книги из ГПНТБ / Тепловые процессы при обработке металлов и сплавов давлением учеб. пособие для студентов металлург. спец. вузов

Po(p)exp

M2

M

• +

w

Mi

M

VMiAV T +

p ~ T + g

- f С exp

-

^

( /

f

+ ^ f )

]

+ « e x

p [

x ( / f +

, - f ) ]

(2.2.133)

Удовлетворяя

(2.2.133)

граничным

условиям

(2.2.128)-

(2.2.130), находим постоянные С и D:

С-

Кі(/>)

Po

(p)

M

|

/

t

+

^

t

2

1 / т +

Ч ] / т

+

ЛГ2

/ / M2

' M

Ѵ(Х,

р) =

Ро(р)Х

ІГехр

- * (

і / т

' +

т

)

exp ( —

gX)

X

+

Mg-*2>(]/

/> + ЛІ£ — ^2

(P +

—

+ P +

—

Af2

Al

Kl (p)exp ! — X

+ p

M

+

(2.2.134)

VAf2

M

Перепишем

(2.2.134) следующим

образом:

где

V(X,

p) = Z(X,

p)+T(X,

p),

(2.2.135)

Z(X,

p) = P~o(p)Qx{X,

p);

g

exp

X (

, /~M2

M

\

exp ( — gX) .

\

Ѵ

^

+ р +

т

)

p + M g — #2

{P + Mg

(2.2.135a)

F(X,p)

определяется

формулой

(2.2.1136).

Обратное преобразование функции G{(X,

р)

получим с

по­

мощью таблиц операционного исчисления:

G:(X,

Ф) = \ {1 exp [ -

gX

-

(Mg-

g2) t] eric | " - ^ +

( | — g-) V't

+

g

exp [ -

(M - g) X-

(Mg -g2)t]

erîc

X

2Vt

'M

-exp[-gX-(Mg-g*)t]-

-iî-i)VT

M

erîc U - i / T

(2.2.136)

2 (M - g - )

2

или для неподвижной системы

координат:

О, (A-,, t ) =

j l

- l exp [ - gXx

+ (Л* ,g + £ * ) / ] erfc

Z(X,

p) = Z(X,

Ф),

гд>е Z(X, ty) принимает значения:

для

(п + 1)-й

паузы

Z(X, Ф) = Ро2 2 ЮгІХ,

^-(т~\)хй-х1\г^-(т-\)хй-х1\~

m = l

— Ох (X, ф— т т 0 ) т] ( т т 0 ) } ;

(2.2.1366)

Z(X, ф)=Ро2

для

(п+1)-го обжатия

m=02 °ЛХ>

Ф— т т 0 — t j ) ^(ф—mr0—-г^-

п

— 2

^ 1

^ '

Ф - ^ о ^ ^ - ^ о )

(2.2.136B)

для (п + 1)-й

паузы

v(X, t ) = P o 2 2

{Oi[Xv

t

- ( m - l

) t 0 - t j K i [ t - ( m -

l ) t 0 - f J -

m-l

~G1(XV

t - m t 0 ) ï i ( t - m t 0 ) } + K W A ' i , r ) f

(Ki2-Ki,)j2

{ ф І * і >

- « - ( / n - l J t o - t ^ T j l t - C m - l J t o - t J -

t - m T 0 ) Y ) ( t - m t 0 ) } ;

(2.2.137)

оля

(п+1)-го

обжатия

v(Xv

t ) = P o 2

Qi(Xv

X— mt0—rjijfc

— т т 0 — t

j —

2

m2.-l O1 (Jr1 ,t-mt0 )ïi(t-mt0 )] + K i , ® ( A ' ï , t ) +

л

+ ( K i 2 - K i x ) 2 Ф ( * і , t — m t 0 - t , ) T ] ( t — m t o - t j -

л

2

Ф

^ ,

t - m t 0

) r i ( t - m t 0

)

(2.2.138)

Выражения (2.2.137)

и

(2.2.138) определяют

температурное по­

ле раската

в любом пропуске для случая, когда

начальное

распре­

}дТ(хь

p

« w i ^ ^ - ^ w ] -

( 2 - 2 - 1 3 9 )

где

Tc

(t) = Т, + {T2-Tx)

? (t);

a

= +

(a2

-

a,) <p (/);

cp(t) определяется выражениями

(1.6.3) и (1.6.4).

Перейдя

к подвижной

системе

координат и используя безраз­

мерные величины, можно поставленную задачу записать

следующим

образом:

д ѵ

д 2 Ѵ

+

м - ^ - - P o

(ф), ( 0 < Х < о о ) ;

(2.2.140)

дХ2

'

дХ

дѴ

= Ъ($)[Ѵх-о-Ѵе№->

(2.2.141)

дХ

Ѵ(со,

ф)^оо;

(2.2.142)

дѴ

=

0;

(2.2.143)

дХ

Х=<х>

Ѵ(Х,

0) =

0,

(2.2.144)

где

q№ = b(Wx-o-VQW

(2.2.145)

Ѵ(Х,

р) =

А(р)ехр

+ / т + ' ) Ь ^

( 2 , 2 Л 5 0 )

Отсюда

находим

dV (X,

р)

dX

•х=о

\

2

Условие

(2.2.147) запишется так:

А(р) =

-Я(Р)

Решение, поставленной задачи в области изображений

получает

следующий вид:

е х р

X

Л12

.q(p)-MÛ.

(2.2.151)

Ѵ(Х,

р)=-

M + VМ2

Используя теорему о свертке оригиналов, запишем решение за­

дачи в области действительной переменной:

для

(п + 1)-й

паузы.

Ѵ(Х,

Ф ) = - J k + CV-Si)^

г{[Е-(т-\)х0-хЛ-

0 {

771 = 1

X 2

• ' d i - ^ ~ ^ o - ^ i ] ~ ^ ( i - ' n t 0

) \ \ v l + ( V 2 ~ V l ) X

m = l

)

\

п

Х m2= 1 т( [/ — (/и — 1>г0

— T J — ч / и * 0

) Ф3(Х,

ф - / ) Л -

m =

l

1)тг0 —tjTjf^—(m— 1) тг0

— r j —

Р о 2 2

{[ф —(m—

(2.2.152)

— (Ф—отг0)т)(ф —/ит0 )};

Х Ф , ( * .

)-t)V(0,

t)dt+\\

\ + ( \ - \ )

У.

i j ^ - m t o - t i ) -

o l

L ^ o

m =

l

2

w c ö — T i ) —

л

2 ( ф - / я т 0 - ^ ) Х

/и=1

n

m=0

(2.2.153)

где

Х І ( Ф - ^ 0 — Т Х

) — 2

(Ц> —

WTT0) TT] (ф-OTto

ф з ( * .

ф) =

Г / A f 2 ,

X2

Л*

\1

p [ - ( T ^ +

Яфl ? + T x ) J

e x

erfc

і/ф

(2.2.151)

2

2 К ф

Для перехода от функции Ѵ(Х,

г|з) к функции и ( Х ь т) необходи­

мо в выражениях

(2.2.152)

и (2.2.153)

заменить X на Хі—М/х и ф

на т. Функция Фз(А'і, т) будет иметь следующий вид:

г2

ехр (-4)

ü e r f c /

(2.2.155)

ф а № - *) =

Ят

2

\ 2

(/ x

~

1/(0, -ф). Дл я ее определения положим Х = 0.

Получаем:

для

(п + 1)-й паузы

1/(0, ф ) = - | | 8 1 + ( 8 а - 8 1

) 2

•nlt-im-^-X^—nd-mx^X

Х Ф 3 ( О , ф - о 1 / ( 0 , ю ^ н - J Ь і + ( * 2 — т <

і ) ѵ - * і і -

0 I

m = l

m = l

X Ф 8 ( 0 , *t-t)dt-Po22

{ [ Ф - ( w -

I J t o - t i ] il [ф— {m-

1 ) t o - t j -

- ( ф _ т т 0 ) т ] ( ф - т т 0 ) } ;

( 2 . 2 . 1 5 6 )

(Эля

(п + 1)-го

обжатия

Х Ф 3 ( 0 , ф - ^ ) 1 / ( 0 , / ) Л + |Ь1

+ ( 8 2 - 8 1 )

2

T i p - O T T o - t , ) -

О I

Lm=0

~2

l ^ - д а т о ) И^ + ^ - К , )

2 l ^ - w t o - f i ) -

-2

r,^ - /nt 0 )

} Ф З ( 0 , ф _ * ) Л - Р о 2

2

( t - m t o - t j X ,

J)

Lm=o

Х 7 1 ( ф - / п г 0 - г , ) - 2

(Ф -

'»To)

( ф — тт0)1,

( 2 . 2 . 1 5 7 )

где

m =

l

Af2

exp

f e „

c

( f ^ ) .

Ф 3 (0,

ф) =

( 2 . 2 . 1 5 8 )

Выражения (2 .2 .156) и (2 . 2 . 157) являются интегральными урав ­

нениями Вольтерра

I I рода относительно температуры движущейся

поверхности V(0,

гр) или У ( М / Т , Т ) .

Дл я получения численных результатов необходимо сначала ре­

шить интегральные уравнения (2.2 .156)

и (2 . 2 . 157) . Подставляя за­

тем полученные значения функции Ѵ(0,

гр) в выражения

(2 . 2 . 152) и

( 2 . 2 . 1 5 3 ) ,

можно определить температуру в любой точке по сечению

раската.

щие

значения:

1. Средняя температура по сечению заготовки

после вы­

дачи

из печи (Г0 )

.

1200° С

2.

Коэффициент

теплоотдачи

от

поверхности

раската

вт/м2"С

к окружающей

среде

в^, течение

пауз

(ai)

.

250

3.

Коэффициент теплоотдачи от поверхности раската

к по­

вт/м2°С

верхности валков

во

время

обжатия

(аг)

8-Ю3

4.

Длительность

паузы

(^і)

5 сек

5.

Длительность

пребывания

металла

в

очаге

деформа­

ции

(t2)

теплопроводности

прокатываемого

0,05 сек

6.

Коэффициент

метал­

ла

(X)

35

вт/м-град

7.

Коэффициент

температуропроводности

прокатываемого

металла

(а)

.

0,02 ж2 /ч

8.

Средняя

температура

окружающей

среды (Г]) . . . .

30° С

(Г2 )

9.

Средняя

за

прокатку

температура

поверхности

валков

300° С

10. Средняя за прокатку скорость перемещения

поверхно­

сти

раската

20 м/ч

11. Среднее значение предела текучести

стали

(сг«) . . .

85 н/мм?

12.

Начальная

высота

раската

(Я 0 )

(#і )

740 мм

13.

Высота

раската после

обжатия

700 мм

14.

Скорость

конвективного

переноса

(si)

0,0

м/ч

Po (х) =

—

;

для

пауз

П71 =

0; Роі =

0,

для

обжатий

Я Л

740

as I n — ^

8,5-107.In

—

'

Po, =

Н\

=

700

=

п

„

I

8-103—0,25-103 \2

0,042.

1

*2ХА2 <Т0 — ТЛ

г

- х 0

1 J

0,05-35 (

—

J

(1200 — 30)

Б е , з р а з м е р н а я с к о р о с т ь д в и ж е н и я п о в е р х н о с т и

р а с к а т а

s[

20

/И,

=

—

=

8-103-0,25-103

=

4,52.

1

ah

0

) 0 2

. _ _

_

Поскольку

M = M[ — Afj,

а Мх

= 0,

то M — М\ = 4,52.

П р о д о л ж и т е л ь н о с т ь

п а у з ы в б е з р а з м е р н о м

в и д е

/7,75-103 \2

5

т , = а А 2 Л = 0 , 0 2

• - —

=

1,360.

1

1

.

V

35

/

3600

П р о д о л ж и т е л ь н о с т ь

о б ж а т и я в б е з р а з м е р н о м

в и д е

•c2

=

ü;A2jf2 = 0,02

/ 7,75-103 \2 0,05

г —

- J — да 0,014.

1

\

35

}

3600

Б е з р а з м е р н а я т е м п е р а т у р а

о к р у ж а ю щ е й с р е д ы

в т е ч е ­

н и е п а у з ы

^

= 4 F 4 r - = i,o.

То-Тг

Б е з р а з м е р н а я

т е м п е р а т у р а

п о в е р х н о с т и

в а л к о в

( с р е д -

я я я з а п р о к а т к у )

Ѵ 2

=

Т0 — 7\

1200 — 300

=

0,770.

1200 — 30

Б е з р а з м е р н ы й

к о э ф ф и ц и е н т

т е п л о о т д а ч и

в

т е ч е н и е

н а у з ы

et!

250

=

0,032.

0,2 — 0,1

8-103 — 250

Б е з р а з м е р н ы й

к о э ф ф и ц и е н т

т е п л о о т д а ч и

в

т е ч е н и е

о б ж а т и я

а2

=

1,032.

а2—аг

II. Расчет температуры поверхности

И н т е г р а л ь н о е

у р а в н е н и е д л я

о п р е д е л е н и я

т е м п е р а т у ­

ры п о в е р х н о с т и

в

т е ч е н и е

п е р в о й

п а у з ы

получаем

из

общего

выражения

(2.2.156), положив п = 0 :

Ѵ(0, ф) =

—0,032 | " ф 3 ( 0 ,

Ф — r ) K ( 0 ,

t)dt

+

0,032

|*Ф3 (0,

<\> — t)dt.

(2.2.159)

6

ô

Необходимо подчеркнуть, что, поскольку определению подлежит

температура

новерхности раската в течение первой паузы,

под

1|) следует

понимать

время,

заключенное в интервале 0^г|)=£;ті, т. е. 0 ^ і | ) ^

1,360. Соответственно интеграль­

ное уравнение (2.2.159) позволяет определить

функцию Ѵ(0, а|)) только для вре­

мени первой паузы. Дл я получения данных о

температуре,

когда

1,360, сле­

дует учесть

в выражениях

(2.2.156) и (2.2.157)

изменение

числа

я, так что

общая

I

ехр

M

dt

=

2

l 2

] А г ( ф - г )

1

J M

Af

/ ф - ^

e r f ( ™ V l t - t ) + y ( Ф - г ) е г і с

2

меті[^

i r

Г

M 2

•t)

У Ф - ^ е х р

-

— (Ф

+ c.

(2.2.160)

У л

запишем интегральное уравнение

(2.2.159) следующим образом:

ф) =

ср(ф) — 0,032

т

ф — О ^ ( 0 ,

t)dt.

Ѵ(0,

| " ф 3 ( 0 ,

(2.2.161)

где

Mi

, \ 1

V

Ф ехр

1

Af

Т

*

?(ф) = 0,032

erf —

—

У

—

У ф — — фerfc

M

2

Y

2

Y

I

2

(2 . 2 . 161а)

Уравнение (2.2.161) будем

решать

методом последовательных

приближений*.

Д л я

этого искомую функцию

Ѵ(0, -ф) представим

в виде

ряда [63, 65—67]

Ѵ(0,

Ф) =

2

г =

0,032).

(2.2.162)

й =0

Подставляя

ряд (2.2.162)

в

уравнение

(2.2.161) и

сравнивая

коэффициенты

при

одинаковых

степенях

г,

находим

последовательные

приближения функции

Ѵ(0,

і|>):

f (Ф);

(2.2.163)

Л) (Ф) =

F1 (ф) =

-

0,032 j

Ф3

(0, ф -

о

(/) dt;

(2.2.164)

о

Ф

т

П ( Ф ) = - | ф 3 ( 0 , Ф - О ^ - і С ) Л .

(2.2.165а)

о

После определения k функций

Fk(ty)

находим

функцию У(0, ф) в &-м при­

ближении:

k

Ѵ*{0,

ф) = 2^П(Ф).

(2.2.166)

Безразмерная длительность паузы

составляет

т і = 1,360. Дл я

расчета разби­

ваем этот интервал на 4 отрезка

(фі = 0,34;

ф>2=0,68; фз=1,02;

ір4 = 1,36).

Подставляя эти значения \|) в

формулу

(2.2.161а), а также

учитывая, что

Л1 = 4,52, определяем нулевое приближение

функции

Ѵ(0, •ф):

Г 1

/ 4 , 5 2 , /

\

4,524,52

/ 4 , 5 2 , / — — Л

Т (фО = 0.032 { ^ e r f

l / 0 , 3 4 j -

—

0,34 erf с {-j-

V

0.34J +

]/o,34 exp

4,52\2

0,34

=

0,032 [0,221 erf (1,32)

<p (ф2 ) =

0,032 [0,221 erf (1,86) — 1,534erfc (1,86) + 0,465 exp ( — 3,45)] =

=

0,032 (0,221-0,990— 1,534-0,010 +

0.465 0,032) = 0.007.

Аналогично определяем

ф(фз) и <р(ф.і):

f

(Фз) = 0,007; <р(ф4) =

0,007.

Д л я уточнения значений функции ср(ф) в

интервале О^грsg0,34 рассчиты­

ваем ф ( ф 5 ) ,

ф(фб), ф(Ф?) (ф5=0,08; г|)6 =0,16; ф 7 = 0 , 2 4 ) .

Получаем:

9 (ф5 ) = 0,005; ер (ф6 ) = 0,006; <р (ф7 ) =

0,007.