книги из ГПНТБ / Тепловые процессы при обработке металлов и сплавов давлением учеб. пособие для студентов металлург. спец. вузов

^ erfc

X

м

2V

t

2_У± exp

X

M

y+

YnM

2 Ѵ Ч

e x p ( - A ! X ) e r f c / _ X

М у -

(2.2.36)

V*

exp(-MX)cdc

I X

M

(2.2.37)

Ш

2

Ф (Xv

t ) =

?^4:exp

X,

2Уг

У л

— (— 4-Х, —Мл)

erfc/

921

\Мм

s

\ 2

у

ехр [ — М(Х1

—

М[х)] erfc

X:А_

-і-(м[+м)Ух . (2.2.38)

2М

2 ] / ,

2

Н т Л . 0

[ Ф ( * . 1 > ) ] = ^ е

х Р (

- - ^

X erfc

X

; (2.2.39)

2 ^

Ііш М-+0

[ф №. *)]=1/я

ехр

Ух

(Л^—Л*іт)егіс

X,

м\

1/t

(2.2.40).

2]А

вижной

границей

и граничными

условиями

I I рода. Табулирован­

ные значения

этой

функции

2,00

приведены

в

приложении 1.

На

рис. 2.3 и 2.4

представле­

1,80

ны

графики

функций

Ф(Хи

1,60

т)

для

подвижной

границы

0,1

(т. е. Х\ = М/х)

при

различ­

IAO

ных значениях M и времени

1,20

(принято Мі = 0).

1,0

Д л я

окончательного про­

V w

ведения

обратного

преобра­

зования

выражения

(2.2.29)

0,80

1,5

используем

теорему

запаз­

0,50

дывания, которая

состоит в

2,0

следующем:

-Л.П-

Рис. 2.4. Зависимость функции

ФЩ/

т, т)

от величины M в различные

моменты

вре­

мени

1-я пауза

( О ^ г ^ ^ т і ) :

решение в области изображений

Ѵ(Х,

/>) =

КііФ(Л", Р)\

(2-2.42)

решение в области действительной переменной

Ѵ(Х,

ф) =

Кі 1 Ф(Л', Ф);

(2.2.43)

/-е обжатие ( т і ^ а і ^ т г о ) :

решение в области изображений

X®(X,

р)

^ і - е х р ( - / л г 1 ) ;

(2.2.44)

Р

решение в области действительной переменной

Ѵ(Х,

^) =

Ki^(X,

ф) +

( К і 2 - К і 1 ) Ф ( А ' , Ф - t O X

X

-Ч (Ф -

xj -

Р о 2 (ф - 1 , ) Tj (ф - 1 , ) .

(2.2.45)

2-я пауза

( т о ^ г | ) ^ т 0 + Т і ) :

решение в области изображений

Ѵ(Х, р)=Кі1Ф(Х,

/?) +

( K i 2 - K i 1 ) [ e x p ( - / ? t 1

) X

X®(X,

р)-ехр(-рх0)Ф(Х,

pïï-^expi-pxj;

(2.2.46)

р

решение в области действительной переменной

Ѵ(Х, ф) = К І ! Ф ( ^ , Ф Ж К І 2 - К і , ) [ Ф ( Л \ ф _ ^ ) т і ( Ф — r t ) -

_ Ф ( Л \

ф - г 0 ) 7 ] ( ф - г 0

) ] - Р о 2 ( ф - г 1 ) 7 1 ( ф - г 1

)

(2.2.47)

для (п + 1)-й

паузы

Ѵ(Х, ф) = К 1 х Ф ( ^ ,

Ф) + (КІ2 -Кі1 )2 < ф ^ '

ф - ( « - і ) х

. X t o - t J ТІ[Ф—(m— l)tr 0 — ti] — Ф (^Г,

* - m t 0

) i j ( * - m t 0 ) } -

- Po2 2

( m - 1) * o - * i l 1

( m - - ) r o - r i l -

m =

l

-

(ф -

mt0 ) -q (Ф— mt0 )} ;

(2.2.48)

для (п + ^)-го

обжатия

^(Х,Ф) = К і 1 Ф ( ^ , Ф) +

( К і а - К І ! ) 2

Ф ( ^ ,

Ф - о т Ѵ - t j x

m-0

-0,0t

л

ІБ IB 20 T

0

2

U

6

W

12

m

Рис. 2.5. Динамика

изменения вс

времени температуры по­

верхности / и центра раската

/ /

для

(п+1)-й

паузы

ѵ(Хѵ

т) = Кі1 Ф(А'1 ,

т)4-(Кі2 -КІ!)2

{ ® [ ^ 1 - c - ( m - l ) T 0 - t 1 ] X

m =

l

m - 0

X ч (t — m t 0 — t j ) - 2 Ф

t - mt 0 ) 7) (t — mx0)

m = l

"

ft-

— Po2 2 (t~mx0

— х1)уі{х— тхй— xj — ^

(t — mt 0 )т](t — mt0 )

_m=0

m =

l

_

(2.2.51)

В і 0 = 1 0 ;

Л =

330 \\м;

К ч =

0,02;

Кд2 =

0,70;

t 1 = 2 ,

5 0 ;

* а =

0,05;

t 0 = 2 , 5 5 ;

Л1І =

Л11 =

3,64;

Р о 2 =

0,04.

Безразмерное

время,

соответствующее концу третьей

паузы,

равно 2то+Ті =

=2(2,50+ 0,05)

+2,50=

7,60.

Д л я расчета

используем решение

(2.2.50),

которое

в данном случае

запи­

шется так:

V

[M[z,

Т ) =

0.02Ф (7,60) + 0,68 [Ф (5,10) — Ф (5,05)

+

Ф (2,55) — Ф (2,50)] — 2 Р о 2 т 2 .

Функция

Ф(т)

определяется

выражением

(2.2.40) после подстановки

значе­

ния координаты

расчетной

точки

Хі =

М\'х:г

+

1,597— 1,581)—2 0,040-0,05 = 0,082 —0,004 =

0,078.

Таким образом, безразмерная температура поверхности

раската

в конце

третьей паузы

составляет 0,078.

дифференциального

уравнения

теплопроводности

/

dv(Xh

Yh

х)

д2ѵ(Хь

Yu

x) ,

дѢ(Хх, Yh

x)

дХ\

f

•

ÔY\

• M ,

àv(Xb

Ki,

T)

•Mo

dv(Xh

Y1

•Po(t)

(М[х <

< оо,

A f 2 t < r ! < o o ) ,

(2.2.52)

при следующих краевых

условиях:

дѵ

- K i ' ( t ) ;

(2.2.53)

дХі

X^Mf

дѵ

- K i " ( t ) ;

(2.2.54)

ÔY

(2.2.55)

дѵ(Хъ

Ylt

x)

0;

(2.2.56)

дХг

X,=oo

(2.2.57)

= 0:

(2.2.58)

К, = oo

(2.2.59)

тепловому потоку, который проходит через

поверхность Х\ — М\'х;

Кі"(т) — критерий Кирпичева, определенный

по тепловому

потоку,

который

проходит через

поверхность Уі = М2 Ѵ, M] — компонент

безразмерной скорости течения частиц металла

в направлении

Х\\

М2 — то же в направлении

Уь М/—безразмерная

скорость

движе­

ния поверхности раската в направлении Х\\

М2'

— то же в направ­

лении У].

Под

функцией ѵ(Хи У ь

т) в выражениях

(2.2.52) — (2.2.59)

сле­

дует понимать температурное поле области,

образованной

пересе­

расположено

в вершине двугранного

угла

XiQY]

(рис. 2.6).

При

этом считаем,

что призма /—2—3—4 —4'—V—2'—3'

с точки

зре­

ния теории теплопроводности ведет себя в

направлениях Х\

и Y\

как полуограниченное

тело. Это положение вытекает из обсуждав­

шегося выше

вопроса

об инерционном

времени, которое при про-

Х = Х1 — М1х,

У=У1—М2х,

ф = т .

(2.2.60)

Принимая во внимание, что

v(Xv

Ѵъ

х) = Ѵ(Х,

V,

ф),

(2.2.61)

а также следующие соотношения [63]:

дѵ

дѴ

дХ

, дѴ

дѴ

1

д\>

дѴ

(2.2.62)

дХг

дХ

дХх

dY

дХх

д Ѵ

дХ

дХ

1

1

аф •

д^ѵ

-д

х

(—]

dW

(2.2.62а)

дХ\

дХ

[дх)

дѵ

дѴ

дХ

, дѴ dY

дѴ

дѴ

(2.2.626)

дХ

дГ1

1 дг

• дУі

дь

•

дУі

дГ

1

д2ѵ

д

(дѴ\

_

д?Ѵ

(2.2.62B)

дѴ\

[дУ

) ~

дУ2

дѵ

дѴ

дХ

,

дѴ

дГ .

дѴ

сіф

дг

дХ

dz

'

дГ

дг

1

d>

дХ

•^2 —

+ —

,

(2.2.63)

запишем систему

уравнений

(2.2.52) —(2.2.59)

следующим обра­

зом:

дѴ(Х,

Y, ф) _

dW(X,

Y, ф) t

dW(X,

Y, ф) |

дѴ

= 0,

(2.2.68)

дХ

Х= (

Ѵ{Х,

Y, ф ) | г = с о # с х э ,

(2.2.69)

дѴ

- О ,

(2.2.70)

dY

^

Ф)Іф_о = ° .

(2.2.71)

д2Ѵ(Х, Г , р) •

dW(X,

Y, p)

•M,

dV(X,

Y, p)

дХ2

dY2

dX

-My

дѴ(Х,

Y,

p)

•pV(X,

V, p) = Po(p).

(2.2.72)

dY

дѴ

= - К і ' (р),

(2.2.73)

дХ

х=о

дѴ

(2.2.74)

дГ

іу=о

Ѵ(Х,

У,

p)\x,ao^œ,

(2.2.75)

дѴ

=

0,

(2.2.76)

дХ

ІХ= оо

Ѵ(Х,

У,

рПу^фоо,

(2.2.77)

дѴ

•0.

(2.2.78)

дѴ

Общим решением дифференциального уравнения (2.2.72) яв­

ляется функция

Ѵ(Х, У,

p)=Ä(p)exp

+

+

ß ( p ) e x p

+

+

С(/?)ехр

У

M,

+ 7 3 ( / ? ) е х р [ г |

Mi

PO (p) .

(2.2.79)

Удовлетворяя общее решение (2.2.79) граничным условиям

(2.2.73) — (2.2.78), находим:

В(р)

= 0,

D(p)

= 0;

А(р) =

K î ' (/>)

M X

+

2

У

4

'

С{р):

КГ" (/>)

Y

ехр

X

Af,

V

Mi

+

р

Ѵ(Х, V, р) = КѴ{р)

+ / 4

M,

+

р

ехр

мі

+ р

Po

(p)

(2.2.80)

- fKi"(/>)

Af,.

Ml

+

+ P

Обозначив

ехр — X

AT*

+

P

Ali

Mi

+

P

M,,

/ 4

exp

< W P)-

A l ,

Mi

+

+ p

вительной

переменной:

для (п +1 )-й

паузы

Ѵ(Х,

У,

ф) = КіІФ,(А-> ф) + (КІ2—Кіі) 2

< ф і [ * ' Ф -

m =

l

- ( ф - т т 0 ) т ) ( ф - т т 0 ) } ;

(2.2.81)