Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги из ГПНТБ / Тепловые процессы при обработке металлов и сплавов давлением учеб. пособие для студентов металлург. спец. вузов

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

23.10.2023

Размер:

54.3 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 67 / 647 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

Откуда
Т (ЛГ\|х6 > т 6 ) = Т0	— 0,155 (7-0 — Тс)		= 1250 — 0,155 (1250 — 30) =		1060° С .
IV. Расчет температуры в точке		А2
Д л я определения	температуры	в	точке А2	после шестого обжатия		можно
(так же, как и в предыдущем случае)			использовать решение для одномерной за
дачи. Это решение для функции ѵ(М/х6,			те) будет также описываться соотноше
нием (2.2.51). Однако	в этом случае функция			Ф(т) определяется	при	условии
M = 0,5.

Приводим численные значения этой функции:

Ф ( х 6 ) = Ф (16,386) = 1,885;

Ф (х6 — х,) = Ф (13,716) = 1,860;

Ф ( т 6 — х 0 — х ^ = Ф (Ю,985) = 1,810;

Ф ( х 6 — 2х0 — Х ] ) = Ф (8,254) = 1,710;
Ф (т б — Зх0	— T J ) =	Ф (5,523) =		1,575;
Ф ( х 6 — 4х0	— х х ) =	Ф (2,792)	=	1,300;
Ф ( t e - 5 т 0	- ч) =	Ф (0,061)	=	0,260;

Ф('г б — 'с о) =

Ф (13,655) =

1,858;

Ф (^б — 2х0 ) =

Ф (10,924) =

1,803;

Ф (Ч — З^о) =

Ф (8,193) =

1,706;

Ф (*б — 4t 0 ) =

Ф (5.462) =

1,570;

Ф (х6

— 5 х 0 ) =

Ф (2,731) =

1,293.

Отсюда

имеем

(М'2Ч,

х 6 ) = 0,019-1,885 +

(0,695 — 0,019) [ 1 , 8 6 0 + 1,810 +

1,710

+ 1,575

1,300 +

0,260) — ( 1 , 8 5 8 +

1,803+

1,706 + 1,570 + 1,293)] — 0,021 [(13,716

10,985 + 8,254 + 5,523 + 2,792 + 0,061) — (13,655 +

10,924 +

8,193 +

+ 5,462 + 2.731)] = 0,221.

Таким

образом,

безразмерная температура

точке

А2

ѵ(М2х,

т6 ) =0,221,

или в градусном

выражении

(М'2т,

т 6 ) = 7-0 — 0,221 (Т0 — Тс)

= 1250 — 0,221 (1250 — 30) =

978° С .

V. Расчет температуры в точке А 3

Точка

Аъ подвержена воздействию

тепловых

потоков как по направлению

Хи

так и по направлению Fi. Следовательно, для определения температуры в этой

точке	необходимо использовать			решение	двумерной		задачи		теплопроводности
(2.2.86). Применительно к рассматриваемому случаю							это	решение		запишется
следующим			образом:
v(M[i6;		A f 2 T 6 ; х 6 ) = КцФі (х6 ) + ( К і 2 — Кіі) {[Фі (х6 — x t ) +						Фх	(х6 — х0		— хх ) +
		+	Фі (х6 — 2х0 — Xj) +	Фг (х6 — Зх0	— Xj) + Фх		(х6 — 4х0 — Xj)			+
	+	Фх	(х 6 — 5х0 — xj)] — [ФІ (х6 — х0 ) +		Фі (х6	— 2х0 ) + Ф І (х6 — Зх0 )					+
+	Ф І (х6		— 4х0 ) + Фх (х6 — 5х0 )]} + КііФ 2		Ы +	( К і 2	— Кіі) {[Ф2 (х6			— хх ) +

Ф 2

(Ч — Ч — *l) + *2 (t6 —2Ч — t x ) + Ф 2

(т 6 — Зт 0 — Tj)

Ф2 ( t 6

— 4т 0 — ХІ) + Ф 2 (4 — 5т 0

— X!)] — [Ф2

(т 6

— х 0 ) + Ф 2 (т 6

— 2т0 )

+ Фг (ч

— ^ч) +

Фг (te — 4т0 ) + Ф 2 (т6 — 5т0 )]} — Р о 2

{[(т6

—

(-се — ч —

ч) + Ы —2 т о — Ч) +

(ч — Зт 0

— та) + (т 6 — 4т 0

— T J )

+ (te — 5ч

— ч)]

—

Кч —

Ч) +

(ч — 2т0 ) + ( t 6

— Зт0 )

(.Ч-4ч)

+ (ч-5ч)]}.

(2.2.102)

приведенном

выражении функции

Фі

и Фг определяются

соответственно

формулами

(2.2.83)

и (2.2.84). Значения этих функций

находим

из рис. 2.3:

Ф г Ы

Ф 2

(16,386) = 1,885;

Ф г С с в — ч)

Ф 2 (13,716) =

1.860;

Ф 2 ( ^ б — Ч — г О =

Ф 2 (10,985)= 1,810;

Ф 2 ( т 6 - 2 т 0 - т 1 )

Ф 2

(8,254) = 1,710;

Ф 2

(х6 —

Зч—

г 1 ) =

Ф 2

(5.523) =

1,575;

Ф 2 ( ^ - 4 т 0 - т 1 )

Ф 2

(2,792) =

1,300;

Ф 2

(ч — 5ч

— Ч) = ф 2 (0,061) = 0,260;

Ф2(^б — т0 ) =

Ф 2 (13,655) =

1,858;

Фг (Ч — 2ч)

Фг (10,924) =

1,803;

Фг (Ч — Зт0 ) =

Фг (8,193) =

1,706;

Фг ІЧ — 4 т о ) =

Фг (5,462) =

1,570;

Ф 2 ( т 6

— 5 t 0 ) =

Ф 2

(2,731) =

1,293;

Ф! (г6 ) =

Фх

(16,386) = 0,477.;

Фі (Ч — Ч) =

Фі (13,716) =

0,477;

Фі (Ч — Ч — Ч) =

Фг(10,985) =

0,477;

Фі (т 6 — 2х0 — тх ) =

Ф 2 (8,254) =

0,477;

Фі (Ч—

Зт 0 — х{) =

Ф І (5,523) =

0,477;

Фі (.4 — 4т 0

Ч) =

Фі (2,792) =

0,475;

Ф] (х6 — 5 т 0

— х{) =

Ф1

(0,061) =

0,226;

Фі (Ч -Ч)

Фі (13,655) =

0,477;

Фі (ч

— Ч) =

Фі (13,655) =

0,477;

Фі (т6 — 2х0) =

Фх

(10,924) =

0,477;

Фі (Ч. — Зт0 ) =

Фі (8,193) =

0,477;

Фі (ч — 4=4) = ф

(5,462) =

0,477;

Фі ( t 6 — 5 т 0

) = Ф ! (2,731) = 0 , 4 7 4 .

Подставляем численные значения в формулу (2.2.102):

ѵ(м\чі

Щч> ч) =

0,019-1,885 +

(0,695 — 0,019) [(1,860 +

1,810 + 1,710 +

1,575 +

1,300 +

0,260) — (1,858 +

1,803+ 1,706+ 1,570+

1,293)] +

+ 0,019-0,477 +

(0,695 — 0,019) [(0,477 + 0,477 + 0,477 +

0,477 + 0,475

0,226) — (0,477 + 0,477 +

0,477 +

0,477 + 0,474)] — 0,021 [(13,716

10,985 +

8,254 +

5,523 + 2,792 + 0,061) — (13,655 + 10,924 +

8,193

5,462 +

2,731)] = 0 , 3 8 4 ,

(2.2.103)

Таким образом,	получено значение температуры в			точке А3 после шестого
обжатия:
	в безразмерном		виде
	ѵ(м[х6;	М'2і; х 6 ) =	0,384,
	в	размерном	виде
Т(М[Ч;	М 2 х 6 ; х 6 ) = 1250 — 0,384(1250 — 30) = 7 7 7 ° С .
Г р а н и ч н ы е	у с л о в и я	II р о д а .		Н е р а в н о м е р н о е

р а с п р е д е л е н и е т е м п е р а т у р ы в н а ч а л ь н ы й м о м е н т в р е м е н и . Р а в н о м е р н о е р а с п р е д е л е н и е м о щ н о с т и т е п л о в ы х и с т о ч н и к о в по о б ъ е м у о ч а г а д е ф о р м а ц и и

На поверхность полуограниченного тела воздействует периоди чески изменяющийся во времени тепловой поток, имеющий значе ния <7і в течение времени h (пауза) и q2 в течение времени t2 (об жатие) . Примыкающий к поверхности тела слой толщиной Н0 имеет в начальный момент времени параболическое распределение темпе ратуры по сечению. По объему тела в течение времени обжатия t2 выделяются равномерно распределенные тепловые источники мощ ностью W. На протяжении всего процесса теплообмена в объеме полуограниченного тела происходит конвективный массоперенос. Скорость перемещения частиц металла имеет следующие составля ющие по координатным осям: su s2 и s3. Граница полупространства перемещается с постоянной скоростью s/.

Если пренебречь составляющими градиента температуры по осям у и z, то для описания закономерностей теплообмена внутри изучаемого тела будем иметь дифференциальное уравнение (2.2.1) [или (2.2.6), если все величины выразить в безразмерном виде]. В по следнем случае краевые условия задачи запишутся следующим об разом:

д ѵ	1	= - K î ( t )		(2.2.104)
	л,. • M t
	V (со-, t ) Ф оо;			(2.2.105)
	дѵ	=	0;	(2.2.106)
	дХ,
		Х , = оо
		1 —		(2.2.107)
где			Bin
		Tx-T(Xlt	т> .
v(Xv	T ) :
		7 - 1 - 7 *

Ti — температура на поверхности заготовки в момент выдачи из печи;

j •р

Аѵ0—— ~~ безразмерная разность температур по сечению заго-

товки	в момент	выдачи	из печи; Т0— температура					в центре		заго
товки	в момент	выдачи	из	печи; В\0		= H'uh — критерий			Био	для
слоя	полуограниченного		тела	толщиной Н0(И0— половина началь
ной высоты раската); Po(t) —					ных)			«	гт
					Х А 2 ( г ѵ1 - 7 ' С )		критерии		Померан-
цева;	Кі(т)=			критерий		Кирпичева.
	Ы(Тг-Тс)

Остальные обозначения встречались раньше.

Начальное условие (2.2.107) находится в противоречии с гранич ными условиями (2.2.105) и (2.2.106). Поэтому целесообразно заме

нить его следующим соотношением:
ѵ(Хѵ 0)=ѵ0-	д©0 ехр( — A^F) .		(2.2.107а)
где F = f/h; f — постоянная,	зависящая от	характера	начального
распределения температуры по сечению.
Вводя новую систему координат (2.2.10а)		и применяя к получив

шейся системе уравнений интегральное преобразование Лапласа —

Карсона,	получим
dW{X,		р) .	dV(X,p)			TT , ѵ	,	Т=Г/ л	I
	Ю Ѵ +		dX		Р	(	' ^ =	Р о ^ ~ ^ о +
			+ РАЩЫр(			—	XF);		(2.2.108)
			dV (X,	р)		= - К 1 ( р ) ;			(2.2.109)
			dX			= - К 1 ( р ) ;			(2.2.109)
			dX
			Ѵ{со,		р) ф оо;				(2.2.110)
			dV	(X,	р)		=0,		(2.2.111)
				dX			=0,		(2.2.111)
				dX		А = оо
						А = оо
где Кі(р)	и	Ро(р)	определяются			соответственно			выражениями
(2.2.23) и	(2.2.24).
Общее	решение		однородного			дифференциального уравнения

(2.2.108) имеет следующий вид:

Ѵ(Х, р) = Аехр[-х(уГ^		+ р	м_
			2
+ Я е х р \| * ( \| /	м 2 ,	M
+ Я е х р \| * ( \| /	т+р~т

Для отыскания общего решения неоднородного дифференциаль ного уравнения (2.2.108) используем метод вариации постоянных. Варьируя постоянные

V(X,	р) = А(Х)ехр[~х(]/f		+ p +	f) +
	+	В(Х)&хр X ( т Л АР	M	(2.2.111а)

имеем

Л ' ( * ) е х р

і И п

= 0;

Af2 . .

Af I

+ Y

)exp

(2.2.1116)

X e x p

/?Дг»0 ехр(— F X ) .

Определив

функции Л (Я) и £ ( Z )

из выражений

(2.2.1116), по

лучаем

Оібщее

решение

неоднородного уравнения

(2.2.108):

Ѵ(Х,

р)=-ьѵ0

р ехр ( —

FX)

P + MF — F2

ехр

А12

Af2

ехр

I X

AI2

Af2

+ C e x p [ - A ' ( l / f

+ Р +

Po(p)

•4-г>0. (2.2.112)

Удовлетворяя

(2.2.112)

граничным

условиям

(2.2.109)-

(2.2.111), находим постоянные С и D:

с _

~~Ki(jp)

Р^Щ

Afä

„ -,

/ ~ A f 2

A12

Т + ' +

(2.2.112a)

(je + AJF — ^2)

D-	•pAv0	(2.2.1126)

Подставляя (2.2.112a) и (2.2.1126) в выражение (2.2.112), нахо дим решение поставленной задачи в области изображений:

V(X,

p)-v0=-bv0G(X,

p) + F(X,

p)-Q(p),

(2.2.113)

где

pF exp

p ехр ( —

FX)

0(Х, р)

(2.2.113a)

' p + MF

—F?

Af2

(p + MF — ^2)

(2.2.1136)

exp

(2.2.113B)

№

Q.(p)-

(p)

(2.2.11?r)

Обратное преобразование функции (2.2.113a) получим, исполь

зуя таблицы операционных соответствий [62]:

0(Х, ty)

exp[-FX-(MF-F*)ty]

•erfc

РАМ-F)

r 7 J

2(M

—

exp[-(M—F)X—(MF—F*)ty]

Xerfc

• — - exp [ -

F X - ( M F — F2) ф] X

2 v T

erfc

(2 . 2 . Ша)

2VV

[

Д л я неподвижной системы координат Хи

х выражение

(2.2.114а)

запишется следующим

образом:

0(XV

x) =

exp[-FX1-j-(MlF^F^x\-

r /

2 (M

—F) erfc ;

2 / T

exp[-(M-F)(X1-M'lx

+ Fx)}

2 (M — F)

3—1712

X erfc

F + &-M\Wx-±ftxv[-FXx

2Vx

- f

( Л Г ^

т] erfc

Vx.

[2.2.1H6)

Обратное преобразование выражения (2.2.1136) получено в пре

дыдущем разделе и имеет следующий вид:

для

(п + 1)-й

паузы

F{XV

t H K W * ! ,

т Ж К і а - К і ^ Ф І * ! . f - ( « - l ) - f o - ^ i ] X

X K ] [ t - ( m - l ) t 0 - t i ] - O ( A ' 1

, t - m T 0 ) 7 ) ( T - m t 0

) ] ,

(2.2.115)

для

(п + 1)-го

обжатия

F(XV

x) = Kh®(Xv

т) +

( К і 2 - К І ! )

ф ( ^ і .

t - m t o - t j ) X

m=0

X T j ( t —mt0 —tj—2 ф № ,

t - m t 0 ) 7 ] ( T — m t 0 ) ] ,

(2.2.115a)

р д е Ф ( Х ь т )

определяется

соотношением

(2.2.38).

Оригинал

функции Q{p)

записывается

следующим

образом:

для

(п + 1)-й

паузы

Q(t) =

Po2 2 { [ T - ( m ~ l ) T 0

- t ] ] r j [ t - ( m -

1 ) ^ - ^ ] -

m =

— ( t — m t 0 ) r , ( t

— / n t 0 ) } ,

(2.2.1155)

для

(п + 1)-го

обжатия

Q ( T ) = P O 2

2 ( t - m t 0 — t j r ^ t - m t 0 — t i ) -

(2:2.1153)

— 2

(f — n*t0 )7|(t—mt0 )

m =

Окончательно можно записать

v{Xv

x)-v0^-kvQG(Xv

x)+F(Xv

t ) - Q ( t ) .

(2.2.116)

Таким образом, поставленная задача решена. Заметим, что, как и в предыдущем разделе, двумерное температурное поле, обычно имеющее место при прокатке на обжимных станах, можно найти, применяя принцип суперпозиции к решению одномерной задачи теп

лопроводности (2.2.116).

бб

Г р а н и ч н ы е у с л о в и я II р о д а . Р а в н о м е р н о е р а с п р е д е л е н и е п о с е ч е н и ю р а с к а т а т е м п е р а т у р ы в на ч а л ь н ы й м о м е н т в р е м е н и . Н е р а в н о м е р н о е р а с п р е д е л е н и е м о щ н о с т и т е п л о в о г о и с т о ч н и к а в т е ч е н и е в р е м е н и о б ж а т и я

Основное затруднение при решении задач теплопроводности с учетом неравномерности распределения мощности теплового источ ника по сечению раската заключается в сложности установления закона этого распределения. Как упоминалось ранее, для отыскания функции распределения источников необходимо предварительно изучить поле скоростей сдвиговых деформаций, что само по себе представляет очень сложную задачу механики сплошной среды. Поэтому мы оставляем в стороне вопрос о решении этой задачи и предполагаем, что закон распределения мощности теплового источ ника по сечению раската при обжатии известен и что этот закон можно аппроксимировать полиномом п-й степени. В качестве при мера решаем задачу теплопроводности при параболическом распре делении мощности теплового источника (п = 2). Задача формулиру ется следующим образом. Слой полуограниченного тела толщиной Н0, примыкающий к поверхности, имеет в начальный момент вре мени равномерное распределение температуры по сечению. С этого момента времени на поверхность тела воздействует периодически изменяющийся во времени тепловой поток, имеющий значение qi в течение времени t\ (пауза) и q2 в течение времени t2 (обжатие). Под действием внешних сил поверхность тела перемещается со средней скоростью s/.

В слое толщиной Н0—s/t в течение времени t2 действует тепло вой источник W, мощность которого распределена по сечению по параболическому закону (в течение времени t\ мощность источника равна нулю). На протяжении всего процесса теплообмена в объеме полуограниченного тела происходит конвективный массоперенос. Скорость перемещения частиц по координатным осям имеет состав ляющие Si, s2 И S3.

Пренебрегая градиентом температуры в направлениях, парал лельных поверхности полуограниченного тела, запишем дифферен циальное уравнение Фурье— Кирхгофа:

дѵ(Хи	т ) _	д*ѵ(Хъ т)	M	dv(Xu-z)
&	~	дХ2		дХг

и краевые условия

дѵ{Хь т)		= - K i ( t ) ;	(2.2	.118j
дХ,
	х, = м	t

	і){оо,	Х)фсо;	(2.2	.119)

			= 0 ;	(2.2.120)
		1	Л ! = СО
где		©(А'р	0) = 0,	(2.2.121)
где
v{Xv t ) =	—5	, Ві0 = /г//0 ; P o ( t ) — ф у н к ц и я		теплового
		—
источника	для	поверхности.

Остальные обозначения встречались раньше.

Дифференциальное уравнение (2.2.117) правильно описывает процесс теплопроводности в области М / т ^ Х і ^ В і о . Дл я значений А"і>Bio оно будет давать неправильные результаты (с физической точки зрения). С целью устранения этого недостатка аппроксимиру ем эспоненциальным законом параболический закон распределения мощности теплового источника. Тогда дифференциальное уравнение

(2.2.117) запишется следующим образом:
— -	—		•М1—ѵ		J'	; — Ро (т) ехр [ — (Х1 — Жіт) g],
dz		дХі			дХі
							(2.2.121а)
где g — постоянная, зависящая от характера распределения								мощно
сти теплового источника по сечению.
Применяя подвижную систему координат X, \\|з, запишем								уравне
ния (2.2.118) — (2.2.121, а) следующим							образом:
дѴ(Х,	if)	dW (X,	if)	мдѴ(Х,			р 0 ( ф ) е х р ( —g-J^T);	(2.2.122)
			'	мдѴ(Х,			р 0 ( ф ) е х р ( —g-J^T);	(2.2.122)
dif		дХ2	'		дХ
			дѴ (X,		ф)	= - К і і		(2.2.123)
			дХ			= - К і і		(2.2.123)
			дХ
				Ѵ(оо,		ф) =	0;	(2.2.124)
			дѴ		(X, ф)		^ О :	(2.2.125)
					дХ		^ О :	(2.2.125)
					дХ
				Ѵ{Х,		0) =	0.	(2.2.126)

Подвергнем дифференциальное уравнение (2.2.122) и граничные условия интегральному преобразованию Лапласа — Карсона. Полу чаем обыкновенное неоднородное дифференциальное уравнение

äwix,	Р ) ^ м	äV(x,	P	) _	P V [	X T р ) =	р	-	0	{ р ) е х р { •gX)	(2.2.127)
dX2	'	dX
и граничные условия
			dV	(X,	р)	- К	І (	/	0	;	(2.2.128)
				dX		- К	І (	/	0	;	(2.2.128)
				dX
				Ѵ(оо,		р) = 0;					(2.2.129)

		dV (X, p)			(2.2.130)
		dX			(2.2.130)
		dX
Общее	решение	однородного	дифференциального		уравнения
(2.2.127)
	Ѵ(Х, /?) =	А ехр
	4-В	ехр И /	Л12 .	M	(2.2.131)
Общее	решение	неоднородного дифференциального			уравнения

(2.2.127) находим, используя метод вариации постоянной. Варьи руя постоянные

Ѵ(Х, р) = А(Х)ехр\	~Х{)/f	+ P +		-j
4-В (X) ехр И / т		4-Р-	М	(2.2.132)

имеем:				+
Л'(Л") ехр - * ( / т + ' - т )
4- В'(Х)ехр	*(\|/f+'+f)H

- л - т ( / * + Р + $ ) « » [ - х ( у Г * + Р + * ) ] +

+*'(J0(l/^-f)«p[^(l/fT;-f)]-

=		Pb(p)exp(-gX).
Определив функции	А (X)	и В ( Х ) , получаем				общее решение
уравнения (2.2.127):
Ѵ(Х, р) =		Ро (р)	exp(-gX)			+
Ѵ(Х, р) =	p + Mg — gi		exp(-gX)			+
	p + Mg — gi
Ро(р)ехр	х ( \ / - J + P+				м_ \	+
Ро(р)ехр	х ( \ / - J + P+			2
	/ .	(V			2 '
Л12	/ .	/ . « 2

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 67 / 647 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ

#
27.10.202321.79 Mб24Теория линейных электрических цепей учеб. пособие.pdf
#
29.10.20238.91 Mб5Теория познания и современная наука..pdf
#
29.10.202310.17 Mб18Теория поршневых двигателей внутреннего сгорания Метод. пособие.pdf
#
22.10.202315.01 Mб56Теория стрельбы из танков учебник..pdf
#
30.10.202318.58 Mб17Теплов Л. Очерки о кибернетике.pdf
#
23.10.202354.3 Mб15Тепловые процессы при обработке металлов и сплавов давлением учеб. пособие для студентов металлург. спец. вузов.pdf
#
19.10.20235.37 Mб5Теплообмен в электродуговом нагревателе газа..pdf
#
19.10.20234.15 Mб6Теплофизика и термодинамика [сборник статей]..pdf
#
29.10.20231.78 Mб6Теплоэнергетика СССР краткий справочник..pdf
#
29.10.20234.25 Mб3Тепляков Г.М. Александр Григорьевич Столетов.pdf
#
19.10.20237.36 Mб4Тераи, К. Современное состояние односторонней автоматической сварки.pdf