книги из ГПНТБ / Арсеньев А.А. Сингулярные потенциалы и резонансы

= (2л)-" ш

Г

o}r (х, Kj \Xf{M, M) coy {Xf (M),.M) x

|nl=l

X af (n, M) (фf,

ty)

—__ 1

exp (— iXf (/VI) t) -|-

dnXf (At) 2

+ (2я)~"

j

j

г|гсо- (X— Xf (УИ))-1exp (— iXt) x

Cj.a |n|=i

JL_,

X af ( фf, ipy) dnX 2

dX,

Теорема 6.4. Пусть е

[0,1].

Тогда оператор

R (е~и , G0 (/)) =

— G0 (<))- 1

6 [Lp -* LP, 1 < р < со),

причем

Же- " .

О0 (/))=еМ(£ + *(&)),

где К (X) — интегральный оператор с ядром К ( Х , \х — у \),

тIл

I

,,

N оо

ехр(—р2/)

>

Г

X

К(Х,

\х — у\) =

(2я)

\ — -— — ---------- -

J exp (— X/) — ехр (-

■p2f)

7

— у1р)

"

X ----- ------------ м------------Р 2 Ф-

'

(6-20)

— —1

\Х — у\%

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Пусть р =

ем , ф ( х ) £ Д ,

■ф(д:) = ((р£ —

G0)cp)(x).

Отсюда следует,

что -ф (х)еТ 1,

поэтому

преобразование Фурье

функ­

ции ф (х) существует,

и по теореме о свертке

(Фо)

(k) =

И- (ф)о (А) —

ехр (— кЧ) (ф)0 (k).

(6.22

Следовательно,

(ф)о (*)

= —

(’Ф)о W +

ехр(—kH)

(Ф>о (*)-

р — ехр (— kH)

V-

поэтому

eMi(E +

К (А)) = (е~м -

Ga (t))~l е [L°° - > L°°].

( 6 .28)

Из' (6.25) и

(6.28)

в силу теоремы

М. Рисса вытекает утверждение

тео­

ремы.

свойства функции, заданной равенством (6.20).

Заметим,

что

Изучим

чить ее в полосе

0 s=:lm Аг^:2 яД.

г),

определенная

равенством

7.1, обла­

Теорема 6.5.

Функция R(A,

дает следующими свойствами:

голоморфна

по

А, в полосе

|1 тА |< яД

1)

при любом г е [0 , оо) она

с разрезом вдоль прямой ReA .^0 ,

'Im А =0 ;

2) равномерно по А, на любом компакте, не содержащем множества

{Im A=0, Re Я>0}, справедлива оценка

I К (А,,

/-) |<

С (1 +

r)~<iV+ 1);

3)

при

R e A > 0 , |argA|< — — в справедливо представление

0 <

arg А <

—

е : —

^

/

а

(г / А )

2 кг-

г

2

К(А, г) =

N —;i

— - ^ - - J - e < a r g A < 0 : — -

(

V x \ 2

(.гУЦ

\ 2

яг }

4*

2

+

Д (А,

(6.29)

где функция

Д(А, г)

голоморфна

по

А при

Я

|1т А| < я //

I arg А < Т - в ,

'и имеет равномерную по А, на компакте оценку

|Д (А, г )| < С г -< "+1),

г —* оо.

(6.30)

Формулу (6.29) можно дифференцировать по г,

причем

дА

: Сг

-(У-Н)

•оо,

дг

4)

аналитическое

продолжение 7С± (А,

г)

=

Нш К (A-j-ie, г)

функции

ТС (А, г)

есть целая функция

параметра г,

в—>-j-0

удовлетво-

которая при Аб(Ооо)

N— 1

ряет оценке |/<* (А,

г) |<

С (1 + /•)

2

,

г >

0;

5) при R e A < 6 < 0

справедлива оценка

|К(%,

г) |< Сехр (— or),

а > 0 .

\

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Утверждение

1

следует

непосредственно из

интегрального представления

6 .2 0 .

Для

доказательства

второго

утвержде­

ния докажем предварительно

Лемму 6.2. Пусть'

i

00

_

JV

;

'

!n 0 ) = j ф (р )р 2 J

2

(ф )Ф .

:

0

■1

где

cp(p)— бесконечно-дифференцируема

и

стремится К нулю при р->-оо

вместе со всеми своими

производными быстрее любой степени р. Тогда

-------- — — 2

r > 1

|^(г)|<С/-

2

,

т

где

С = sup } I Рк(р)

(р) I,

Pk (р) — некоторые полиномы и /л < о о .

оо

о

W

X"

1

1 Г

Т"+1

(ф )]' Ф = •••

= - 7

t J <p' ( p) p

Ip

%

О

2

оо

2V

=

(— i)vr v

1 ^

Pus (р) q>(fe>

(р) J р

2v

(ф ) Ф -

О fc=0

Взяв в этой формуле V >

N

- ф 1,

получим

оо

N

|/JV(r)|CO-v- 1

J N

, (ф ) I Ф =

С'Г

T~+v

’ Лемма доказана.

2

теоремы

является

следствием

формулы 6.20 и лем­

Утверждение

мы 6 .2 .

Заметим, что

N

N _j

оо

N

(2я) 2

Г 2 К (J,, г) = j

(X -

р2)-1 г - 1 ехр ((А -

р2) t) J n_^ (rp) р Т ф +

О

N

2

оо

+ j ф(Р.

2

(Ф)Р2 dp,

где

О

1

ехр ((X — р2) 0 [/ (Я. — ра) — 1 +

ехр ((А. — р2) ?)]

Ф(р, Х) =

oo

iV

j__ N

A (*-.'') = j ф (р - л,) A v _

(ф ) р 2

г 2 Ф

при |arg Я, |<

—

— е

можно преобразовать так:

I

ехр(£ (Я, — ра))

N

2

Ф =

Ц Х - р»)

'JАjv- , ,( ф)Р "

- Т IТ - 1 «!£ _, <' / 3 +

ЛГ-г-2

2

1

‘ * “

2

N—2

.

-a

JWЯ1 ,,/«\

( г / щ

П

)

2

О < arg X<

—

е : —

Af

+ А (Я,, г),

—1

— - у + e < a r g ^ < 0 : — ~ ~

^ (г У X) ( / X)

2

где

Аг(Х, 0

=

- j - [

i

К^ — г)<1

1 ехр(/-(Я, — z)) Я^лг._ t X

arg г = ------е

2

N —2

I¥ V

X (r V^z) z 4

dz +

I

[(Я, — z)i]- 1

X

argг—--------{-e

2

N-2

X exp (t {X — 2))

^(/-y^z)2

4

d z j.

2

А ( А '•) = '■ 2 Г - ^ - (

^

н Ч ^ у ^ г 4 dz +

я

2

arg2= ------ е

2

N—2

.

_N_-3

+

^

Я<$ ^ / 2 ) 2 4 dz^ + 0(r~2)

=

0 (r 2 ), r-*<x>.

a rg2=

П ,

2

----------- (-8

/V О

N_

N .

К (X, г) =

(2 я)

2

f е

р ч (е

е

рЧ)

l J N

( ф ) р 2

г

2 dp —

J

—----1

•

= (2 я) 2 г

* |

- в №“ Р ( г р ) р ^ ф =

AT

оо

оо

.

Л_

(6,32

= (2п)

г

[Г

^

Ф==

Li: j

еПа~р1}‘ J N__ (ф)Р2

_ N ^

О

л=1

2

1

N .

N со

=

(2 я)

2

г

2 ^

e,lW j

е

"р!< ^

. (ф ) Р 2

,Ф =

п=

1

о

2/

'

ЛГ

оо

N

=

(4я£)

2

^

я

2

enW г'2/ш.

(6.33)

П=1

K(X,t)\<(4nt)

2 exp (Re Xt) j ^

я

2

exp^(n —

l) ReM —

Л— 1

4nf

_

N

oo

N

Г2

\

<

(4яt)

2

exp (ReXt)

я

2

exp И я -

n = l

\

_

N

iV

=

(4я?)

2

exp(Re^

)

2

exp

(( n —

- ^ )

+

- w

n ^ r

+

£

п 2 exp( ( , l 1) V

~

<

L ^ ) }

П > Г

N

__ оо

______ //

<

(4я/)

2

eVn / D . l * L

4t

W

-ч

2

exp ((я —

l)X0t) +

2

exp (Re Xt) je

^

(я)

2

n=l

+

е(г

1^ <|(

^

я - / 2} <

C

exp (Re Xt) exp (— or),

a > 0 .

n=l

Следовательно,

\K(X,r))\< С(Я0)еКеЯ‘- ° г, Re X < Х0 ■< 0, а > 0 .

(G.34)

Из (6.33) следует, что при Re X < 0

п=1

(6-35)

ле [1

Оценим правую часть (6.35). Пусть функция / ( х)

задана на

интерва­

, оо), пусть

/ '( * ) > 0 ,

\ < х < х 0, f’ ( х ) < 0 ,

х0< х < о о \

x0G [л0, пв +

1 ].

Тогда

П+1

n~f~l

Д л)< j

f (х) dx,

п < п а\f (

п

1 ) <

| f{x)dx, п >

л0 +

I.

Следовательно,

По

£ / ( « ) + 2

/( « +! ) = £ / w - / K + i ) <

Л—1

П=П,+1

П=1

По

-

оо

П+1

оо

J]

+ £

j

f(x)dx =

j f ( x ) d j с,

л=1

п0-|-1 л

поэтому

£

/ ( « Х / К + 1)+ Jf(x)dx.

(6.36)

л=1

В нашем случае

f ( x ) ~ x

2 е

4tx ;

2№

х0 =

Применяя (6.36) к (6.35), получим

|К (X, г) |<

Cir~ N +

C ^ ~ N , г >

0 .

(6.37)

Так как из (6.35) следует, что |К(Х,

г) | ограничен

при O sgr^ l,

то из

(6.37) и (6.34) вытекает утверждение 9) теоремы 6.5.

Теорема 6 .6 .

рассматриваемый

как

элемент

пространства

1)

Оператор 7С(Х),

[Хр->-Хз,

1 </?sg;(7 =5: 00], голоморфен

по

X в плоскости с разрезами вдоль

лучей Х=2 топ/£+т1, л=0,

=Fl, ..., т)^=0;

у

2)

при любом Х е (0 ,

00)

в сильной операторной топологии простран-

ства

Lp ^fU>,

lip — l/q>

Ы-4- 1

существуют

пре-

— — — , l < p < q < o o

2N

Urn К(Я +

£е)=Х+(Я)(= ГLP-^Lfl

l / p - I / < 7 >

N+ 1 1

2N

J ’

e-> + 0

l_

lim

Х ( Я - / е )

=

Х ' ( Я ) е I U>-+Li

1 / ц - 1 / ц >

N 4-1

j .

ол,

e-»+o

L

2 /v

3) операторы Х+ (Я)

и Х - (Я) непрерывны по Я при ЯеЦ),

оо)

в силь­

ной операторной топологии пространства

Lp

W ,

llp — l l q >

N + 1

1

< р < 9 < оо

2Х

4)если

ф (*/) е L00

и ф(р) = О ((у | ^ “ ),

0 < а <

1 , то для

интёг-

рала

1+(х,

Я) = | х + (Я, |х — y\)y(y)dy.

справедливы асимптотические оценки

1- N

а

Х е х р | г ( [ х | / Я

) Ф 0 (|.

).

|х|-»- + оо,

где

Р (п) = J

Цп,у) /X

е

|!/|

(р(у)

dy\

2N

выпол-

5) какова бы ни была функция ф (х) € Z,? П L°°, Ж Х+1

нено равенство

(е~и -

Go) еи (Е +

Х+ (Я)) <р =

ем (Е +

Х+ (Я)) (eu ~ f i 0(1)) ф =

Ф;

б)

оператор

Х(Я),

рассматриваемый

как элемент

пространства

£ Я/* ->-

,

1 Ip — 1 /q >

j,

непрерывен по Я в замкнутой полуплоско­

сти Re Я=^0 и норма

его ограничена константой,

не зависящей

от

Я при

ЯеЯ^О.

В

силу утверждения 5) теоремы 6.6

норма

Д о к а з а т е л ь с т в о .

оператора Х(Я) в [Lt- kLt

1 ^ р ^ г ^ о о ] ограничена равномерно по Яе£>,

где D — любой компакт, не содержащий луней Я =2 ят /1 +ri, я=0;

+ 1, ...

.... т ]^ 0 ,

а в силу 1 )

для любых финитных функций Ф[(х) и ф2 (х)

функ­

ция

а(Я) = j К(Х, U

— i/l)q>i (*) Фз (</) dxdy

голоморфна по X при ЯеД, откуда и следует первое утверждение тео­

ремы.

теоремы 6.5 норма

оператора

В силу утверждения 6 ) и 7)

(К (Ь + « в ) - К + (*,))£ L.P

Af +1

1

L*, 1/Р-!/<?>

2N

J

достаточно

доказать,

что

какова

бы

ни была финитная

функция

ф((/) и

г {

2N

\

, выполнено равенство

—

---- -— > оо

1

lim

J] J [K(k +

ie,

|* — у I) — К+ (X, |х — у |)] ф (t/) dy j 4 dx =

0 .

(6.38)

Фиксируем

произвольное

Так как

при каждом

фиксированном

г>0

Пт [К (X -f- i&, г) —К + (X)] =

0,

Е -Н -0

то в силу теоремы Лебега при каждом фиксированном x^Rn

lim

\{ [К(Х +

i&,

\х — у\)—'К+ {Х, \х ~у\)]у (у) dy\ = 0.

(6.39)

е- » + 0

I J

I

Из утверждений 6 )

и 7)

теоремы 6.6

следует, что при всех xe/?jr

и е>0

выполнена оценка

] J [ K ( X + t e ,

|х — </|)— К+ (Я, \х - у

))] у {у) dy |< c j

Ф(У)],

Г

1+1*—У\ 2

< С |1 ф (у) |м

-------------Л-У-

—

- 6

L?,

q£ (

-2^ ,

о о ] ,

(6.40)

1 + ] х ^ у]~

причем С не зависит от

х и в. Из

(6.39),

(6.40)

и теоремы

Лебега сле­

дует (6.38). Утверждение 2 теоремы доказано. Утверждение 3

доказывает­

ся совершенно аналогично.

Докажем оценку 4). Пусть (х|>1. Интеграл /+(х, Я) мы предста­

вим как сумму трех интегралов

I+ ( x , X ) =

j

К+ (Х,

\х— y\)y(y)dy +

• м < 0,51X1v<

+

j

К+ (Х,

\x-y\)<p(y)dy +

0,5|х]‘ /<<М <0.51х1

Пусть

1 jq —

N — 1

■а. Тогда

2N

4N

IJ

К+(К, I* — y\)y(y)dy\<

\у)>0,Ь\х\

J

; (

j

К+ ( М *

- аг|)? <&),Аг (

1 Ф1 1

Р ^

)

lffl>0,5|x|

Iffl>0,51x1

N—1

а

N

nr i

< c (

[

r - ^ + ^

- ' d

r )

< C ' | / I

q

« 1

2

4

4

— C'\x\

r > 6 ,5

Ul

|

j

U — y\)<?(y)dy |<

0 ,5U| */■*< Itf1<0,б|лг|

1—N

J

1фЫ1^ <

l~N _

4.

'"<ci*i 2

c

\ x \

2

0,5|.Vll /* < !srl< 0 ,5 U l

При|л:|-^схз

равномерно по у е {у,

1у I < 0,8

|х |'’*}

справедлива

оценка

\х — у |=

|х I — cos(х ,

-f- 0

(| л Г ,/г)

где cos(x,

у)

=

^

поэтому из оценки 4) теоремы

6 .6

следует,

что

J .

2

' х

|«|<0,5|*|V4

X V

-2

<(l«l У Х --2 -

cjv-

d )

я: I де|

e

i—n __ i_

_

_

L

J

.

, Г Г . ' ( М

X

4t-

\

[2n\x\

V

я|х|

1—N a_

X(3U) + 0(|x| 2

4).

Г

Предположим, что

ф (x) € Lp 0 L°°,

где

p — некоторое

число из

2N

\

неравенству

I j

-------------- j , а число q<oo удовлетворяет

I/P — 1 / ? >

ЛН- 1

2JV