книги из ГПНТБ / Арсеньев А.А. Сингулярные потенциалы и резонансы
.pdfПусть Lza — гильбертово пространство со скалярным произведением
{/. g)a = J /* (*) g (X) eXP (— a I* I ) dx'
a Cp,a — операторы класса Cv (см. i[4]) |
в L2a. |
некоторых |
|||
Теорема Г.5. |
Если |
К(х)еЛ(о, |
R) и при |
||
а>0, 6>0, С < оо потенциал V(х) удовлетворяет оценке |
|||||
|V (х) |<Сехр (— (а + б) |х|), \x\>R, |
|
|
|||
то оператор g ^ C i,a. |
|
|
умножения |
||
Д ок а з а т е л ь с т в о . Пусть В — оператор |
|||||
на ехр(—&|л:|). Справедливо очевидное равенство |
|
||||
g (21) = |
G0(21) - G(21) = Gl (t) - G2 (0 = . |
|
|||
= {[G0 (t) - G (01 B->} {BG0(0} + {G (0 В} {Б-* [G0 (0 - |
G (01). |
||||
|
|
|
|
|
(1-45) |
Докажем, что каждый |
из операторов в фигурных |
скобках |
|||
принадлежит С2,а- |
|
|
|
|
|
Ядро оператора G (t) В удовлетворяет оценке |
|
|
|||
|G(t)B(x, y)\<C(t, |
||V~|?) exp(— (х — у)2/At— b\y\), |
||||
поэтому |
|
|
|
|
|
1 1G (t) В {x, у) I2 exp (— a |л;|+ a \у \) dx dy <
< C j exp (— (x — y)2l4t -\-a\x — y\— 2b\y\) dxdy < oo,
откуда [4, стр. 169] и следует включение G(t) В^.С2,а. Совер шенно аналогично доказывается, что BG0(£) е С 2.а.
Для доказательства включения g(t)B~l^ C 2ia нам нужно показать, что
/ = 11g (х, у, t) |2 exp (2Ь|у |-f 2a |x |— a \x\— a \у \) dx dy < oo.
Из оценок теоремы 1.1 мы имеем
I < C (t, |УI ) f \g(x, у, |
t) |exp (2b\y\) [supexp ( — (x — y)2/At + |
J |
X, у |
-\-a\x— t/|)]di/<C1[^l + J exp ( — (x — у)2(1 — s),/4f +
+ 2b\y\)\x — y\2- N\Vm0(x) |dxdy] < o o ,
если только число b выбрано так, что 26<а+б. Включение B~lg(t) eC 2,a доказывается абсолютно аналогично. Следо вательно, g ’(2t)^Ciia. Так как t — любое, то теорема дока зана.
30
Теорема 1.6. |
Пусть |
выполнены условия1 теоремы |
1.5, |
|||
причем б>2а, и пусть К — интегральный |
оператор, |
ядро |
||||
которого К(х, у) |
удовлетворяет оценке |
|
|
|
||
\К(х, t/) I< Сехр Э ( |л:|+ |
|#|), |
4р < а . |
|
|||
Тогда оператор Kg^Ciia. |
|
|
|
|
|
|
Д о к а з а т е л ь с т в о . |
Будем считать, |
что |
в формуле |
|||
(1.45) В — это оператор |
умножения на ехр(—Ъ\х\), причем |
|||||
a<b<2b<8. Достаточно |
доказать |
включения |
KgB~l^ C 2a, |
|||
KGB^C2ia. |
|
|
|
|
|
|
Оператор KGB — это, интегральный оператор с ядром
I KGB{x, у)\< С j exp (Р |л:|— (х — z)2/4t + Р |г |— b\y\)dz,
поэтому
j\KGB(x, у) |2'ехр (— а\х\ + a\y\)dxdy
<С J ехр (2р |х |— а|х |) [J ехр (— (х — z)2/4t -|-
+ Р |z — ^ |) dz j2 dx < оо,
что и доказывает включение KGB^C2a.
В силу теоремы 1.1 справедлива оценка
1 1g(y,z, t)\dz <С Сехр (— (а +6)|г/|),
поэтому
j \KgB~1(х, у) \2exp{— a\x\ + a\y\)dxdy <
< С ' £ ехр(2р |х| — a\x\ + 2b\y\ + а\у\) х
X [j ехр (Р |z |) g (z, у, t) dzj dxdy <
<C " j [j exp (2p |z [) |g1(z, y, t)\dz]x
X [j |g(z', y, 0U2'Jexp[(26 + a)|r/|]d^<
<C'"jexp(2p|z|) [J|g(z, y, t)\dy] d z< oo
и KgB~l 6 Cs,a. Теорема доказана.
Теорема 1.7. |
Если V(x)^A(a, R), то оператор g ^ C h0, |
т. е. ядерный в L2 |
(RN) . |
Д о к а з а т е л ь с т в о . Воспользуемся равенством (1.45), в котором положим оператор В, равным оператору умноже-
31
ния на (1 + |х| )_(ЛГ+а>/2 . Включения BG0(t)^.C2,o, G(t), В<=
е С 2,о проверяются, тривиально.
Пусть х (R, х) £ С“ , 0 < х (Я, х) < 1,
х (Я, х) = |
1 . И < Я , |
|
О, |jc|> 2R. |
||
|
Положим У<л>(х) =х(В, x)V (х) и временно обозначим пре дел (1.11) с потенциалом У<л>(х) через GR(x, у, t). Справед ливо равенство
В [G0- G] = В-1 [G0GR] + В- 1 [Gr - G], |
(1.46) |
Докажем, что каждый из операторов в правой части (1.46) принадлежит С2_0.
Ядро оператора B- 1[G0—GH] в силу теоремы 1.1 удов летворяет оценке
^\B~l[G0- G R](x,y)\2dxdy<
< СJ (1 + |х |)(W+a>[ехр'( - 1 |
х р/8) + |
+ j ехр(— (х— г/)3(1 — &)!Щх — |
dx<oo, |
\y\<2R |
|
что и доказывает включение В- 1 [G0— GR] 6 С2,о. Из равенства
t
(Gr — G) (х, у, t) = j* dx J G (x, z, t ■—•т) (1 —
)
— xR (z)) V (z) Gr (z, y, t) dz
следует оценка |
|
|
t |
|
|(Gr — G) (x, y, t) I < |
C j |
|
dxG0 (x, z,t — x) x |
|
(1 — x* (z)) IИ (2) I j |
||||
|
|
|
0 |
|
X Gg (z, у, x) dz < |
C |
J (1 - |
XR (z)) IУ (z) I [ I x — z\2~N-I- |
|
+ IУ- zГ " ] exp ( - |
(1 - e) [(x - |
z)> + |
||
4- (y — zf]/4t) dz < C" exp (— (1 — 2e) (x — y)2/4t) x
X j exp (— e [(x — zf + (y — zf\!4t) X
X [Jx — Z?~N + \y— 2|2“ w][1 + \z\]~N~^dz.
32
Пусть 1 < p ■< N — 1 . Тогда
|
|
N — 2 |
|
|
|
|
|
|
( - |
e [(x — z f + (y — z)2]/4/) (1 + J z |
|
|
z\2~ N dz |
< |
|||
|
|
|
|
(ЛГ+cs) |
„ |
|
|
|
< ( |
j |
exp(— eq(z — г/)2/ it) (1 +|z|) |
2 |
'd z )1/?x . |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
/(* |
exp(— ep (z— xflAt) n |
, , „ n |
(W+a) |
„ |
|
|
|
X |
2 |
^ |
r < |
|
|
|||
|
VJ |
\x - z \W -*p |
|
|
|
|
||
|
|
С C " (1 -j- |у I )—(W+“)/2 (1 -j-j A|^-(W+a)/2 |
|
|
|
|||
Отсюда вытекает оценка |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|(G« — G)(x, у, f)|< |
N + a |
|
|
_ N + a _ |
||
|
|
|
|
|
|
|||
<C exp(— (1 — 2e)(x — j/)2/4^)'(1 + |x |) |
2 |
( 1 + Ы ) |
2 |
, |
||||
а из (1.47) |
в свою очередь следует, что |
|
|
|
(1.47) |
|||
|
|
|
|
|
||||
|
|
J (1 + IУI f +a I (Gr - |
G) (х, у, t) |2dxdy < |
|
|
|||
< C' j (l -H у |f +a (l -H у |r N~* (i + 1* I )~N~a X |
|
|||||||
|
|
X exp (— (1 — 2e) (x — y)z/2t) dxdy < oo, |
|
|
|
|||
поэтому |
B~ 1 [Gr — G] 6 C2,o. |
включения [G0—Gfl].6_1e C 2,o |
||||||
Аналогично доказываются |
||||||||
[Gn—G]B_1e C 2,o. Теорема доказана. |
|
|
|
|
|
|||
Пусть V(x) и V(x) —•два потенциала, значения кото рых совпадают на множестве а>м={х', Р(х)<^Л1}, где М дос
таточно-большая константа, и 0^ V(х) ^ V(х). Пусть G и G— ядра, вычисленные по формуле (1 .1 1 ) по функциям V(х) и
У(х). Рассмотрим функцию
а (х, t) = j* [G (х, y,t) — G (x, у, f)] dy.
Положим
2d (M) = p ({x, V (x) < M), {x, У(х)ФУ (x)}).
Теорема 1.8. Пусть d (M) M‘/« > 2 (N— 2) и t0'= d(M)/2У Ж
Тогда справедлива оценка
|
|
|
|
|
N—2 |
|
|
|
|
sup а {х, t0) |
< |
1 |
4 |
( 2 |
Г |
/ |
/ Md( M) \ |
||
+ - Г (N12) |
PV |
2 |
J’ |
||||||
X |
|
||||||||
3 А . А . А рсен ьев |
33 |
Доказательствотеоремы разбивается на доказательство двух лемм.
Лемма 1.11. \/x£RN, О, 6 > 0 справедливо неравенство
О < а (х, t) < exp (— t min V (x -f £)) -j- § {sup I x (t) |> 6/2 у7}.
il:<6 |
o< t< i |
(1.48)
Доказательство леммы 1.11. Очевидны следующие не равенства
О< а (х, t) < j G (х, у, t) dy =
|
I |
_ |
|
|
= § {exp (— tj V (2Ytx{%) + x) dxjj < |
|
|||
|
о |
|
|
|
< exp (— t min V (x + £)) + $ { sup |x ( t ) |> 6/2 Vt}- |
||||
I6l<e |
|
0<T<1 |
|
|
Пусть 5 = {x, У(х)фУ(х)}. |
t^>0 |
справедливо |
неравенство |
|
Лемма 1.12. При \/x£RN, |
||||
a (x, t) < 8 {sup 12Vt x (t) |> p (x, S)}. |
(1-49) |
|||
0 < t < 1 |
|
|
|
|
Доказательство. Справедливо равенство |
|
|||
|
|
l |
_ |
|
a (x, t) = lim $ {exp {— 1j Vm (2 Yt x (x) + x) dxj X |
||||
X [ 1 — exp {— t j |
(Vm — VM) (2 Vt x (x) + x) c/xjjj < |
|||
о |
|
|
|
|
< l i m | { l — exp (— / f |
1 ~ |
|
_ |
|
(Vm— Vm ) (^V t x (x) + x) dx)\. (1.50) |
||||
|
|
|
|
\ |
Подынтегральное выражение |
при |
достаточно |
большом М |
|
отлично от нуля лишь для тех траекторий х(х), для которых
множество значений функции |
2]/ tx(x) +х,_0<;т-С 1 ) имеет |
общие точки с множеством S, т. |
е. sup | 2|/ tx(x) j^-p(x, S), |
что и доказывает лемму.
Положим D1 = {х, р (х, S)^>d(М)}, D2~ Rw\Dx. Ясно,
что D2cr Rn\ qm, причем p (Д2, {x, V (x)</H))>d (/И). Из оцен ки (1.49) получаем
V*6 Dlt t > 0 : а(х, t) < .$ {sup |х(х) |> d(М)/2|/7}.
34
Из оценки (1.48) при б — d(M) получаем
\/x £D2, t > 0 : а (х, t) < exp (— Ш) +
+ ё { sup |х (т) |> d(М)12V О-
0<т<1 .
Следовательно, \/x£RN, t> 0 ,
а (х, t) < exp (— Ш) + ё {sup |л:(т) |> d, (М)12 У t}.
Но |
|
|
|
|
|
|
ё { |
sup |
|х (т) |> а) < 2$ { |х (1) |> а} = |
||||
0 < т < 1 |
|
|
|
|
|
|
|
= |
4Г ( у ) ;1 |
|
|
|
|
< 4 Г ( - | ) |
’ aN~2exp (— а2), |
2а2> Я + 1 . |
||||
Поэтому при t0 = d (M)i2 УМ, |
d?M> |
2 (N + |
|
1), |
||
|
|
N \-i |
|
т—2 |
|
_ |
О< а (лг, *) < |
|
, d(M)M4’ \ 2 |
1 |
У Md (М)4 |
||
1 + 4 Г ( - ^ ) |
- ' ( ^ ^ ) ! |
е х р ( - ^ ” м ). |
||||
Теорема доказана.
§ 5. Полугруппа G(i)
Изучим свойства интегрального оператора
(G (t) ф) (х) = | G (х, у, t) ф (у) dy,
считая, что функция G(x, у, t) определена формулой (1.11). Напомним, что по определению ,Q={x, |V(х) |= оо}.
Теорема 1.9. 1) Интегральные операторы G(t) образу ют при ?>0 полугруппу в L'P, 1-^р-^.оо;
2) инфинитезимальный оператор полугруппы G(t) яв
ляется расширением оператора (—Н), заданного на финит ных в Rn'wQ, функциях формулой
(Яср) (х) = — Аф + V (х) ф;
3) в Lp(RnNQ), 1^ д < о о , полугруппа G(t) есть полу группа класса С0.
До к а з а т е л ь с т в о . Чтобы доказать первое' утвержде ние, теоремы, достаточно доказать, что каковы бы ни были
3* 35
h, 0 > 0, cpeLp, 1-<.Д<С°о, для почти всех x<^.RN выполнено равенство
(G (к) G(g cp) (x) = (G (k + fa) q>) (x).
При любом /> 0 |
и всех x^R N в силу оценок |
леммы 1.6 и |
теоремы Лебега |
|
|
|
(G (0 ф) (х) = lirn (GM(Оф) (jc) |
|
|
A f“ >oo |
|
и для всех М |
|
|
I (GM(О Ф) (х) |<C(t, |У(“ ) (х) |e) j G0(х, у, t) |Ф|(у) |dy < |
||
|
<С'||ф(у)|1Р< ° о , |
|
поэтому для всех х £ Rn |
|
|
(G (к + |
к) ф) (х) = lim (GM ik + к) ф) С*) = |
|
|
М -»ос |
|
= Пт (Ом (к) GM (к) Ф) М = (G (к) ■G (к) ф) (*)•• |
||
A f—»00 |
|
|
Итак, первое утверждение теоремы доказано. |
предположим, |
|
Для доказательства второго утверждения |
||
что функция ф(х) финитна в R^'^Q. Без ограничения общно сти мы предположим, что носитель функции ф(х) заключен внутри шара D0, причем р(До, iQ) =3d>0. Пусть Di — шар, концентричный шару D0 и расположенный на расстоянии 2d
от множества £1, D2 — |
шар, концентричный шару D0 и рас |
|||||
положенный на расстоянии d от множества й. Пусть |
|
|||||
ф(х, t) = j G( x , «/, t) ф(у) dy |
|
|
|
|||
|
(Й ) ( Х ) = 1 -Д ф + |
ГМФ. * 6 R » \ a |
|
|||
|
|
( 0, |
х € Q. |
|
||
Докажем, что при любом <76 11 > |
|
|
|
|||
. |
lim |
ф(*. t) —ф(х) |
+ Ш ( Х ) |
= 0 . |
(1.51) |
|
(->+0 |
t |
|
q |
|
||
Так как функция ф(х) |
финитна |
в Dx, то (Яф) = 0, х Dx и |
||||
справедливо равенство1 |
ф(х, t) —ф(х) |
|
я |
|||
ф(х, Q —ф(х) |
|
+ (Яф) (X) |
||||
t |
+ |
(Йф)МГя |
t |
Vq(Dl) + |
||
|
|
|
|
я |
|
(1.52) |
|
|
+ ( - f ) ?IM*, OilLq(RN\Dt) |
||||
1 Если 9 =оо, |
то это равенство заменяется на неравенство и норма берет- |
|||||
ся не в степени q, |
а в первой степени. |
|
|
|||
36
Оценим |
последнее слагаемое |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
г ч.IIф (X, 0 ||^(RjV4Di) < Г " IIф (X, t) ||Г’ |
j |
I ф (х, t)\dx< |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
R^\D, |
|
|
|
|
|
|
< i-* c»(M V H МЦ^Иф МЦГ1 |
j |
dx [ j G0 (x, y,t)\<? (y) |dy}< |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
Rplj\Dl |
Do |
|
|
|
|
|
|||
|
< |
r qC4(t, I Ус_) (x) 1 )j| ф (x) « г 1 (4Яt)-N/2 |
j |
dx x |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Rtf\Dt |
|
|
|||
|
_ (x—y)2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
_ |
|
|
||
X |
j e |
4< |
dy ||ф(у) Цое < Г«С « (f, JVм (x) l ) |[ф(X) m e |
8t |
X |
||||||||||
|
D0 |
|
|
|
|
|
|
|
_ d > ____ \N |
q |
|
|
|
||
|
|
|
(Х-УГ- |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
X |
jdy |
j |
e 8' |
dx (4nt)~NI2 < |
О (e |
st t |
2 |
)_*.(), f-*- + |
0. |
||||||
Do |
%\B| |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Теперь оценим первое |
слагаемое. |
В |
силу 'леммы |
1.7 функция |
|||||||||||
Ф (х, t) есть |
решение задачи |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
J i . = |
Дф — У(х)ф,' |
f > 0 , |
хб D2, |
|
|
|
||||||
|
|
|
dt |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ф|/=о=ф(*)> |
x ED2, |
|
|
|
|
' |
0-53) |
|||||
|
|
|
фГдгегро,= j G (х, у, t) ф(y)dy, |
|
|
|
|
|
|||||||
которую представим как сумму двух функций |
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
Ф (х, |
t) = ф<и (х, t) + |
ф(2) (х, t), |
|
|
|
|
|
|||||
где функция ф(2)(*> |
0 |
есть решение задачи |
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
= Дф(2)— У'(*)ф«2>, |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
Ф(2) |(=о = 0, |
|
|
|
|
|
|
|
|
(1.54) |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
ф(2) (х, t) UerpDl= |
j |
G(x, у, i) ф(у) dy, |
|
|
|
|||||||
а функция ф(|>{х, t) |
есть решение задачи |
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
dt |
Дф(1) — |
у (jc)cpO), |
x 6 D 2, |
|
t > |
О, |
(1.55) |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
ф(1) |
+ 0) = ф (*), |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
ф(1) (х, t) UerpD, = |
0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
37
Пусть фп (х) и А,„ — собственные функции и собственные значения задачи
дФл М — V (х) + %,$м = О,
Фл I*erp0a = О,
Ф?1 — коэффициенты Фурье функции ф (х) по системе Функция
-Kt
ф(1)(*.о = 2 е " ф а (-''■)•
Так как функция ф(х) финитна в D^D\<^D2, то равно мерно по x<^D\ сходится ряд
<Р(|) (*, t) —ф (*) |
(Яф) (X) = |
|
[ — £------ I~KJ ФлФл(х) |
||
t |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
и справедливо равенство |
|
|
|
||
|
II Ф(1>(х, t) —ф (х) |
(Яф) (JC) t“ (Dl)< |
|||
|
|
|
|||
|
|
|
|
V V V I |
Ф«(*) А |
<(Е ^[-^+Ч Т (2^ -)'А< |
|||||
|
|
< С - O(t)-+0, |
^ + 0. |
(1.56) |
|
Решая задачу (1.54) с помощью потенциала двойного слоя, легко получить оценку
Иф(2)(*> 0llL°c(Di) < Ce "• |
(1-57) |
Воспользовавшись неравенствами (1.56) и (1.57), мы по лучаем
|
Ф (х, t)— ф (лг) + (Яф) (х) |
< |
|
|
|
|
|
Lq(D\) |
|
< mesDiU |
Ф(1) (х, t) — ф (х) + |
(Нр) (х) |
+ Г 9|ф(2) (X, t) iu| |
• о , |
|
t-+ + 0. |
|
|
|
Равенство |
(1.51) доказано, |
а отсюда и следует второе |
ут |
|
верждение теоремы. |
|
|
|
|
Так как |
|
|
|
|
IG (t) ф|р < С(*, |У(-) (х) В,)IG0(0 Ф |1р< С ((, |И“ >(х) ||,) |Ф|р,
норма оператора G(t) ограничена равномерно по те[0, t],
sup || G (т) ||p-»p ■< C(t, || K( ) (x)||?)< o o , |
(1.58) |
а так как множество финитных в Р^Хй-функции плотно в Lp(Rn'\Q) при р е ( 1, оо], то третье утверждение нашей тео ремы есть следствие оценки (1.58) теоремы Банаха—Штейн- гауза и второго утверждения.
Теорема доказана.
Теорема 1.10. В L2 операторы G(t) образуют полугруп пу слабо измеримых по t при t>0 ограниченных самосопря женных операторов. Справедливо равенство
lim G (t) ср = P(Q) ср,
где
(Р(0 ) Ф)(*) = |
ф(-*0, х в Rn \ |
|
0, |
||
|
До к а з а т е л ь с т в о . Ограниченность и самосопряжен ность операторов G(t) вытекают из того факта, что G(i) — интегральный оператор с симметричным ядром, удовлетворяю щим оценкам леммы 1.6. Пусть фe L 2, t, т>0, тогда
G {t -j- г) ф = G (t) G(т) ф.
Но из теоремы 1.2 |
при |
любом т > 0 |
следует, что |
0(т)ф <= L2(Rn^Q), |
а из |
теоремы 1.9 — |
что функция |
G(t)G(т)ф непрерывна по t как элемент L2(Rn'\Q.) , поэтому функция С(^+т)ф непрерывна по t при всех t>0, а отсюда
вытекает ее измеримость. Воспользовавшись |
теоремами 1.9 |
|
и 1 .2, получаем |
|
|
lim G (t) ф = |
lim G (t) [P (£2) ф + P (RN\ |
ф£2)] = |
< - » + o |
<-h - o |
|
=lim G (t) P (£2) ф + 0 = P(£2) ф. /-»+o .
Теорема 1.1C .доказана.
Г л а в а 2. ЭКВИВАЛЕНТНОСТЬ ЗАДАЧИ СТАЦИОНАРНОЙ ТЕОРИИ РАССЕЯНИЯ ИНТЕГРАЛЬНОМУ УРАВНЕНИЮ
§ 1. Формулировка задачи
Пусть А0 — инфинитезимальный оператор полугруппы G(t), рассматриваемой либо как полугруппа операторов в
Ьр, где р — произвольное фиксированное число |
из интер |
вала (1 , оо], либо как полугруппа в B(RN\Q) |
(см. ниже), |
£2 = {х, |V(х) |= оо} и Р(:£2) — проэктор на множество функ ций, равных нулю в £2.
39