пусть ср((/) — про извольная функция из L°°, а
|
|
N |
|
_ |
т(ц—х )г |
|
|
|
Фт(У) = |
2 |
j |
е |
4 ф (лс)dx. |
|
|
||
По каждой функции срт(у) с |
|
помощью формул |
(1.18) |
и |
||||
(1.28) МОЖНО |
построить |
функции фт (x, |
t) И фт* (х, |
t). |
||||
Легко видеть, что |
|
|
|
|
|
|
|
|
Пт фш{х, |
t) = |
lim f G(x, |
у, |
t)ym(y) dy = |
ф (х, |
t), |
|
|
т-¥оо |
|
т—>оо J |
|
|
|
|
|
|
Пт ф£* (х, t) = фб! (х, t),
т->оо
Пт ф,(п [х, t) = ф(2) (х, t),
т->оо
причем функции фР>(х, t) и ф<2)(х, t) удовлетворяют оценкам
(1.20), (1.21) и (1.29).
Так как
|Jg(*. У, f)4>(y)dy\ = \^G0(x, у, t)y(y)dy— jG {x,y,t)x
ф(У) X dy |< |ф<‘>(х, t) — J G0 (х, у, t) ф (у) dy |'+ 1ф(2>(х, t) |,
то из оценок (1.20), |
(1.21) и (1.29) |
следует |
|
|||
j ^ g (х, |
У, t) ф (у) dy |
< C ' ( U ^ " , W L |
е, II^W IU, |
|||
|
|
|
( 1 - е ) |
(*-!/>* |
|
|
Р(грA., |
г - |
— l*lL |
«41 |
1 |
||
rpDa)) уе |
81 |
+ j — [x^ ylN-2— |
\УмАУ)\Лу\ X |
|||
|
|
х ||ф((/)|и, |
|
|
(1.30) |
22
Пусть Di={x, \х\^АR}, где число R выбрано так, что
£><={*, |x|^i?}. При х<={х-, |х|^'4/?} оценка (1.30) следует из уже доказанной оценки (1) нашей теоремы, поэтому (1.30) верна при всех x^R n. Так как
f|g(*> У, t)\dy = |
sup |
1Г |
(jc, у, t)y{y)dy\, |
J |
iMU<i |
IJ |
I |
то из оценки (1.30) следует оценка (2) нашей теоремы. Оценка (3) доказывается совершенно аналогично, если
применить к области {х, \x\~^AR) оценки (1.20), |
(1.21) и |
|
(1.29), а область {х\ р(х, |Q)^.6, |
включить в объеди |
|
нение конечного числа шаров, расположенных на |
положи |
|
тельном расстоянии от множества О. • |
|
|
Теорема 1.1 доказана полностью. |
|
|
Следствие. Если выполнены |
условия A (a, R), |
то спра |
ведливы оценки: |
|
|
J|g(*, У, t)\dy<C{\ + |д;|Jv+cc)_i, |
|
|
У> Оф О/) d^|<C(l + 1*|ЛГ+“)-1М#)||«, |
\х\>2R. |
Отметим, что попутно нами доказана
Лемма 1.7. Пусть-функция ср(у) непрерывна и ограни чена, D — любое множество с гладкой границей, располо женное на положительном расстоянии от множества £2. Функция
ср (х, t) = | G (х, у, t) ср (у) dy
есть решение смешанной задачи |
|
|
|
|
|
|||
-5г = А(р — V (jc) ср, |
х 6 А |
* > 0, |
|
|||||
dt |
ср(дг, + |
0) = ср (х), |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
||||
ф (х, t) UerpD= j G (x, у, |
t) <p(у) dy. |
|
(1.31) |
|||||
Д о к а з а т е л ь с т в о . |
Из формул (1.18) |
и |
(1.22) |
следу |
||||
ет, что функции фб>(х; t) |
и cp<2)(x, t) |
при £>0 |
непрерывны по |
|||||
xeD 1, поэтому |
|
|
|
|
|
|
|
|
^ - |
а (1). |
|
_ V(xy<f(x, |
t), |
ч |
. |
. у,. , |
|
|
-1 Аф(1>= |
|||||||
х |
.== Аф(2>t |
|
t>0,. |
■ -X6 Dl |
|
|
||
Следовательно, |
функция. ф(^,Т)- = фУ)(д^ |
О+Ф^А. 0 |
удов |
|||||
летворяет уравнению |
‘ 5 |
- |
*- ‘ |
' |
|
|
|
|
■|2. = Дф-У(*)Ф, |
t> 0 |
, |
x £ D lt . |
(1.32) |
|
at |
|
|
|
|
Из формулы (1.18) следует, что |
|
|
|
||
lim(p(„v-, |
t)— lim ГфО (jc, <) + |
ф(2>(х, |
<)] = |
ф(х), |
x^Dt. |
f—>-|-0 |
t—>-|-0 |
|
|
|
(1.33) |
|
|
|
|
|
Так как D\ — произвольный шар, расположенный на поло жительном расстоянии от множества Q, то уравнение (1.32) и равенство (1.33) выполнены в каждой точке множества
А так как функция JG(t, |
у, t)q>(y)dy непрерывна по |
х е ,vDi при t>0, то задача (1.31) |
имеет единственное реше |
ние, и функция |
|
ф (х, t) = ф(» (х, t) + ф(2) (A', t) = j G(а, у, t) ф (у) dy
есть это решение. Лемма доказана.
Теорема 1.2. |
Функция G(x, |
у, |
t) |
при |
любых |
(>0 |
и |
||||
y^RN удовлетворяет соотношению |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
m es{A; x£Q, G(а , |
у, |
t)=£0} = |
0. |
|
|
|
||||
Доказательство. |
Ясно, |
что Q = Q ( + ) U ^ <_). где Q<+>= |
|||||||||
= {а, |
V (а) = + оо}, |
= {а; |
V (а) = — сю}. |
Из |
условий |
||||||
A (a, |
R) следует, что mes Q<_) = 0, |
поэтому |
достаточно |
рас |
|||||||
смотреть лишь случай а 6 Q(+). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Пусть |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
У(+) (а) = max(У (а), 0}, |
vffl (а) = гшп{И<+> (а), |
М}, |
|
||||||||
ШЧх, у, i) = |
G0(а, у, |
Q £ { e x p ( - 2 * J v f r W f ( A ( T ) - |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
о |
|
|
|
|
|
|
— та(1)) + * + |
{У—*)т)£гт)}, |
|
|
|
|
||||
|
5<+> (а, у, |
t) = Пт2й") (а, |
у, t). |
|
|
|
|||||
При каждом М е (0, оо) функция G ^ (*, |
У, |
t) |
удовлетворяет |
||||||||
интегральному уравнению |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Ш \ х , у , t) = G0(а, у, 0 - 2 |
|
|
|
|
I, t — т) X |
|
xVtf>(g)Gtf, (E,-y, т )# ] .
24
Отсюда следует, что |
|
|
|
||
2 j dt J G0 (*, |
Б, |
f — |
У, т)d l< G 0(x, |
у, |
0. |
о |
|
|
|
|
|
Следовательно, |
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
J G0(л:, |
— т ) ^ 5(Б, р, |
x ) d K - ^ - G 0{x, |
у, |
t). |
|
0 а(+) |
|
|
|
|
|
Переходя к пределу при М->~оо, |
получим |
|
|
||
t |
J |
G0(x, Б, t — x)G{l, у, т)dg=0. |
|
|
|
j dx |
|
|
|||
0 |
Q (+ ) |
|
|
|
|
Отсюда в силу неотрицательности подынтегральной функции следует, что
mes {0< т < г !; Бб&(+)> |
G(£, У, т)=й=0} = 0. |
[О.ПХЯдг |
|
(1-34)
Переходом к пределу по М легко доказать, что при любом те(0, t) справедливо равенство
G(+> (х, у, t) = j G<+>(х, Б, г1— т) G(+> (Б, у , x)dg, Q+
поэтому
|§<+>(*, г/, *)<** = J[
j ’ G(+)(x, б, т) dxjG<+)(Б, г/, t — x)dt
а(+)
(1.35)
Из равенства (1.34) |
следует, |
что при любом |
можно |
найти такое т^(0, t), |
что выполнено .равенство |
|
|
Г |
GH->(*, |
x)dx = 0, |
|
а(+)
поэтому из равенства (1.35) следует, что при любом t^>0:
\ G<+) (х, у, t) dx — 0. |
(1.36) |
|
о<+) |
|
|
Так как G^>(x; у, t) > 0 , |
то |
|
mes(х:, х £&<+>, |
G<+)(x, у, £)=£0}=0. |
(Г.37) |
25
Справедливо неравенство
О < G (х, у, t) = G0(л:, у, t) g {ф(+> (x, у, t, x (т)) cp(->0, у, t, *(т))}<
< [G0 (х, у, t) g {ср(-> (х, у, t, х (т))2}1‘/2 [G0 (х, у, t)g x
X {ср(+) О, у, t, х (т))2}]1/2. |
(1.38) |
В силу леммы (1.4) справедлива оценка
!{ф<->0, у, |
t, х {%))*} <C \t, ||1/<->0)||9)< о о , |
|||
поэтому из (1.37) и (1.38) следует, что |
||||
■mes O', х 6 Q<+), |
G (x, |
у, t) ф 0} = 0. |
||
Теорема доказана. |
|
|
при каком-нибудь ре[1, оо] |
|
Следствие. Если ф(г/)еЕ? |
||||
н |
|
|
|
|
ф(х, |
t) = |
^G(x, |
у, |
t) ф (у) dy, |
то |
|
|
|
|
mes О ; |
|
|ф О , |
^)|=^=0} = 0 . |
§ 4. Операторы gM и g
Этот параграф посвящен изучению интегральных опера торов
(ёмf) О) = j gMО, у, t) f (у) dy, (gf) О) = J g (x, y, t) f (y) dy,
где функции gM(x, у, t) и g(x, у, t) определены формулой (1.12). Однако для нас существенно лишь то, что эти функ ции симметричны по х, у, удовлетворяют оценкам теоремы 1.1 и при почти всех х, у^ -Rn
UmgM(x, у, t) = g (х, у, t).
М—>00
Теорема 1.3. Операторы gM сходятся при М-э-оо к опе ратору g в равномерной операторной топологии простран ства
/ [LP-+L4, 1 < р < о о , 1<<7<оо].
Д о к а з а т е л ь с т в о основано на двух леммах.
Лемма 1.8. Операторы gM сходятся к оператору g в рав номерной операторной топологии пространства [L.P-+-D,
1 <Р<; оо].
Д о ка за те ль ств о леммы 1.8. Пусть ф(х)6 LP. |
Тогда |
||||||||
II (£м ф) (*) — (Дф) (х) Hi < |
J [ f 18м (х, |
У, |
t)— g {х, |
у, 0 |Ф(у) |X |
|||||
X dp] dx < |Ф(У) ||р( j [ j |gM (x, 'у, t)— g(x, у, |
t) |dx]p' dp)l/p’, |
||||||||
|
|
P' = PI(P— !)• |
|
|
(1-39) |
||||
Из оценки (1) теоремы 1.1 |
вытекает неравенство |
|
|||||||
j IgM (x, у, |
t)— g(x, у, |
/) |dx < |
11 gM(x, y, |
01 + |
|
||||
-+-I^(JC, y, |
t) |dx<2C (0 |
IIV^COJ,) jGoC*, |
y, i)dy = |
||||||
Следовательно, |
= 2C(t, |
||V<->(x)||9). |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 С (< ,-| + > (,)| ,) |
j |
+ |
(x ' |
»• |
a ■ ( ) | , f c < 1 ' |
||||
и из неравенства (1.39) вытекает, что |
|
|
|
||||||
Ife* Ф) (X) - (дФ) (х) |х < |
2UP с (0 |
I У(~) (х) J)'/p|ф (х) |р X |
(Т .40) |
||||||
X (j| gM(x, |
у, |
t)— g(x, |
у, |
t)\dxdy)lJP'. |
|
||||
Докажем, что |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lim Г | (а:, |
у, |
t)— g{x, |
у, |
t)\dxdy = 0. |
(1.41) |
М—>оо J
Всамом деле, для любых фиксированных х, y^.Rn в силу леммы 1.6
lim {gM (х, у, t)— g{x, |
у, |
0) = 0. |
00 |
|
|
поэтому в силу оценки (1) теоремы |
1.1 и теоремы Лебега |
|
при любом фиксированном x^ R n |
|
|
lim Г|Дм(*, У, t)—g(x, |
у, |
t)\dy = О, |
Ai—^oo о |
|
|
а в силу оценки |
(2) справедливо равенство (1.41). Из (1.39) |
и (1.40) следует |
утверждение леммы. |
Лемма 1.9. Операторы gM сходятся к оператору g в рав
номерной операторной топологии пространства-* |
|
||
Li, 1 < р < о о , |
1 < р < о о , |
1/р + |
1/<7 < 1.]. |
Доказательство леммы 1.9. |
|
|
|
II(gMФ) (х) — (ДФ) (х) 0, <||ф(х)||р( j [ j |
|Дм(х, |
у, t) — |
|
- g ( x , у, t) Y d y f p‘ dx |
< 1ф (x) |p (2C (t, |!/(-> (x) |?УIp x |
27
х ( Я I 'gM ^х’ |
|
|
у>l) I dy]qlP' с1х)1/ч< |
|
< с '||фW|lp( j |£м(*, |
У, |
t) — g(x, |
у, t)\dxdyyq^O, |
М -> оо. |
Лемма 1.9 доказана. |
|
вытекает |
утверждение: если (gM— |
|
Из теоремы М. Рисса |
||||
— <?)->-О, при М-+оо |
в |
равномерной операторной |
топологии |
|
пространства |
и |
|
то (gM— g) ->0 в равно |
мерной операторной топологии пространства [Lp<T) -vL®(T>], где
1/р(т) = |
T/pi-f (1 — т)/р2; l/q(T) = |
T/q1 + |
( l — T)/qz, |
0 < т < 1 . |
||||||||
Теорема 1.3 |
вытекает из лемм |
1.8 и |
1.9 |
на основе этого |
||||||||
утверждения. |
Операторы gM и g вполне |
непрерывны в |
||||||||||
Теорема 1.4. |
||||||||||||
пространстве (Lp-^L®, |
1<р^оо, |
1^р<оо] |
и принадлежат |
|||||||||
[Lp-+Li, 1 ^psgtx), |
l^ p ^ oo]. |
|
|
|
|
|
как опера |
|||||
Лемма 1.10. |
Оператор g вполне непрерывен |
|||||||||||
тор [L^-vL®, 1^р<оо]. |
леммы |
1.10. |
Рассмотрим |
множество. |
||||||||
Д о к а з а т е л ь с т в о |
||||||||||||
{/, /=<£Гф, |
N L < .1 } |
и докажем, |
что оно компактно в метри |
|||||||||
ке L®. |
Воспользуемся |
признаком |
компактности |
М. |
Рисса. |
|||||||
Так как при ||ф|1оо^1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
1(£ф(*)1< jl£(*. |
У, f)\dy, |
|
|
(1.42) |
|||||
то в силу |
оценки |
(2) |
теоремы |
|
1.1 |
множество {/, |
f=gq>, |
|||||
||ф||„<.1} ограничено равномерно по ср в метрике L®, в силу |
||||||||||||
неравенства (1.42) равномерно по <ре{ср; ||ср|1оо<^.1} |
|
|||||||||||
Пт |
Г |
(£Ф) (*)|®сД< Нт |
|
[ J |g(*> У, |
t)\ dyjqdx |
0, |
||||||
|
|
|
|
|
A-+OQ\хJ\^А |
|
|
|
|
|
|
Л —>-оо.
Нам осталось доказать, что равномерно по ф выполнено ра венство
Пт |(£ф) (х + Щ— (&ф) (х) |9 ->.0, |
|h\-». 0, |
|||
|Л1-»0 |
|
|
|
|
а это вытекает из неравенства |
|
|
|
|
К е т ) (•* + *) — ( £ ф ) ( * ) 1 ? < | [ y g ( x + |
h, |
у, |
0 — |
|
— ё ( х , у, 0 1 ф Ы 1^ |
] ‘7^ < С | | ф 1|оОJ J | g ( * + |
A, |
у, 0 ' |
|
— g(x, |
У, t)\dxdy->-0, |/г| —>•0. |
|
|
|
Лемма 1.10 доказана. |
|
|
|
|
28
Лемма 1.10. Оператор g вполне непрерывен как опера тор [Lp-^-L1, 1<р<;°о].
Д о к а з а т е л ь с т в о . Пусть cpeL?. Тогда
1 е т Ь < Щ | * (* . У’ 01 \<t(y)\dy]dx = J |ф(s/)I X
X [ 11g (X, у, t) |d*] dy < II ф (jc) |p ( J [ j |g (X, y, t) |Л/]р' d*)1/p'.
Следовательно, множество {f; f=g(p, ИфИр<^1} ограничено в L1 равномерно по ср. Оценим интегралы
1) j I С?ф) (*)|d*‘< |
|
|
0 IIФ(у) I dyj dx < |
|||||||
|
|
|
|
\А>А |
|
|
|
|
|
|
<||Ф1(Я |
J |
|g(x, г/, 0 1 ^ ]Р'Ф )1/Р'->0 . |
|
|||||||
|
|
' |*|>Л |
|
|
|
|
|
(1.43) |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2) J |(Яф) (х + Л) — (£ф) (х) |Л < 11Ф (у) |[ |g(х + h, у, t)— |
||||||||||
— g(x, у, |
f)|dxjd0 < № l „ ( J[ J|g(jc + |
/i, |
у, t) — |
|||||||
~g(x, |
y, |
t)\dxY dy}4"’ <C\<t%^\g(x + h, y, |
t) — |
|||||||
|
—g{x,'y,t)\dxdyjlp'-+Q, |
]/zj -»0. |
(1.44) |
|||||||
Из оценок |
(1.43) |
и |
(1.44) вытекает |
вполне |
непрерывность |
|||||
оператора g в метрике [Lp~y-L\ 1 <р<;оо]. |
|
|
|
|||||||
Из лемм 1.43 и 1.44 вытекает |[3, стр. 65]. |
|
|
|
|||||||
Следствие 1. |
Оператор g |
вполне непрерывен как опера |
||||||||
тор |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
• [ L p - * L i , |
1< р < о о , |
1< ^ < о о , |
р > р ] . |
|
||||||
Из теоремы Шаудера следует, что сопряженный |
оператор |
|||||||||
g* вполне непрерывен как оператор |
|
|
|
|
||||||
[L4'-+-Lp', |
1 < р < о о , |
1 < р < о о , |
|
p>q, |
|
|||||
|
|
У' = |
<7/(<7— 1). |
Р' = РИР — 1)1- |
|
|
||||
Так как в силу симметрии функции g(x, у, t) |
по х и у спра |
|||||||||
ведливо равенство |
|
|
|
|
|
|
|
|||
{/; |
/ = £Ф> |
1|ф||Р< 1 } = |
{/; |
f = g*Ф. |
11ф|Р<1}> |
|||||
то отсюда |
и следует утверждение теоремы. |
|
(Чтобы полу |
чить случай p— q, нужно еще раз проинтерполировать свой
ство полной непрерывности.) |
Включение g е [Ьр-+Ьч, |
1<^р^оо, l-^psgrioo] тривиально |
вытекает из оценок теоре |
мы 1.1. |
|
29