книги из ГПНТБ / Тепловые процессы при обработке металлов и сплавов давлением учеб. пособие для студентов металлург. спец. вузов
.pdfОбщее решение дифференциального уравнения (2.2.193) имеет следующий вид:
Ѵ(Х, р)=. |
Ро(р) |
ex?(-gX) |
+ |
p + Mg—g2 |
|||
Ро (р) ехр |
- X |
|
+ |
|
М2 |
M |
|
|
|
||
|
7 + Р + Т |
|
|
Р о ( » ех р |
М2 |
M |
|
X |
|
|
|
- f С ехр
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
(2.2.197) |
Удовлетворяя (2.2.197) граничным условиям (2.2.194) |
|||||||
(2.2.196), находим |
постоянные С и D: |
|
|
||||
С-- |
•Я(Р) |
|
|
|
Ро |
(р) |
+ |
, /~ ЛѴ* |
M |
|
|
|
|
||
|
п _ / М 2 |
/ , / " М 2 |
M |
||||
|
|
|
|
Ро (p) g |
|
(2.2.197a) |
|
|
|
(p + |
Mg-g2) |
(VT + P |
+ Y |
||
|
|
|
|
|
М2 |
M |
|
|
D=- |
|
|
Po (p) |
|
(2.2.1976) |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
Af2 |
M |
|
Имея в виду (2.2.197a) и (2.2.1976), запишем решение постав |
|||||||
ленной задачи в области |
изображений: |
|
|
||||
|
|
|
g ехр |
X |
I , / " М 2 |
M \ |
|
|
Ѵ{Х, р) = |
Ѵо{р) |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
(p + Mg-g2) |
/ ^ / М 2 |
M \ |
||
|
|
|
[Г/ |
—+pi + |
—J |
||
|
exp(-gX) |
|
|
AVI |
+ p + |
(2.2.197B) |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p + Mg — g2 |
I |
|
|
Af2 |
M |
|
90
Выражение (2.2.197в) запишем в иной форме:
|
V(X, |
p) = |
Z{X, P)~FX{X, |
p), |
(2.2.197r) |
|
где |
|
|
|
|
|
|
|
Z(X, |
p) = Pb(p)Ô1(X, |
p); |
(2.2.198) |
||
|
FX{X, |
р)= |
— |
с(р)[рФ(Х, |
p)]; |
(2.2.198a) |
|
|
|
P |
|
|
|
функции G\{X, |
p) и |
Ф(Х, |
p) |
определяются |
соотношениями |
|
(2.2.135a) и (2.2.113B). |
|
|
|
|
|
|
Оригиналы |
функций Z(X, |
р) |
и Fi (X, p) |
получены ранее и соот |
||
ветствуют выражениям (2.2.1366), (2.2.136в), (2.2.181) и (2.2.181а). Следовательно, решение поставленной задачи запишется следу
ющим образом: |
|
|
Ѵ(Х, W = Z(X, W-FX(X, |
<]>). |
(2.2.199) |
Выражение Fi (X, г|)) содержит неизвестную функцию темпера туры поверхности Ѵ{0, гр), которую необходимо определить из сле дующих интегральных уравнений Вольтерра I I рода:
|
|
|
для |
(п + 1)-й |
паузы |
|
|
|||
1/(0, |
ф) = |
Ро2 2 ( o j O , |
|
ф - ( т - 1 ) т 0 - т 1 ] г і |
[ ф - ( т - 1 ) г 0 ' - г 1 ] - |
|||||
- 0 , ( 0 , |
ф _ т т 0 ) г , ( ф - т т ; ) } - j |
8^(02-8^2 |
т \ [ |
і - ( т - l ) t 0 - t j - |
||||||
|
|
|
|
J |
0 |
I |
|
m = |
l |
|
- ^ ] ( / - ^ 0 ) І Ф 3 ( 0 , <|>-*JV(0, 0 ^ + j k + ( 8 2 - 8 i ) 2 |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
m = l |
— |
{tn-\)x0—x1 |
•H(t-mx0)UVi |
|
+ |
iVz-VJ^ |
|
7 j [ / - ( m - l ) X |
|||
|
|
X t o - t j - |
i ) ( * - m t 0 ) |
|
Ф8 (0, $-t)dt\ |
(2.2.200) |
||||
|
|
|
для |
(п+1)-го |
обжатия |
|
|
|||
V (0, |
ф) = |
Р о 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
m=0 |
|
|
|
|
|
|
|
Lm=0
ф з ( 0 , ф - * ) Ѵ ( 0 , 0 ^ + j | 8 1 + ( 8 2 - 8 1 ) X
91
X |
2 |
т і Ѵ - т і о - І і ) - ^ ЧУ |
|
|
||
|
m=0 |
|
m = l |
|
|
|
|
2 m t 0 — 2 |
n |
|
Ф3 (0, ty — t)dt, |
(2.2.201) |
|
X |
^ ~ m t |
o ' |
||||
|
m=0 |
|
|
|
|
|
где Фз(0, гр) определяется |
выражением |
(2.2.154). |
|
|||
Заметим, |
что решение |
(2.2.199) |
справедливо только |
в том слу |
||
чае, если в период обжатия распределение мощности теплового ис точника по сечению раската можно аппроксимировать параболи ческим законом (который для принятой здесь модели раската как
0,31,
О |
2 |
Ч |
В |
8 |
W |
12 |
14 |
IE |
18 |
20 1 |
Рис. 2.11. Динамика |
изменения |
температуры |
в |
различных |
||||||
|
точках |
по сечению |
раската |
при ЛУО = 0: |
|
|||||
І — Х=0; |
Я — X = l ; |
III — А'=2; |
IV — Л = 3 ; |
V — Х=5; .V/ — Х - 10: |
||||||
|
|
|
|
VII — ось |
раската |
|
|
|
|
|
полуограниченного тела целесообразно заменить экспоненциаль ным законом). Конечно, такая аппроксимация возможна не всегда. Однако, если функция распределения по сечению раската мощности теплового источника может быть приближенно описана полиномом /2-й степени, изложенный в данном параграфе метод позволяет оты скать температурную функцию для прокатываемого металла.
Д л я |
иллюстрации всего сказанного приведем расчетные |
значе |
||
ния температурной |
функции ѵ(Х\\ т), полученные из |
выражения |
||
(2.2.116) |
для случая |
прокатки сляба толщиной 120 мм |
из |
слитка |
сечением 740X740 мм. Приняты следующие параметры теплообме
на: |
/г = 330 Мм; Кіі = 0,02; |
Кі 2 = 0,70; Ті |
= 2,50; т 2 = 0,05; |
т0 = 2,55; |
|
Р о 2 |
= 0,04; MY = M i = 3,64; До 0 =0,00; 0,05; |
0,10; 0,15; 0,20. |
Значения |
||
функции Ф{Хи |
т) взяты из приложения № 1. |
|
|||
|
Результаты |
расчетов представлены на рис. 2.11—2.20. Как вид |
|||
но из кривых, |
температура |
во всех расчетных точках колеблется в |
|||
92
4 |
• ' 6) |
Рис. 2.12. Распределение температуры по сечению раската в конце
пауз (а) и обжатий (б) |
при |
Аѵ0=0: |
1—8 — соответственно номера |
пауз и |
обжатий |
О |
Ô 2 |
4 |
а |
10 |
12 |
14 /6 |
16 |
20 |
т |
Рис. 2.13. Динамика |
изменения температуры в различных точ |
||||||||
|
|
ках по сечению раската при |
Ati0 =0,05: |
|
|
||||
/ — Х=0; |
П — Х=\; |
Ш — Х=2; |
IV — X=3; |
V — |
Х=5; |
VI - |
Л = 10; |
||
|
|
|
VII — ось |
раската |
|
|
|
|
|
|
|
5) |
|
|
|
|
лѴ = 0,05 |
|
0,32 |
1 |
|
1 |
|
|
|
|
||||
|
|
=0,05 |
|
|
||
|
|
0,28 |
|
|
||
|
|
|
|
' |
V |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
0,20 |
|
|
/ |
1 |
1 |
|
|
|
|
/ |
g |
|
OJE |
|
|
1 |
||
|
|
|
|
В 1 |
||
|
|
' 0,12 |
|
/ |
Ǥ |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
/ |
|
|
|
|
0,08 |
|
/ |
|
|
|
|
|
|
3 / |
|
|
|
|
0,01t |
|
l |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
0,00 |
|
|
|
|
|
|
> |
|
|
|
|
20 40 SO |
80 WO X, |
'0,01t |
20 . 0-0 |
SO 80 |
WO |
|
|
||||||
Рис. 2.14. Распределение |
температуры |
по сечению |
раската |
в конце |
пауз (а) |
|
|
и обжатий (б) при Ди 0 =0,05: |
|
|
|||
1—8— соответственно |
номера пауз |
и |
обжатий |
|
|
|
Рис. 2.15. Динамика изменения температуры в различных точ ках по сечению раската при Дс/0 =0,10:
/ — Х=0; П~Х-\; / / / — Л = 2 ; ІѴ — Х=3; V — Х=5; VI — X~\fi; VII — ось раската
Рис. 2.16. Распределение температуры |
по сечению |
раската в конце пауз (а) |
и обжатий (б) при Дио=0,Ю: |
||
/—8 — соответственно |
номера пауз и |
обжатий |
о |
г |
ц- в |
в |
w |
іг |
ѣ w |
id 20 т |
|
Рис. 2.17. Динамика |
изменения температуры в различных точ |
|||||||
|
ках |
по сечению |
раската |
при |
ДРо=0,15: |
|
||
/ _ Л ' = 0 ; |
ІІ — Х=\; |
ПІ |
— Х=2; |
IV — А'=3; |
V — Х=5; |
ѴІ — Х=10; |
||
VII — ось раската
о) |
|
|
|
|
|
5) |
|
|
|
|
0,32 |
|
|
|
|
|
0,32 |
\ |
|
|
1 |
|
|
0,15 |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
лѵ0 -0,15 |
|
»*/ |
|||
G,2ö |
|
|
|
У |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0,28 |
|
|
|
У |
|
'0,2k |
|
|
|
/ |
1 |
|
|
|
|
/ |
|
|
|
|
1" |
ОМ |
|
|
|
||
0,20 |
|
|
8 |
/ |
CL |
|
|
|
7 |
|
|
7. |
|
•о |
0,20 |
|
|
/ |
|||
|
|
В// |
|
|
|
|
в, |
|
||
Vi o.tß |
|
|
|
|
|
|
||||
>< |
|
|
|
|
Z^OJB |
|
Ц-/5 / |
|
|
|
0,12 |
|
|
|
|
^ |
0,12 |
|
|
|
|
0,08 |
|
vi |
|
|
|
|
|
/ |
|
|
3 |
|
|
|
|
0,03 |
3 |
Ï |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
ОМ |
|
|
|
|
|
ом |
2 |
|
|
|
-0,00ом |
А |
|
|
|
|
0,00 |
|
|
|
|
ko во |
|
80 |
wo х, |
|
'/ |
40 |
ВО 80 WO |
|||
|
го |
|
|
20 |
||||||
ft |
г 1 |
раскаі |
X,
Рис. 2.18. Распределение температуры |
по сечению раската в конце пауз (а) |
|
и обжатий (б) при Ді>о=0,20: |
||
1—8 — соответственно |
номера |
пауз и обжатий |
0,31 |
|
to |
--0,20 |
||
0,25
0,24
<ь
его
— 0,20 |
|
|
|
|
|
|
- -=r— |
|
|
0,1В |
|
|
et |
С.V |
Д'—1 |
— |
|||
0,12 |
V- |
|
|
||||||
0,08 |
• |
|
-/ |
|
|
|
-Ш |
||
V . — |
— / |
|
|
|
|
|
.1 |
||
ОМ . |
|
|
|
|
|
||||
1 . |
|
|
|
- V . |
, |
- V - |
|
Ш |
|
|
|
— |
|
|
|
|
|
|
|
0,00 |
|
|
|
W |
12 |
14- |
IB |
18 |
20 V |
0 |
2 4 |
6 |
|
||||||
Рис. 2.19. Динамика |
изменения температуры в |
различных |
|||||||
|
точках по |
сечению |
раската при |
Аѵ0=0,20: |
|
||||
І-Х=0; |
ІІ — Х=\; |
ПІ |
— Х=2; |
|
IV - Х=3; |
Ѵ — Х=5; |
VI — |
X=W% |
|
|
|
|
VII — ось |
раската |
|
|
|
|
|
96
соответствии с некоторым сложным гармоническим законом. Мак^ |
|
|
симальные значения амплитуды температурных, колебаний, имеют |
|
|
место на поверхности раската. По мере продвижения в глубь рас |
|
|
ката амплитуда колебания температуры уменьшается. В центре |
|
|
раската происходит ступенчатое |
повышение температуры за счет- |
|
тепловыделения от пластического |
формоизменения. |
, |
а) |
5) |
|
Ряс. 2.20. Распределение температуры |
по сечению |
раската в конце пауз (а) |
и обжатий (б) |
при ДУО=0,15: |
|
1—8 — соответственно |
номера пауз |
и обжатий |
Сопоставление результатов расчета показывает, что максималь ная неравномерность температуры по сечению раската имеет место в конце обжатий и повышается с увеличением номера пропуска.
Процессом теплообмена металла с окружающей средой охваче на незначительная часть толщины раската (под окружающей сре дой в данном случае следует подразумевать атмосферный воздух, охлаждающую воду и поверхность валков).
4—1712
ГЛАВА III
ТЕМПЕРАТУРНОЕ ПОЛЕ МЕТАЛЛА ПРИ ПРОКАТКЕ ТОЛСТЫХ ЛИСТОВ
В 'предыдущей главе получены аналитические выражения, опи сывающие температурное поле прокатываемого металла при усло вии, что инерционное время (время проникновения теплового воз мущения с поверхности в центр тела) превышает время прокатки. При прокатке толстых листов возможен случай, когда время прог катки превышает инерционное время раската. Это обстоятельство не позволяет считать исследуемое тело полуограниченным, что вно сит существенные усложнения в аналитическое решение задачи о температурном поле прокатываемого металла. Тем не менее вопрос о теоретическом исследовании температуры металла при прокатке на толстолистовых станах может быть решен. Некоторые аналити ческие решения приведены в данной главе.
1.РАСЧЕТ ПРИ РАВНОМЕРНОМ НАЧАЛЬНОМ РАСПРЕДЕЛЕНИИ ТЕМПЕРАТУРЫ ПО СЕЧЕНИЮ (1-й МЕТОД)
Прокатываемая заготовка представляет собой неограниченную пластину толщиной 2R, имеющую в начальный момент времени равномерно распределенную по объему температуру То. Начиная с момента времени ^ = 0, поверхности пластины двигаются друг дру гу навстречу со средней скоростью s/. С этого же момента времени внутри объема металла начинается конвективный массоперенос. Составляющие скорости течения частиц по координатным осям со
ответственно равны Sj, s2 |
и S3. |
|
|
|
|||
Среднее значение теплового потока, |
проходящего |
через |
поверх |
||||
ность |
пластины |
в течение |
времени t\ (длительность |
паузы), |
равно |
||
<7і. В |
течение |
времени |
t2 |
(обжатие) |
тепловой поток равен q2. |
||
За это же время в объеме металла выделяется теплота от пластичес кого формоизменения. В общем случае мощность этого тепловыде ления распределена по сечению неравномерно. С целью упрощения игнорируем это обстоятельство и считаем, что в период обжатия по объему металла действуют равномерно распределенные источники тепла мощностью W2. В течение паузы мощность теплового источ ника Wi = 0.
Если пренебречь градиентом температуры по направлениям у и z, то дифференциальное уравнение теплообмена для пластины за-
98
пишется следующим |
образом: |
|
|
|
|
|
|
|
дТ (X, t) |
д2Т (X, t) |
|
дТ(х, |
t) • |
. |
( 3 |
1 |
1 ) |
dt |
дх2 |
1 |
дх |
|
ср ' |
[ ° ' |
' |
' |
- ( Я - s i * ) < * < + ( / ? - s i * ) .
Это уравнение решаем при следующих краевых условиях:
|
дТ |
|
= 0; |
(3.1.2) |
|
|
дх |
|
|||
|
х=0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
дТ |
|
|
|
(3.1.3) |
|
дх |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Т(х, 0) = 7'0 |
= const, |
(3.1.4) |
||
где Т(х, t)—функция |
температуры |
в пластине, |
х — координата, |
||
W (t) = W2<p(t); q = q\ + {q2 — q\)y{t), |
|
причем функция ф ( 0 определя |
|||
ется соотношениями (1.6.3) и (1.6.4). Остальные обозначения встре чались раньше.
Приведем |
систему уравнений |
(3.1.1) — (3.1.4) |
к |
безразмерному |
|||||||||||
виду. Для этого используем следующие безразмерные |
величины: |
|
|||||||||||||
|
|
|
|
Х = ——относительная |
координата; |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
R |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Fo = -J~ |
критерий |
Фурье; |
|
|
|
|
|
|
||||
v(X, Fo) = Т ° ~ Т ( Х ' F o ^ — относительная |
избыточная |
|
темпера- |
||||||||||||
|
|
|
— Тс |
тура; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
Му=— |
безразмерная |
скорость |
конвективно- |
||||||||||
|
|
|
|
a |
го |
массопереноса |
в |
направлении |
х; |
||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
s\R |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
M |
I |
— |
безразмерная |
скорость движения |
по- |
||||||||
|
|
|
|
a |
верхности |
раската |
в направлении |
х; |
|||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||
Po(Fo) = |
|
|
— |
критерии |
Померанцева; |
|
|
|
|||||||
|
|
X (Т0 — тс) |
|
|
|
|
|
|
|
Ь = |
|
м\¥о. |
|
||
Ki(Fo) = |
— q |
^0 -*-^ |
критерий |
Кирпичева; |
|
|
|||||||||
Запишем |
систему |
уравнений |
(3.1.1) — (3.1.4) |
|
в |
безразмерном |
|||||||||
виде: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
дѵ (X, |
Fo) |
= |
діѵ (X, Fo) |
|
^ |
, _ |
Р о ) |
_ _ |
р |
0 |
F o ) |
|
|
|
|
dFo |
|
|
|
дХ2 |
|
1 |
дХ |
|
К |
|
1 |
К |
' |
|
|
4* |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
99 |
|