книги из ГПНТБ / Арсеньев А.А. Сингулярные потенциалы и резонансы

ратора /?(р, ^(Яу)).

Из теоремы 5.6 и лемм 5.7—5.8 вытекает

значение

Теорема 5.7.

Пусть

Яу— простое

собственное

дискретного 'спектра

оператора h.

Существуют

такие

числа

ау> 0, 5у> 0, М; < о о ,

что

как

только

то в круге

(р; |1 — р К а у}

при любом

фиксированном Я(Е{Я;|Я— Яу-|<

<Cbj} и М < оо существует точно один

полюс первого порядка

(Я, М) оператора R (р, Т%(Я)) и

нет других особых

точек

этого оператора.

Функции р* (Я, М)

голоморфны

по

Я

при

фиксированном М в

окрестности {Я; |Я — Яу-1 <С bt)

и

удовлет­

воряют условию

З а м е ч а н и е .

Так как каждая собственная функция оператора Т^(Я )

из LP

принадлежит

L^, то при Я =

Я2> 0 введенные в теореме 5.7 функции

РуНЯ,

М) совпадают с введенными

в теореме 5.4 функциями [if {ft2, М).

4 г

> б > 0

|Я — Яу|<6у

M > M j .

(5.15)

дХ

Доказательство .

Справедливо разложение

R(1, т± (Я)) =

(1 -

pf (Я))-1 E j

(Я) + Sy (Я),

(5.16)

Я =

М = о о .

(5,17)

д'К

Отсюда в силу соображений

непрерывности

вытекает

(5.15).

Следствие. Уравнение

Ix = ]xf(X,M)

(5.18)

Теорема 5.8. Числа bjt Mf в теореме 5.7

можно выбрать

так, что в круге |А—

у оператора

7?(1,7 м 04) есть

точно по одному

полюсу Xf (M)^Xf (М, 1),

причем

Im Xf (М) < 0, Im Х~ (М) >

0

(5.19)

и

lim Xf (М) = Х,.

(5.20)

М-*оо

Неравенства

(5.19)

следуют из того факта, что в D0 опе­

ратор 7?(1, Тм^Ц)

особых точек не имеет.

Если Xj — не простое собственное значение оператора Я,

то абсолютно аналогичные рассуждения [8]

показывают, что

Из теорем 5.4 и 5.7 вытекает

bf

и

М >

функция

Лемма

5.10.

При

|Я — Яу j <

им (х, п, |/Л. )

представима в виде

им (х, п,

УХ ) =

exp ( ± ’ t (/г, х) 1/Я ) +

+

ФГ

Г М) taf (/г, / Г , М)

-I- Sf (Л., Л4) (х),

(5.21)

где

o f (п,

К Г, М)

=

nf (Г М) (1 - | if

(Я, М ))-‘ ef (n, X, М)

функция ef {п,Х,М)

(определенная формулой (5.9))

аналитич-

на по Я,

при /И->оо имеет предел £*(«, Я), причем е£(/г, Яу) =

= 0, a Sf (X,

М) и ф* (х,

Я, М) аналитичны по

Я и

непрерыв­

ны по М при М ->оо как

элементы L%@S.

Разлагая

функцию и% (х, п, УХ)

в

окрестности полюса

XJ (М), мы в силу теоремы 5.5 и формулы (5.21) получим

Лемму

5.11.

При

|Я — Яу |< 6;-

и

М > Mt

функция

им(х,п, 1/Я) представима в виде

им(х, п, 1/Я ) =

exp (± i(n, х) УХ ) +

+ W (х,

Xf (М), М) ©f (п, X, М) +

Sf (Я, М) (х),

(5.22)

где

со* (п, X, М) = IX— Яf (М ))-1af (п, М), af (п, М) =

, ±

\ —I I

= ef (п, Xf (М), М)

'X =Xf(M),M

Функция

ф* в силу теоремы 5.4 удовлетворяет

равенству

Нт[|Ф±(х, Я± (М), М) — ф,- (х,'Яу))[|

= 0,

(5.23)

М—>оо

'

'

а для того, чтобы

точка Я =

Хр (М)

была бы

полюсом , функ­

ции им,

необходимо и достаточно, чтобы

*

ef (/г>Xf (М), М)Ф0.

(5.24)

Докажем утверждение, более сильное, чем это. Положим

7 f (о, М) = {2n)~N

j\

|Sf {k, M) fdk,

k ^ n V X.

\P—[Xj\<G

Теорема 5.9. Если o(A4)->0, M~>oo,

но 0(Л4, t)/o

то

Um7f (o(M), M)= 1.

(5.25)

M—*OQ

робно, так как равенство

(5.25)

для нас является фундамен­

тальным.

Воспользуемся равенством

1

=

(2n)~N

J

|(kфм, Ay) 12dk +

Ifc*—Лу1<а1М|

+ (2п)~»

J

\$M(k, X,)\*dk.

(5.26)

Ik-—Ху|>о(ЛТ)

Из формулы (5.22) следует, что если о достаточно мало, а М

велико, то

фм (ft, Ay)

= j

[exp (i (n, x) ]/X) +

Sf (X, M (x)] ф(x, Ay)

dx +

+

co)f

(n,

A, M )

j фу(x, Аф (M ), M) ф(x, Ay) dx =

= Py'(ft) +

a>(/z,

A,M)(1 +o(l)),

|A2 — A.|<0.

J

Следовательно,

(5.27)

(2n)~w

j

|фЛ1(ft,

Ay) |2 dk =

Ik2—^,y| <o(M)

= (2я )-"

j

|py(ft)2|dft +

lfc?—

+

( 2

я ) ~ " ( 1 + o ( l ) )

j

|©у (Ая, ,УИ)|2 dft

+

|fc2—Xy|<C7

+ (2n)~N2Re

j

(3y (ft) ©у (rt, A, +1) dk (1 + o(l)).

|k2—Xy|«r

Определенная равенством

(5.27)

функция Py(k, М)

непрерыв­

на и равномерно по М ограничена на интервале

\k2—Aj|<n,

поэтому

j

|Ру (ft) |2dft =

0(a),

(5.28)

к|2—ХуК о

|

|

Py coy dk |= [/7y

0 (<JI/a).

Ik2—Xy|<C

Из (5.26),

(5.28)

и теоремы 5.2- получаем:

1 =

О (а) +

V T;

О(о'Ь) + 1(1+ о(1)) + О ((0/а)2),

7 А. А. Арсеньев

93

ратора R( 1,

Тм(Х)), и поэтому,

вообще говоря, они

могли бы

зависеть от

вспомогательного

параметра t. Однако

в силу

— Дфf + Vm 4>f = Xf (M) (pf

(5.29)

и при |х|-»-оо имеет асимптотику

фТ (х, Xf (М), М) =

I

г --------- \

i=*L

o{l)].

= ехр(± i\ Xf (УИ) |х|)|х|

2- [h{x/\x\) +

Доказательство. Функция фf удовлетворяет уравне­

нию

Tf(Xf(M))cpf

= <pf.

(5.30)

При X £ D0 справедливо равенство

(er-u_ G0 (/)) Тм(X) =

GM(0 - G 0 (t).

(5.31)

Так как оператор

(егм— G0 (/)) ограничен в Ь°а, то равенство

(5.31) справедливо в D, поэтому из (5.30) следует,

что

exp (— Xf (М) t) фг = GM(t) Фf .

(5.32)

Далее, дифференцируя 5.32 по t,

получаем уравнение (5.29).

Асимптотика (5.29) следует из (5.30).

Следствие 3

[9]. Числа Xf (М)

суть полюсы

аналитиче­

ского продолжения матрицы рассеяния 5 (Я).

§ 6. Оценки мнимой и действительной части полюса

Xf (М)

Теорема 5.10.

Пусть 0(М, £)=i|G(tf)—Gm (£)H2,

t — про­

\Xj — Xf (М)\<а{М).

(5.33)

' arctg! б,-+ 1 (М)

- arctg бу - ° {М)

<

П {М)

Г; [М)

< 2arctg

П(М) < 2 arctg 2,

(М)|<

2/М

[1

Г (IV/2) X

d(М)

N— 2

l—е

X (

■) ! jexp( —

) '

Покажем,

что таким

свойством

обладают значения

Х,рез = Re Я* (/И)

(A.f (М) —

введенные

в теореме 5.8 числа),

2 Я

Я

2 Я

. Я

X j

скрх ^dQx j

ckfy§сЮуР[ (cos 0Л.) sin вхР, (cos 0у) sin QuGM(r, <рА., 0А;

0

0

0

0

г', сру, 6у)/'2;

Р ,— полином Лежандра;

(GlM(t) [) (г) = ^GM(r, /•', t)f(r’)dr'.

(5.36)

о

При 7И<оо

определим оператор — НМ1

как

инфинитези­

мальный оператор полугруппы GmH), оператор НМ1

самосопря­

жен в L2([0, оо),

r2dr).

Как и выше,

мы могли бы свести задачу рассеяния для

оператора Н1 к интегральному уравнению

с несингулярным

а>4а^0.

что потенциал V{x) удовлет­

Ниже всюду предполагаем,

воряет условию I этого параграфа.

справедлива

оценка

Лемма 5.13. Оператор gii (t)

С\,а и

||£м (t) - g l (t) |i,сб <

С||Л-‘ (glM№

) - g l (^/2))lka.

(5.37)

Доказательство.

Из оценок теоремы 1.1 и определе­

ния Gaj вытекает, что

\GlM(r, г', 0 1 < С е х р (-р (/--г ')2),

(5.38)

В силу оценок (5.38) и условия

а>4а каждое из слагаемых

в правой части равенства (5.39)

есть произведение двух опе­

W± (Нм Но) = W* (GlMGo),

S (HlM, Hl0) = S -1(GlM, Gl0).

(5.40)

Теперь предположим, что выполнено условие II: множество

Qr=.{r, v (г) = оо}

состоит из отрезка [/?ь /?2],

9<R\<Ri<°o.

Из теоремы 1.2 вытекает

Лемма 5.14.

Справедливо равенство

О-(г. г', () = I

г'-

т|п(г'

Г') > Я •• (5.41)

1 Oint(r,

г', t),

шах (г,

г ') < R,

полугрупп

Gext, G[nt.

Оператор Gfnt — вполне непрерывный интегральный оператор

в L2([0,

г2dr), пусть е~(\

срп— его собственные значения

и собственные функции. Ясно,

что

являются собственными

2 1 < с у Т ( 1 + *(1)),

•я->оо,

откуда следует

Д о к а з а т е л ь с т в о

легко следует

из интегрального

представления

К1 (г,

г', p ) = j [р — ехр(— 7&2)]-1exp (— tk2)Ji+i/2(rk) X

о

X Ji+ч, {r'k) kdkr~ll2r'3/2.

Следствие. Если |ф|<Сехр(— аг2), то

(р£ — Go) р_| (Е + К1± (р)) ф = ф.

0 < р < 1 .

(5.42)

Д о к а з а т е л ь с т в о .

При указанных

условиях

на ф

функция

(£ + /(+ (р)) ф —

голоморфная на

(0,1) функция р

Положим по определению

^ ( р ) = - ц - 11£ + ^ (Ю к м ,

и £[0,

и.

Ниже мы рассматриваем оператор Ум (р)

как функцию

пара­

метров М и р со значениями в Сиа, а > 0 .

Лемма 5.18. Оператор Tm (M')

голоморфен

по р

при

р §£ [О, 1] й в некоторой окрестности отрезка [б,

1 — б]

имеет

аналитическое продолжение Тм+ (р)

из верхней полуплоскости в

нижнюю Т!м~ (р), из нижней полуплоскости в верхнюю.

Спра­

ведлива оценка

1 В наших прежних обозначениях пережиная р

это ехр(—Xt).