книги из ГПНТБ / Тепловые процессы при обработке металлов и сплавов давлением учеб. пособие для студентов металлург. спец. вузов

d"

•ife(Fo)

= 0.

(3.1.51)

rfFo«

Fo=0

Обозначим:

* J]

(Fo) =

1

dn

<h(Fo) -

(2л - 2)!

d F o n

/1 = 1

CO

U (2n

•2)!

dFo"

<|>0(Fo).

(3.1.52)

После этого дифференциальное

уравнение (3.1.22)

запишет­

ся так:

1

dn

(3.1.53)

2 ( 2( »2 п - І ) !

<p2(Fo) = z(Fo).

dFo"

ЫР) =

г(р)

(3.1.54)

Yр

sh

Vр

Ы?°)

0

(0, F o - / )

1

Mit

Y

1

X

= \ Ѳ

" ' ' ^

(2и — 2 ) !

•о

U

л = 1

X

dn

Л — 1

dn

dt.

(3.1.55)

dtn

• . « > - ( * ; > *

E i

s

2)!

d t "

(2л -

я = 2

поставленной задачи (с учетом

принятого нами допущения

о том,

что Mі=0)

запишется так:

v(X,

0 0

Г

2

Fo) = V

-

f

^

. — 3(Fo) - Po(Fo)Fo .

(3.1.56)

Là

(2л!)

d F o "

л = 0

Анализ показывает, что ряд в выражении (3.1.56)

имеет

плохую

сходимость при значениях

X,

близких к

единице. Например, при

значении

Х—0,9

для получения

точного

результата

потребовалось

грируя

(3.1.56) в пределах

от 0 до (1—Ь) и деля полученный ре­

зультат на (1—Ь), т. е.

1 —ft |- оо

dX =

" » <

F 0 ) = T ^ I S

(2л)!

• ^ - P ( F o ) + P o l F . ) F .

л = 0

а Fo*

(1 — b)2n

d"

3(Fo) + Po(Fo)Fo.

(3.1.57)

LÀ (2л + 1)!

d F

o

центре раската:

ѵ(0, Fo) = ? ( F o ) - P o ( F ö ) ( F o ) .

(3.1.58)

Определить температуру в центре раската для конца

четвертого

обжатия

при

следующих

параметрах

про­

катки и теплообмена:

150 мм

1.

Начальная толщина заготовки

(2^?)

2.

Толщина

полосы

после

прокатки

(2Rh)

20

мм

3.

Средняя

длительность

паузы

(t\)

5

сек

4.

Средняя

продолжительность

пребывания

металла

в

очаге

деформации

(t2)

температура

металла

0,05

сек

5. Средняя

по сечению

начальная

(Го)

1200° С

6.

Коэффициент теплопроводности металла (Я) . . . .

35

вт/м-град

7.

Коэффициент

температуропроводности

металла

(а)

0,04 м2/ч

8.

Среднее

значение

теплового

потока

через поверх­

ность

металла в окружающую

среду в течение

паузы

вт/м2

( q

i )

в

течение

обжатия (<?г)

2- 10s

9. То же

Ю7

вт/м2

10.

Среднее

за

прокатку

значение

предела

текучести

стали

(<Js)

80

Мн/м2

11.

Число

пропусков

9

12.

Средняя

за

прокатку

температура

окружающей

атмосферы

20° С

П о р я д о к р а с ч е т а

I . Рассчитываем вспомогательные величины

1. В р е м я

п р о к а т к и

ts

=

9^о =

9 (/j +

t2)

= 9-5,05 =

45,45

сек.

2. С р е д н я я з а п р о к а т к у

с к о р о с т ь п е р е м е щ е н и я

п о в е р х ­

н о с т е й

р а с к а т а

s, =

R — Rb

=

75—10

1,43

ммісек

=

5,14

м\ч.

r s

—

=

1

45,45

3. М о щ н о с т ь т е п л о в о г о и с т о ч н и к а , в ы з в а н н о г о

д и с с и п а ­

ц и е й э н е р г и и п л а с т и ч е с к о г о

ф о р м о и з м е н е н и я ,

W2

=

,

где 2Rn

и

Rn+i—толщина

раската

соответственно

перед

( я + 1 ) - м

пропуском

и

после.

Принимаем, что величина обжатия во всех пропусках

одинакова:

75—10 = 7,23

мм,

9

т. е. в среднем за каждый

пропуск

происходит

обжатие на сторону 7,23 мм. Тогда

Rn

получим

среднее значение отношения

——

для первых

четырех

пропусков:

Rn+i

I

Rn

\

1

/

75

7 575- 7—,27,23;

+

75 — 2-7,23

75 — 3-7,23

\

/?я+і

' с р _ 4

\ 7 5 - 7 , 2 3 +

7 5 - 2 - 7 , ^

+

-;:—'

'

75 — 3 • 7,23

7о — 4 • 7 ,23 у

' ср

**

\ 1

и

— ' » ^ и

1 ^

—' ^

1 ' 123

Таким образом,

W2 2 =

80-106 In 1,13

80-106-0,1222

„

о

erІм*.

0,05

=

0,05

=

1,95-108

1. Б е з р а з м е р н а я д л и т е л ь н о с т ь

п а у з ы :

Foi =

at,

0,04-5

= 0,0100.

— L =

•

/?2

0,0752-3600

2. Б е з р а з м е р н а я д л и т е л ь н о с т ь

о б ж а т и я :

aU

0,04-0,05

Fo2 = — - =

— •

= 0,0001.

# 2

0,0752-3600

3. Б е з р а з м е р н о е

в р е м я к о н ц а

ч е т в е р т о г о

о б ж а т и я :

Fo4 =

4 (Fo, + Fo2 ) =

4 (0,0100 + 0,0001) =

0,0404.

4. Н а ч а л ь н а я

т е м п е р а т у р а

м е т а л л а

в

б е з р а з м е р н ы х

е д и н и ц а х :

_

Г о - Г о

_ о

WvRî

1,95-108-0,0752

р 0

:

ТС)

=

!

= 2 6 , 6 0 .

л ( Г 0 —

35-(1200 —20)

6. Б е з р а з м е р н а я

с р е д н я я

с к о р о с т ь

д в и ж е н и я

п о в е р х ­

н о с т и р а с к а т а :

M,

=

s'i#

=

5,14-1,075

9,63.

—

—•

•

=

1

а

0,040

7. Б е з р а з м е р н а я

т о л щ и н а

р а с к а т а

п о с л е

ч е т в е р т о г о

о б ж а т и я :

2 (1 — Ь) =

2 ( 1 — M\

Fo 4 ) =

2 (1 — 9,63-0,0404) = 1,230.

8. К р и т е р и й

К и р п и ч е в а :

К і , =

1(Т0

* *

=

2

-

1 0

" 0 '

0 7 5

=

0,363;

1

— ТС)

35(1200 — 20)

K i 2

=

Х ( Г

0 — ТС)

=

1 0 7

- ° '

0 7 5

=

18,150;

Зо(1200 — 20)

К і 2 —

Кіі =

18,150 — 0 , 3 6 3 =

17,787.

I I I .

Рассчитываем

функции

tyn

(Fo)

для конца

четвертого

обжатия

(Fo =

= 4 - Fo 0

= 0,0404):

d„ (4Fo0 ) =

Kii« (4Fo0 ) +

( K i 2 -

K i i ) [u (4Fo0 -

F 0 l ) r, (4Fo0

-

Fox )

-

_ и (4Fo0 -

Fo0 ) ij (4Fo0 -

Fo0 ) +

и (4Fo0

— Fo0

-

F 0

l

) r, (4Fo0 — Fo0 — F 0

l ) -

— и (4Fo0

— 2Fo0 ) -ц (4Fo0

— 2Fo0 ) +

и (4Fo0

— 2Fo0

— Fox ) т, (4Fo0 — 2Fo0 — Foj) —

— a (4Fo0

— 3Fo0 ) i} (4Fo0

— 3Fo0 ) +

« (4Fo0

— 3Fo0

— FoO ij (4Fo0

— 3Fo0

—

— Fo,)] =

0,333a (0,0404) +

17,787[н (0,0304) — и (0,0303) +

и (0,0203) —

— и (0,0202) + и (0,0102) — и (0,0101) +

и (0,0001)].

Подставляя

в выражение

для

(p0 (4Fo)

значения

функции и

(Fo),

находим

d 0 (4Fo 0 )

» 0 .

d;1 (4Fo0 ) = 0;

b(4Fo 0 ) =

0.

IV. Расчет температуры в центре

раската в

момент времени Fo = 0,0404

(во втором приближении)

V (0; 0,0404) = — Р о 2 [(4Fo0 -

F 0 l ) TJ (4FO0

— F 0 l ) -

(4Fo0 - Fo0 ) X

X n (4Fo0 -

Fo0 ) + .(4Fo0 — Fo0 — Fotf ij (4Fo0 -

Fo 0 — FoO - (4Fo0 — 2Fo0 ) X

X 1) (4Fo0

— 2Fo

0 ) + (4Fo0

— 2Fo0

— Fox ) ц (4Fo0 — 2Fo0

— F 0 l ) — (4Fo0

-

— 3Fo0 ) г) (4Fo

3 — 3Fo0 ) +

(4Fo0

— 3Fo0 — Foj) ij (4Fo0

— 3Fo0 — Fox )

=

мент времени; АТ0-—начальный

перепад температур

по

сечению

заготовки.

В течение времени t2 по объему

пластины действуют

тепловые

источники мощностью

W2

(источники

равномерно распределены по

объему).

Если пренебречь конвективным массопереносом внутри пласти­

ны, то для получения

функции ее температурного поля

необходимо

решить дифференциальное уравнение

теплопроводности

дТ

(х,

t)

Ô2T (X,

t) , W (t)

(3.2.2)

дх

дх2

ср

-(/?-s'it)

<x<

+(R-s'it)

при граничных

условиях

(3.1.2) и

(3.1.3)

и при начальном

условии

(3.2.1).

В безразмерном

виде

исходная

система

уравнений

запишется

следующим образом:

д ѵ

( Х '

F o

)

=

д 2 ѵ { Х

'

F o ) -

Po

(Fo);

(3.2.3)

- ( l - ^ < A r

< + ( l - ô ) ;

дѵ

= 0;

(3.2.4)

дХ

X = Q

ол

x=±(\-b)

= K i ( F o ) ;

(3.2.5)

v{X,

0) =

-bv0X2,

(3.2.6)

где v[X,

Fo) = T°a~~T

—относительная

избыточная

темпе­

рой —

ратура; Po(Fo) = —

W

R

2

критерий

Померанцева;

Ki(Fo) =

о (Fо) R

(^Оц — ^с)

^ — -

критерий

Кирпичева.

і <Т0а - Тс)

обозначения те же, что и в предыдущем

параграфе.

Остальные

Будем

искать решение поставленной задачи

в виде ряда [70]:

У2п

ип

Ѵ'Х, F o ) = y ^ —

. —

?(Fo) - Po(Fo)Fo .

(3.2.7)

С2 ")1

rfFo"

S

• - ^ M F o )

=

Kl(Fo);

(3.2.8)

п= 1

0 0

0 0

• -^—à.iFo)-b

V

1

. - i ^ J ) 0

( F o ) =

0;

(3.2.9)

( 2 л - 1 ) !

d F o n

' U

'

Ù(2n-2)\

d p 0 «

>

'

\

>

/1=1

/1 = 1

OO

dn

OO

dn

1П

1

. / r , ,

1

-

Ф і (Fo)

+

(2" -

1)!

—

Ь (Fo) -

b Y —1—

F o «

/1 = 1

d .Fo"

AJ(2n

—

2)!

d

л=1

U

(2л-

~ -

— Ф о ( Н о ) =

0.

(3.2.10)

T

•2)!

d F o "

Определим функцию ß(Fo) в нулевом

приближении. Для этого

решим дифференциальное уравнение (3.2.8)

при следующих на­

чальных условиях:

Фо(0)==0; —|—Фо(Ро)

= -

2Дг-0;

d Fo

Fo=0

d Fo"

=

0.

(3.2.11)

Fo=0

п>1

+ 2 Д * С

( f

+

^ + ' т Г +

• ' - ) = К Т ( *

(3.2.12)

ИЛИ

Ш

=

2

А ° ° _ + К І ( ^

- ^ а - .

гз.2.13)

для

первой

паузы

( O ^ F c ^ F o j )

Ф0 (Fo) = 2 дг»0и (Fo) - 2дг;0 Fo + К^и (Fo);

(3.2.14)

для первого

обжатия

(Fox -<Fo < Fo0 )

Ф0 (Fo) = 2\v0u

( F o ) - 2Дг>0 F o - f Кч« (Fo) +

+ ( K i 2 - K"h) и ( F o - FoJ r; ( F o - FoJ;

(3.2.1")

для

второй

паузы

(Fo0

< F o ^ FoQ-f-FoJ

«|i0(Fo) =

2A'Oo«(Fo)-2Ax)oFo + Kli«(Fo) + ( K i 2

- K h )

X

X [u ( F o - Foj) V) (Fo -

F o i ) - a ( F o - Fo0 ) rt

(Fo -

Fo0 )]. (3.2.16)

По аналогии запишем решение в общем виде:

для

(п-\-\)-й паузы,

(п Fo0

< Fo -</г F O Q - I - F O ! )

%(Fo) = 2àvQu

( F o ) - 2дг;0 Fo + Ki,« (Fo) - f ( K i 2

- К У

X

X 2 « [ F o - ( m - l ) F o 0 - F o 1 ] 7 j [ F o - ( m - l )

F O O - F Û ! ] -

•M(FO — mFo0 )ri(Fo— m Fo0 );

(3.2.17)

для (п-\-Х)-го

обжатия

\п Fo0 -f-Fox <

Fo ^ (n +

1 ) Fo0 }

% (Fo) =

2лг»о" (Fo) - 2дг>0 Fo + K i ^ (Fo) + ( K i 2 -

Kh) X

X 2

ti(Fo— mFo0—

FO 1 )TJ(FO — mFo0 — FOj

m=0

2

« ( F o — mFo0 )->i(Fo— m

Fo0 )

(3.2.18)

m - l

где функция

M(FO) определяется формулой

(3.1.30a).

нение (3.2.9) при следующих начальных условиях:

Фі(Ро)

= 0.

(3.2.19)

Fo=0

Fo

* l ( F o ) = ^ o (

0 ,

F o - * )

A f i * 2 1

- i ^ X - ^ - * o ( 0

dt.

(3.2.20)

о

L

л-і

Для упрощения выражения (3.2.20) преобразуем

следующий ряд

(на примере для первой паузы):

оо

dn

Ф о ( 0 = - 2 Д г - 0

+

(2Дг;о +

Кі1 )

X

S

( 2 п - 2 ) !

df

л = 1

СО

оо

(— 1)*ехр( — n2k2Fo)

- 1

X

1 +

2 J

— J - ^ ( - 1 ) * я 2 £ 2 Х

* = 1

J

/г = 1

оо

X

exp ( -

я 2 £ 2

Fo) +

- | - J

( -

1 )* я 4 £ 4

exp ( -

я 2 £ 2

Fo) —

ft=i

CO

CO

- - | -

J ]

(—1)*я6 /%6 ехр(-я2 А:2 Ро) +

- и ( - 1 ) * я 8 А : 8

X

k=\

й=і

X exp( — я 2 £ 2 F o ) —

.. . =

— 2дг>0

+

+

1

Я2

L

Я4

+ (2д^ 0

+ Kh)

{1 +

2 [ -

exp

( - я 2

Fo) (-L

- гГ

' " I T

+ 2 f e x p ( - 4 n 2 F o ) f ^ - - » +

i

4!

^ i -

6!

i ^

'

L

V 0!

2!

1

+

^

-

^

+ • • • ) ] +

• • • } = - 2 л . 0 + (2Д*о +

К і 1 ) { 1 - 2 Х

X [exp ( — д 2

Fo) cos я — exp ( — 4я 2 Fo) cos 2n - j - exp ( — 9n2 Fo) X

X

cos Зя — exp( — 16JT2

FO) cos 4л-f-

• . ••] =

— 2Дг>0-[-(2д v0 -f Kix ) X

1 + 2 ^ exp( — jt 2 £ 2 Fo)

Следовательно, можно записать

оо I

1

л = 1

(2л -

2)!

d Лt "

V 2

/

где

S 0 | y , ^определяется

из общего

выражения

(3.1.44а) для

тэта-функции.

Таким

образом,

функцию

(Fo) можно

представить

следую­

щим образом:

для

(п~\-У)-й

паузы (п Fo0 < Fo < п Fog-I-Fo^

Fo

,

ф і

( Р о ) = ЖІ j Ѳ0 (0, Fo-t)

- 2 д ^ 0 + ( 2 д ^ 0

+ К і 1 ) Ѳ 0 ( і - ) *)-}-

П.

H - ( K i 2 - K i x ) 2

-, t — (m-

l ) F o

0

- F

O l

] ^ - ( m - l ) X

6 O [ Y

m = l

X

Fo0

- Fo,] -

ѳ о ( у

. * - m

F o o ) r[{t — m Fo0 )J fctf ;

(3.2.22)

для (п-\-\)-го

обжатия

[«FOQ + F

O ^ F O < (ra-f 1)РоЛ

^ l ( F o ) = . M ^

Ѳ0 (0, F o - * )

- 2 д г ) 0 + (2дг»0

+

К і 1 ) Ѳ 0 ( у ,

+

+ ( K i 2 - K i 1 )

Ѳ 0 ( - і - , ^ - m F o o - F o ^ T i ^ - m F o o - F o ! ) -

-m=0

"

1

~ £

Ѳ о ( у - ^ - ш р о о ) ^ ^ - т Р о о )

(3.2.23)

m = l

J

щих начальных условиях:

<h(Fo)

= 0.

(3.2.24)

d?on

Fo=0

Fo

t-

оо

<h(Fo)=^ Ѳ0(0,

F o - 0

М ^ ^ — Х

о

L

n=\

X

n — 1

d"

dt. (3.2.25)

Là (2л

• 2)!

dtn

dtn

меньшего

объема вычислений.

Суть этого

метода заключается в

следующем.

Согласно инженерной

модели

процесса

теплопроводности [49],

тепловой

импульс, сообщенный

поверхности

заготовки, достигает

ее центра

по истечении

инерционного периода.

В данном

случае

изучаемое тело представляет собой пластину толщиной

2(R—Si't),-

имеющую

симметричное

температурное поле. В

пределах

инерци­