книги из ГПНТБ / Тепловые процессы при обработке металлов и сплавов давлением учеб. пособие для студентов металлург. спец. вузов

для (п + 1)-го

обжатия

Ѵ(Х,

V, ф) = К Ц Ф 1 ( А ' , t ) 4 - ( K i 2 - K i l ) 2 ф і ^ '

m=0

X T j ^ - m t o - T j ) —2

ф і ( ^ . ф - / и - С о ) г і ( Ф - ^ о ) + К І І Ф 2 ( Г , «

+

ів-1

+ ( K i 2 - K i ï ) 2 Ф 2 ( К , * - m r 0 - t 1 ) i i ( T ' - m t 0 - t 1 ) -

. m - 0

2 ( Ф -m r 0

~2

Ф г ( К > ^ - m t 0 ) 7 i ( ^ - m t 0 ) - P O 2

— t ^ T j ^ - m t o -

m - l

— 2

№ ~ т і Г

о ) і ( Ф - о т Г о )

(2.2.82)

где

K i ' i и

K i ' 2 — безразмерные

тепловые

потоки,

действующие на

поверхность

Х = 0 соответственно в течение

паузы

и обжатия;

Кі"і

и Yd" 2— то же для поверхности

У = 0.

ехр

/

Х2

М2Х

My

X

M

^ e

d c

{ ^ +

- f y

t

) r ;

( 2 - 2 - 8 3 )

t ,

e x P

/

У2

+

Aft

* +

Ф,

\

4*

4

2

о

—

er fc

Y

,,

M}

Yt

)\dt.

(2.2.84)

2

\ 2 у Т

2

Переходя к

неподвижной системе

координат,

получим искомое

пературы по объему металла при прокатке на

обжимных

станах:

для

(п + 1)-й

паузы

V{XV

Yv

Г) = К І ; Ф і ( А ' 1 ,

t ) + (Ki2-Kii)2

< Ф І І * І .

* ~

— ( m — l ) t 0 — t j l i l t —(от— l ) t o — t J — Ф , ^ , t — mt 0 )

X

л

Х-п(і-пПо)}

+ КііЩГѵ

T ) + (Ki2 -Kiî)2

(фЛГѵ

t

-

m =

l

•{m—

l ) t 0 — t i ] r , [ t — (m— l ) t 0 — т,] — Ф 2 ( К И

t — mt 0 )r,(t — mt0 )} —

л

- Р ° г 2

1 ) г 0 - т , ] г ( [ т - ( т - 1 ) т 0 - т , ] -

— ( t — т т 0 ) г , ( т — m t 0 ) } ;

(2.2.85)

оля

(п + 1)-го

обжатия

ѵ(Хг,

Yv x)=Kh<S>x(xv

t ) + ( K i 2 - K i i )

m « 0

X T,(t — m t 0 - t x ) — У

Ф^Л*!,

t — m t 0 ) 7 ] ( t - m t „ ) + КіІФ2 (К1 , t) +

m =

l

+ ( К Ь - К Ц ) 2

ф 2 ( г і > т — m t o - t ^ T j ^ - m r o - t J -

.m-o

V

Ф2 (К!,

х-тх$ц{х-тт0)

P o 2 X

X 2 ( t - O T T o - t ^ r ^ t - mt0 — t j — 2 ( t _ m x u ) r \ ( x — mx0)

m=0

m-l

(2.2.86)

та в течение пауз и обжатий имеют

постоянные средние

значения

( K i ' i , Кі"ь Кд'г и Кі"г)-Постоянным

принято и значение

мощности

одномерной задачи теплопроводности

(2.2.50) и (2.2.51). В соответ­

ствии с этим методом для граничных условий I I рода

ѵ(Хѵ

Yv

x) = vl{Xv

х) + ѵ2(Уѵ X),

(2.2.87)

где vi(Xi, т) —решение

одномерной

задачи

теплопроводности

для

полуограниченного

тела, занимающего

область

М/х^Х^оо;

v2(Y\, т) — решени е

одномерной задачи теплопроводности для по­

луограниченного тела, занимающего область

M2r^Yi^.oo.

В соответствии с этим обстоятельством

в дальнейшем

будем на­

ходить только решения

одномерных

задач

теплопроводности,

так

перечного сечения раската уменьшаются

как

в направлении Хи

так

и в направлении У]. Возможен иной случай,

когда указанные

раз­

меры уменьшаются в одном направлении

(например, Уі), а в дру­

^ о о

(т. е. рассмотрим

случай,

когда

размеры

прокатываемой

за­

готовки увеличиваются

в направлении X t

) . Дл я этого

необходимо

решить дифференциальное уравнение

теплопроводности

дѵ(Хъ

x) =

дѢ(Хи

^

м

дѵ(Хъх)

От

дХі

дХі

Mit < A r 1 < o o

(2.2.88)

при следующих краевых

условиях:

дѵ

=

- К і ( т ) ;

(2.2.89)

дХ,

ѵ(со,

х)фоо;

(2.2.89a)

д ѵ

1

= 0 :

(2.2.896)

дХ-,

v(Xv

0) =

0.

(2.2.89B)

Вводя новую систему координат

преобразуем

систему уравнений

(2.2.88) — (2.2.89в)

к

следующему

виду:

ÔV (X, Ф)д

g p j f j o

_ м

аѵ (X, ф) _

д<\>

дХ2

дф

У Т '

Ѵ ^

^

'

Ѵ

'

дѴ(Х,

ф)

Кі(Ф);

(2.2.91)

дХ

V (со,

ф ) / о о ;

,

(2.2.92)

дѴ(Х,

ф)

=

0;

(2.2.93)

Ѵ(Х%

0) =

0,

(2.2.93а)

где

М = Мі —

Мѵ

ä ^ ^ _ M

J V i ^ ^

p V { X ^ ) = = p o ( p ) i

{ 2 2 М )

аЛг

ал

Граничные условия получаются в форме

(2.2.19) — (2.2.21). Об­

щее решение дифференциального уравнения

(2.2.94)

Ѵ(Х,

р) =

А(р)ехр

-

X

M2

,

M

+

+ i

^ р

4

' и

2

+2(/0exp[*(j/" ïf+P

Ро (p)

(2.2.95)

Удовлетворяя общее решение (2.2.95) граничным условиям

(2.2.19) — (2.2.21), находим

В(р)

= 0; А(р)

=

-

Кі (р)

М2

M

Отсюда решение задачи в области

изображений

exp

f М2

м

4

+Р~Ч

Po

(p) (2.2.96)

Ѵ(х,

Р)=КІ(РУ-

M

4

+P~Y

Принимая во внимание соотношение

е х р [ _ ^ ( | / ^ + ^ - ^ ) ] ^ ф [ е х р [ - (

AJ2

Х2

M

— t + —

X

4

At

,W2

P

M_

V nt

+

\ ï \ t

(2.2.97)

Z

1

для

(п + 1)-й

паузы

Ѵ(Х,

Ѵ=Кі1Р(Х,

ф)+(Кі 2 - Кч ) 2

(р[х>

^~(т-1)х0-х,]Х

Хі[ф — ( о т — ѴХо—хД — РіХ,

Ф — / п т 0 ) т ) ( ф - т г 0 ) } -

n

m = l

-№-тх0)т\(у-тх0)};

(2.2.98)

1

1

"2

1

*

1

- ^

Т

1

1

1

сплошная линия — перед прокаткой,

штрихо­

вая — в

конце шестого

обжатия; Те — время от

начала

прокатки до

конца шестого

обжатия

Т а б л и ц а 2.1

Схема обжатий заготовки при прокатке слябов

Обжатие

Номер

направле­

Уширение

Высота 2Я,

Ширина

2ß,

Примечание

пропуска

Д # , мм

ЬВ, мм

мм

мм

ние

0

740

740

1

Хі

35

0

705

740

2

Хі

35

5

670

745

Кантовка

3

Vi

80

5

665

675

4

Vi

75

5

590

680

5

Vi

75

5

515

685

6

Yx

75

10

440

695

>

7

Xi

50

0

645

440

8

Xi

45

5

600

445

>

9

Vi

60

5

385

605

10

Vi

60

10

325

615

11

Y\

50

10

275

625

12

Vi

50

10

225

635

>

13

Xi

35

0

600

225

»

14

X!

30

5

570

230

15

Yi

40

10

190

580

16

Y\

40

10

150

590

17

Yi

30

10

120

600

Значения параметров прокатки и теплообмена

1.

Средняя

температура

по

сечению заготовки

после

выдачи

из

печи (Т0)

от

поверхности

раската

1250° С

2.

Коэффициент

теплоотдачи

к окружающей среде

в

течение паузы

(ai) . . . . .

200

вт/м2-град

3.

Коэффициент

теплоотдачи

от

поверхности

раската

к поверхности валков

во время обжатия (сс2)

.

• .

104

вт/ж2- град

4.

Длительность

паузы

(^і)

4,4 сек

5.

Средняя

длительность

пребывания

металла

в

очаге

деформации

(t2)

.

0,10

сек

6.

Средний коэффициент теплопроводности металла (X)

30

вт/м-град

7.

Средний

коэффициент

температуропроводности

ме­

талла

(а)

0,02

м2/ч

8.

Средняя

за

прокатку

температура

поверхности вал­

ков

( Г в ) . . . .

(Тс) . . .

300° С

9.

Средняя

температура

окружающей

среды

30° с

10.

Начальная

высота

заготовки

( 2 Я 0 )

740

мм

11.

Конечная

высота

заготовки

( 2 # 1 7 )

120

мм

12.

Начальная

ширина заготовки

(2 В0)

740

мм

13. Конечная ширина заготовки (2В17)

600

мм

14.

Среднее

значение

предела

текучести

стали

(o s )

• •

80

и/мм2

На

рис.

2.8

показано

фактическое

и

упрощенное

изменение

положения

верхности раската во времени

(п—номер

пропуска).

П о р я д о к р а с ч е т а

I. Определение безразмерных параметров теплообмена

К р и т е р и й К и р п и ч е в а

Кі

(г) =

:lh

(Т0-Тс)'

350

300

250

N .

2П0

150

TN

100

50

г

4

В

В

10

12

/4

16

te

Номер

пропуска

Рис. 2.8. Изменение

во

времени

размеров про­

катываемой

заготовки:

В — половина ширины раската; H — половина высоты;

сплошная

линия — фактическое

изменение

размеров,

штриховая — упрощенное

для пауз

Кі _ М 7 ' і - Г с >

_

200(1150 - 30 )

•

1

lh(T0

— Tc)

30-330 (1250

— 30)

'

'

где Ti — средняя за время

паузы

температура поверхности

заготовки

(принимаем

ориентировочно Т\ = 1150° С) ,

<х2 — а,

10 ООО —200

для обжатий

н =

~

=

з о

* 3 3 0

1 І М '

ѵ .

<*2(Т2-ТВ)

104(1050 - 3 0 0 )

ХА(Г 0 — Тс)

30-330(1250 — 30)

где Т2 — средняя за

время

обжатия температура поверхности заготовки (прини­

маем Г 2 =1050°С) .

К р и т е р и й П о м е р а н ц е в а

Ро (т) =

W (т.)

w

для пауз

Х Л 2 ( Г 0 - Г С )

Wx =

0;

Poj =

0;

для я-го обжатия

Ад

Wo

где

Ѵ4і

In Hn-i

Л д

= °SVA

2 Я „ _ і — высота

раската

перед п-м пропуском;

2Нп—высота

после

пропуска.

QS

In Я п _ 1

Следовательно,

Р о 2

j-f

І2кпЦТ0-Тс)

•

Определяем

среднее

за 6 пропусков

значение

отношения

Я л

Нп-\\

1 / Я 0

Н\

я 2

я 3

я 4

я 5

Я я

/ср

= " Г т г + — +

я 3

- t - Т Г " +

г. +

6

\Ні

я 2

я

4

я

5

я 6

1_/740

705

745

665

590

515 \

=

6

\ 7 0 5 + 670+

665 +

590 +

515 +

4 4 0 J ' ^ ' 1 ' 1 1 '

Отсюда среднее за 6 пропусков значение критерия Ро 2 ;

Р о 2

=

8-107

In 1,11

Ä 0 , 0 2 1 .

0,10-30-3302 (1250 — 30)

Б е з р а з м е р н а я ,

с р е д н я я

з а

в р е м я

п р о к а т к и

с к о р о с т ь

д в и ж е н и я г р а н и ц ы м е т а л л а .

В направлении Yi

s2

2

ah

'

где s2' — средняя скорость

движения

границы металла

в направлении

Yu

Bq — Вп

(0,370 — 0,300)-3600

s<y —

=

= 3,3 міч,

2

ts

(4,4 +

0,1) - 17

' ' .

С л е д о в а т е л ь н о,

М

=

3,3

0,02-330 = 0 , 5 0 .

0

:

В направлении

Хх

M

~

ah'

1

где

Si — с р е д н я я

скорость

движения

границы металла

в

направлении Хи

,

Я 0

- Я 1 7

(0,370 - 0,060) - 3600

і

л

С Л

* 1 =

—

=

(4.4 + 0.D-17

= 1

4

' 6 0

^ '

2 Я 0

и 2 Я 1 7 — т о л щ и н а

заготовки до и после

прокатки.

Таким образом,

Мі

=

14,60

= 2 , 2 1 .

4 —

1

0,02-330

Принимаем, что Mi=M2

= Q. Следовательно, Mx = M{;

Л 4 У = М 2 ' .

П р о д о л ж и т е л ь н о с т ь о д н о й п а у з ы в б е з р а з м е р н о м в и д е

т, =

а А ^ і =

0 , 0 2 - 3 3 0 2 - =

2,670.

1

3600

П р о д о л ж и т е л ь н о с т ь

о д н о г о

о б ж а т и я

в

б е з р а з м е р н о м

в и д е

т 2

=

0,10

а Л 2 / 2 = 0,02-3302- -^— = 0,061.

3600

Д л и т е л ь н о с т ь ш е с т и п р о п у с к о в

т б

=

(тх +

т 2 ) - 6 = (2,670 +

0,061)-6 =

16,386.

П. Определение безразмерных координат расчетных точек

П е р е м е щ е н и е г р а н и ц ы в н а п р а в л е н и и Хі з а 6 п р о п у с к о в

М\х6 = 2,21-16,386 = 36,20.

П е р е м е щ е н и е г р а н и ц ы в н а п р а в л е н и и Уі з а 6 п р о п у с к о в

^ 6

=

0,50-16,386 =

8,20.

К о о р д и н а т ы т о ч е к Л ь

А2

и Л 3

в к о н ц е 6-го п р о п у с к а .

точка

А\

Хх

=

М[і6

= 3 6,20; Y\ =

ß 0 A =

0,37-330 =

112;

точка

Ач

Хг

=

Я 0 Л = 0,37-330 =

112; Yx

=

М 2 т 6 =

8,20;

точка

Лз

Я 1

=

Лі|т 6

=

36.20; ^

= ^

6

= 8,20,

I I I . Расчет температуры в точке А\

Рассчитывая

температуру в точке

А ь

принимаем

во внимание

то

обстоятель­

ство,

что к этой

точке за время прокатки

не успевает дойти тепловое возмуще­

ние,

сообщаемое

поверхности раската

в направлении

Yx. Поэтому

в

данном слу­

ѵ(М[ч,

х6 ) =

КііФ Ы

+

( К і 2 — К і і )

{[Ф(х6 — ч) + Ф (.4 —

"о — Ч)

+

+

4 ( 4 - 2 т 0 — T J ) + Ф (х6 — Зт 0 — t j ) + Ф ( х 6

— 4х0

— xj) +

+

Ф (х6 — 5х0 — Tj)] — [Ф (т 6

— х0 ) + Ф (т 6

— 2т0 ) + Ф (х6

— Зт0 ) +

Ф (х6 — 4т0 )

+

+ Ф ( т 6

— 5т0 )]} — Ро 2

{ [ ( х 6 — Tj) +

(т 6

— х0 — т х ) + ( т 6 — 2х0 — хг)

+

+ ( т 6 — Зх0 — Xj) +

(х6

— 4х0 — хх ) +

(х6 — 5х0 — %{)] — [ ( х 6 — х0 ) +

+ (ч —2ч)

— (ч —Зч) + (ч — 4*о) + (т=б — 5 т о ) ] -

где Ф(т) — функция

Ф(Хи

т)

для подвижной границы в направлении Xh

Числен­

ные

значения

этой

функции

находим из

графиков,

представленных на

рис.

2.3

и 2.4, принимая во внимание, что ЛІ=2,21:

Ф(х 6 ) = Ф (16,386) = 0,477;

Ф ( х 6 — xj) =

Ф (16,386 — 2,670) == Ф (13,716) = 0,477;

Ф (Ч — Ч~ч)

= Ф (16,386 — 5,401) = Ф (10,985) =

0,477;

Ф (х6 — 2т0 — xj) =

Ф (16,386 — 8,132) = Ф (8,254) =

0,477;

Ф (х6 — Зх0

— ХІ) =

Ф (16,386 — 10,863) =

Ф (5,523) =

0,477;

Ф (х6 — 4х0

— xj) =

Ф (16,386 — 13,594) =

Ф (2,792) =

0,475 ;

V (м[х6, Х6) =

0,155.

В градусном выражении будем иметь

ѵ =

Т0-Т(М[хе,

х 6 )

—

= 0 , 1 5 5 ,