книги из ГПНТБ / Арсеньев А.А. Сингулярные потенциалы и резонансы

\Н^(гУ^ + ^ ) \ < С Г 1/2е-°'5ге,

r > R

2

и оценкой (2.30),

получим

е |j rNI2[#(jy_ i (rV% + ie) — iHl%(r ]A

-f ie)] a (r, x) dr |<

Я

2

2

oo

. N _ 3_ _

JV— 1

<Ce J е_0'5г8г 2

2

2 dr = eO(log l/e)->-0,

e->--|-0;

R

0 (e2) |J rN>2 H%(r П

+ is) a (r,

x) dr |<

0 (e2) f e-0’5' 8dr

= o(e)->0;

+ 0;

l-W

N

0 (e)

j"#jy (r ]/X +

ie)о (r

2

) r 2 dr <

l / e

1—ЛГ

W—1

oo

I—AT

, —0.58Г 0 (r

2

\

. < 0 (e)[

f e- 0’5Ero(r

j

2 )r

2

dr+

1—N

dr

я

1—ЛГ

lVT

.

2

= 0 (V^i) +

шах

— — о (1) —v0,

e-»--j-0.

Ye

r~2~

Из оценок этих следует, что равномерно по xeS

выполнено

равенство

е/2(е, х)-> 0,

е -> 0,

поэтому из формулы (2.28)

и оценки

(2.29) вытекает равен­

ство

lim ||/ (е,

х) 11^00(5) =

0.

“8-Н-О

ограниченное измеримое множество S,

|Ф (х, k) - Т+ (X) {е*У +

Ф) (х, k) Ц 5) < |1(Г (А, + ie) -

— Т+ (X)) (eiky+ ф) |L?(S) +

(mesS)*/*{II К(Х +

ie) ф |LM(S) +

+ ||ф||«}1 1 — еге'|->0,

е-^ +

0,

поэтому для почти всех х 6 S

и(х, к) — ё кх+ ср (х, k)

являлась решением задачи (2.18) — (2.20),

необходимо

и до­

статочно, чтобы

функция

ф ( х , k) являлась

решением

урав­

нения

Ф (х,

к, Я) =

Г+ (X) ( е1ку + ф) (х,

к,

Я)

(2.33)

§ 1. Операторы

Т(Х)

и Т+(Х)

Напомним определение операторов Т(X) и 7Ч+)(Я):

T(X) = — eU(E + K(X))g,

X^2nim/t + 4,

ri>0,

Т+ (Я) = - еи (Е + К+ (Я)) g,

X6 [0,

оо].

(3.1).

Пусть -

Тм (Я) = — ext(E-\-K(X))gM,

Хф2лш/{ + r\,

Т1 > 0!,..

Tt(X) = - e » ( E + K+(X))gM,

Я е [0,

с»]..

(3.2)!

{e-xt _ о0(0)-' = в" (Е + К (Я)).,

£ [0, 1],г

lim (e-(M-f*)<— G0(О) - 1 = ем(Е + К+ (Я)),

е -« 6 [0, 1].

е-Н-0

4*

51

А = 2mm.lt 4- г],

р > О,

т = 0,

+ 1 . . .

;

2) оператор Тм (А) вполне непрерывен как оператор в

[LP-+U,

К р < о о ,

l < q < o o ] )

3)

если D — любое компактное множество, лежащее на

положительном расстоянии от прямых

А = 2лтгД+р

, р^О,

т= 0,

±1,

то оператор

7м(А)->-Г(А) в равномерной

опера­

торной топологии пространства [Lv-^Lv,

К р -^ оо,

при М-у-оо;

2м4)

при

А £[0, оо)

оператор Тм(А) 6 [Lp->• L?

1 < р < о о *

---------<£q <

оо] и вполне непрерывен как оператор

N — 1

ГLP^Li,

1 < р < о о ,

— 2N

< р < о о

;

N г-

1

5) оператор Т%(А)

непрерывен по А

при А £ [0,

оо)

в рав­

номерной операторной

топологии пространства

[LP-+L4,

1 < р < оо ,

ОД/

;

N_ l - < ? < o o

6)

равномерно

по

А£[а,

ft] с: [0,

оо]

операторы

j Lp^~L4,

1 < р < о о ,

< 9< 00j ;

7) при А £ (0,

оо) в равномерной

операторной топологии

пространства

^LP-+L4,

1 < р < о о ,

'

< ? < ° ° j

Пусть Й={х, |V.(х) |= оо},

число R

выбрано

так,

что

Qc:{x, |x|<tf}, fii —

наибольшее открытое

связанное мно­

жество, которое содержится в множестве

и

содержит

множество {х, \х\>2R}, Q2= ^iv\ (Q U Hi).

удовлетворяет

Теорема 3.2. Если функция

ср(х, iA)eL°°

условиям излучения (3.3),

при

|х|-»-оо имеет асимптотику

1—N

и —N

Ф(х,

А) = exp (t |х |VJ.) |х | 2 (5 (/г) +

О ( |х | 2

),

(3.3)

где п =

е > 0,

а

Р(ц)

непрерывна,

и

при

некотором

1*1

О удовлетворяет уравнению

е~м'<р(х, Я) =

j" G (х, у, (')ф(г/,

A) dy,

(3.4)

то ср(х, А.) = 0 при xeQi.

Так как ф(х,

А)

удовлетворяет

Д о к а з а т е л ь с т в о .

равенству

(3.4), то

(е- м _ О 0 (*))ф = _ £ ф .

(3.5)

ф + (е~м— е—(?.+ie)f) g(X+ie)((£ _j_ (А -|- £е)) ф =

= - ( £ + * (А-Мв))£ф

(3.6)

равенству

ф =

— еи (Е + К+ (А))£ф.

(3.7)

Так как К+(к)* = К~Щ и ядро g(x, у,

t)

действительно1, то

из (3.8) следует:

ф* =

_

<.«(£ + * - (А,))

(3.8)

Умножив обе части (3.8)

на (ё'ф) (л:),

а

(3.7)

на (g3 P *)(*),

__N

N

W Ъ\Х— у\

— ]

(CT*) (У) dxdy—

\Х — УI-2E-m

= {2n)~N

J dn |J

e x p

i ((n—, у) V К) ( £ ф(у) dy

= (2it)—N .

(3.9)

=

I I P W dn.

ti/~x

|nl=l

cp(.v, А) = О ( |л: 1 2

),

|л: | ->- оо.

#Ф = Аф,

(3.10)

Яф = А£ф

(3.11)

имеет trii, l^Z m .i<oo

линейно-независимых решений из L2, все

эти решения принадлежат L°° и равны нулю вне множества

fi2 (отсюда следует,

что если

mesQ2= 0,

то

множество

{Aj+>} пусто),

а для всех

А£(0, оо)\{А^}

оператор .

(Е -

Т+ (А))-1 €

[ li+L*,

<

q<

оо];

(3.12)

i

2)

необходимым и достаточным условием того,

что функ­

ция ф(х, Ki)^L2 и удовлетворяет уравнению

(3.11),

является

выполнение равенства

Т+(А,)ф =

ф;

'

(3.13)

3)

число точек

множества {А*}, лежащих

в интервале

(0 А)

(каждая точка А*+) считается столько раз,

сколько ли­

N (к) — V

_N

_N

1< ----------2^

----- — Я2 + 0(к2), Я->оо.

,(+)<,

(4д)^2г ( т

+ 1)

(3.14)

До ка з а т е ль с т в о . .

Фиксируем

произвольное

I (£Ф) (х ,

Я) |= О( |я \~ N ~ a),

|V, &Ч>) (*,

X) I = О ( I х | -"-“ ),

поэтому из теоремы 6.6 и равенства (3.15)

следует, что функ­

ция ф(х,

к) удовлетворяет

условиям излучения и оценке

(3.3); умножив обе части равенства .(3.15)

на {е~и — G0(t))>-

получим,

что функция ф(х, к)

удовлетворяет уравнению (3.4),

ф(х, X) при всех t> 0 удовлетворяет уравнению

е~и ф = G (t) i|v

(е~и — G0(^))ij) = — £ф.

.(3.16)

совпадающие,

но каждому

соответствует только одна функ­

ция ф(х, Л-+)), причем система функций {ф (х,

ортонор-

мирована. Так как при всех t^>0 выполнено неравенство

ф(х, Х() е~%? =

j G (х, у, t) ф(у, Х{) dy,

то в силу неравенства Бесселя

£

ф2(х, Xt)

J G2(х,

у,

t) dy.

(3.17)

Ь;>0

Так как ф(х,

?^)=0, xi£ Q 2,

то из (3.17)

следует,

что

P—1UdN(X) <

j

dx j G2(x,

y,

t) dy.

(3.18)

Но

G2(x,

y, t)

= Go(x,

y,

t ) g { cp(x,

y,

t, x ( t ) ) } 2

<

<Co(x, у,

0 [1 + <э {ф(_) (x> У>

^W)2- 1} ^

= G0(x, y, 011+o(l)],.

поэтому из (3.18) следует оценка

? e~2UdN{a) <

---- 1 + o(J^— mesQ2,

ft

(4n-2t)N/~

из которой вытекает формула (3.14).

§ 3. Оператор (Е—Т(X) )

1

Так как функция Т(Х)

периодична по ‘X с периодом 2nijt,

нам достаточно рассмотреть

оператор

(Е—Т(Х))~1 в полосе

функция X со значениями в [Lp-*~Lp,

1</?<°°],

голоморфен

по X для всех l e {*,;

C <Im ^ < 2 n/t, А ^ [0,

оо]}

за исключе-

нием конечного числа полюсов

>},

расположенных^на от­

рицательной действительной оси.

В каждой точке Xt урав­

нение

Т+(Х|_))ф = ф

(3.19)

имеет конечное число

нетривиальных

линейно-независимых

решений из L р, причем функция ф(х,

X i~)

в том и только в

том случае удовлетворяет уравнению (3.19),

если она удовле­

творяет уравнению

Дф = А;ф.

(3.20)

рому L>\ 1 < р < оо , принадлежит L—L'flT-00.

Д о к а з а т е л ь с т в о .

В силу теоремы оператор Т(А)

вполне непрерывен

и

голоморфен по X как элемент

[Lp- vLp, 1 <р< оо]. Докажем, что

ЦТ (Я)||р_»р->-0,

ReA->-— оо.

В самом деле,

IТ (X) \р^р<

|

|(1

+ |К (A)|U,)ШР-+Р-

По теореме (6.5) норма

||К(X) |р_»р при ReA^—е<0 огра­

ратор (Е—Т(Х))~ 1 голоморфен

по X всюду за исключением

некоторого счетного множества

точек

для которых

уравнение

(3.21)

Т(А|_))ф = ф

ImA= 2nm/t, ReA^O. Из равенства

(3.21) и теоремы 3.1 сле­

дует, что каждое решение уравнения

(3.21) принадлежит

L= Llf\Lc°, поэтому, умножив обе части равенства

(3.21) на

оператор (е~Л*— G0(t)), получим,

что

каждая

функция

e-t-f’t ф(х, X-4 ) = j G(х, у, /)ф(г/, ХГ(

}) dy. (3.22)

В силу самосопряженности оператора G(t) отсюда

следует, что

_

1 = 0, поэтому {A,;}ci( — оо,

0). Из теоремы 2.1. еле-

Ime

дует,

что каждая функция ф(х, Af-))

удовлетворяет уравнению

Если

функция ф(х, Ai—))

удовлетворяет уравнению

(3.20) , то она удовлетворяет и уравнению

(3.22),

поэтому

(е_ V — G0(t)) ф = — £ф,

(3.23)

применив

к

обеим частям

равенства

(3.23)

оператор

{e~XJ— G0(t))~l,

получим, что функция ф(х,

А|-)) удовлетворя­

ет уравнению (3.19).

В силу теоремы 2.3 функция и{х,

к) = ё кх + cp (х,

k) в том

и только в

том случае есть решение задачи рассеяния, если

2/V

и

удовлетворяет

уравне­

функция cp (х, к) £ L\ —— — < q < оо

нию (2.33).

Так

как в силу теоремы

3.1 Т+ (к2) е1кУ€ U,q 6

€

2N

оо , то из теоремы 3.4 следует

N — 1

Пусть потенциал

V(x)^A(a,R),

а число

Теорема 3.6.

А.=62е (0 , о о ). Тогда могут представиться два случая:

1) если

^ 6 {^1+,}> где {^i+)} — некоторое счетное множе­

фА1 (X, к) =

Тм(к2) (е»‘У+

фл,) (X, к).

(2.33*)

Доказательство.

Если

к2 = %£ (0,

°о)\{А,[+)}, то

единственное решение уравнения (2.33)

дается формулой

.

Фм (х, k) = (Е— Tt (к2))-1T t (к2) ё*>.

В силу теоремы (3.1)

II (Тм(к2) — 74+) (&2)) eiky|р-> 0,

ЛГ-»оо, - Ж

- < р < оо,

II Тм(к2) — Т+ (k2) \р-*р->• 0,

Л4-*оо.

Поэтому .

\ \ { E - T { k ^ - ( E - T t m ) - % ^ ^ 0 ,

М ^ оо ,

откуда и следует доказываемое утверждение.

§ 5. О гладкости решения задачи рассеяния

Если

|V(хо) |<ooj то поведение решения уравнения (2.1 )

в окрестности точки Хо полностью

определяется гладкостью

е~мcp (х, X) = ^G(x, у,

t)y{y, X)dy.

(3.24)

Положим

х(*) = ПУ(*)ф(*. Ь)1.

x t R N\Q

1 о,

хб П.

Тогда н(x)<=Ll(RN).

при всех

Д о к а з а т е л ь с т в о . Так как функция ф ( х , X)

t>0

удовлетворяет уравнению (3.24) (это следует из теоремы

2.1 ), то справедливы неравенства

о—WI

ОФИфЦоо,

|ф(х, X)|<jG(x, у,

t

I ф (->с, Х)| < Ц 1 — е“ м)_ 1 11ф||оо j-dx J-G (х, у, x)dy, (3.25)

| |ф (х, X) |Vm ( х )

|dx <

X(1 — e-W)~‘ |фЦ» х

t

x) |VM( x ) |dxdy.

X j dr jG(x, у,

,

о

Пусть

V+ (x) = шах {V (x), 0}

V~ (x) =

— min {V (x),

0},

Vm { x) = min{V+ (x), M},

Vm (x)

= min{V- (x),

M} .

Ясно, что

Vm ( x ) =

Vm ( x ) — Vm ( x ) , .

I Vm (x ) I = Vm (x ) + Vm (x ).

Несколько отступая от обозначений гл. 1, положим

GM(х, у, t) = G0(х, у, t) х

X ^{фм(х, У, t; х(т))ф(-)(х, у, t; х(т))}.

Справедливо неравенство

/

у, x)dxdy <

t

X ..

0 < j dx J |Vm(х) JG(х,

j dr J |Ум(х)|