книги из ГПНТБ / Сысоев, А. Н. Гидродинамика сжимаемой жидкости учеб. пособие

28 Глава 1

Подобным же образом жектор намагниченности в пра­ вильно подобранной вращающейся системе координат мо­ жет совершать гораздо более простое движение, чем в лабо­ раторной системе. Чтобы перейти к количественному рас­ смотрению вопроса, необходимо посмотреть, как меняется основное уравнение движения М (1.24) при переходе к вращающейся системе. Вообще говоря, мы решили воздер­ живаться в этой книге от подробных выкладок, однако в данном случае вывод уравнений можно оправдать как чрез­ вычайной важностью результата для последующего изло­ жения, так и тем, что, несмотря на его простоту, результат не является очевидным.

Чтобы вывести основные уравнения вращающейся сис­ темы координат, получим сначала простое и известное выра­ жение, связывающее производную вектора М по времени

С помощью обычной формулы для производной произведе­ ния [7] получаем

(1.30)

Поскольку i, j и к — единичные векторы, их производные по времени не могут изменять своей длины, а могут быть связаны только с вращениями векторов. Математически

Длина вектора ш соответствует угловой частоте вращения единичного вектора, а направление ю совпадает с осью, относительно которой происходит вращение. В такой вра­ щающейся системе координат все три единичных вектора

Основные понятия ЯМ Р 29

вращаются со скоростью и направлением, задаваемыми одной и той же и>, так что выражение (1.30) принимает вид

(dM/A),|,„Kc = дМ№ + to X (Мл.і + Муj + М2к) = •

Полная производная описывает общее движение вектора М в неподвижной (лабораторной) системе, тогда как частная производная соответствует явной зависимости М от време­ ни во вращающейся системе. Далее мы будем пользоваться символом обычной, а не частной производной, сопровождая ее соответствующим индексом, как в выражении (1.32), если будет возможно неоднозначное понимание.

Если М — вектор намагниченности, то из формулы (1.24) следует, что

а из выражения (1.32) получаем

Перегруппировывая члены в выражении (1.34) и используя соотношение (1.17), получаем

(dWdt)вращ = f M x H + "fM xti)/f:

Член ы/т имеет размерность магнитного поля, и его можно рассматривать как некоторое «фиктивное» поле, обусловлен­ ное вращением. Уравнение (1.35) можно записать и иначе — через эффективное поле:

Уравнения (1.35) и (1.36) показывают, что обычные урав­ нения движения, применяемые в лабораторной системе координат, верны и во вращающейся системе при условии, что вместо Н в них используется Негг, определяемое вы-

30 Глава 1

ражением (1.37). Следовательно, во вращающійся системе намагниченность прецессирует вокруг Нсц. Обычно для нас будет представлять интерес система отсчета, вращаю­ щаяся с частотой, равной или близкой к частоте приложен­ ного ВЧ-поля Нь так как такой выбор вращающейся сис­ темы обычно приводит к самым простым вычислениям и выражениям.

1.6. Намагниченность во вращающейся системе отсчета

Теперь мы можем с помощью вращающейся системы объяснить поведение намагниченности в ходе некоторых ЯМР-экспериментов и в более явной форме проследить влияние на нее релаксации и неоднородности магнитного поля. В этом же разделе мы попытаемся объяснить некото­ рые кажущиеся аномалии, наблюдаемые при сравнении стационарных и импульсных экспериментов.

Начнем с рассмотрения случая, когда имеется только магнитное поле Я 0, направленное, как обычно принимают, вдоль оси z; следовательно, Н = Н0. Рассмотрим систему

.координат, вращающуюся с угловой частотой w = —уН0, т. е. с ларморовой частотой, определяемой выражением (1.20). В этих условиях уравнение (1.37) сводится к Heff = = 0, а из уравнения (1.36) следует, что в этой вращающей­ ся системе координат М не зависит от времени. Фактически это лишь иная формулировка уравнения Лармора.

Теперь предположим, что, кроме Н0, имеется поле Нь перпендикулярное Н0 (т. е. в плоскости ху) и, как обычно, Hj вращается (в лабораторной системе) с частотой ш (рад/с).

При резонансе фиктивное поле в точности компенсирует поле Н0, направленное вдоль оси 2, так что с М взаимодействует только поле Н1( лежащее в плоскости ху. Поскольку Ht вращается с такой же частотой, что и система координат, то мы можем произвольно предположить, что Ні направ­ лено вдоль вращающейся оси х, обозначаемой здесь х '. Тогда из уравнения (1.36) следует, что во вращающейся истеме М прецессирует вокруг оси х', как это показано

а рис. 1.3. Из уравнения Лармора следует, что угловая

32Глава J

свысоким разрешением до 100 Гс (или 10“2 Т) в некоторых импульсных исследованиях, то частота прецессии для про­ тонов лежит в диапазоне от 3 до 3- 10е рад/с. Угол Ѳ, на ко­ торый повернется М в ходе прецессии за время /р, дается выражением

В гл. 2 мы увидим, что это основное соотношение для при­ менения импульсных методов. (Заметим, что движение М в лабораторной системе довольно сложно — это наложение быстрой прецессии вокруг Н0 и значительно более медлен­ ной — вокруг Hj.)

Выясним теперь, что произойдет, если поле Н£ будет приложено вдоль оси х' достаточно долго, чтобы вектор М (или, что то же, система ядерных спинов) успел повер­ нуться на угол Ѳ в сторону оси у '. Сразу после выключения Н£ картина будет такой, как показано на рис. 1.4, а. Пос­ кольку вначале движение моментов в плоскости х!у' было некогерентным, то и компонента макроскопического момен­ та М в этой плоскости была равна нулю. В результате по­ ворота моменты оказываются ориентированными таким образом, что появляется компонента момента М, направ­ ленная вдоль оси у '. В результате естественных процессов обмена энергией между разными ядрами моменты в плос­

времени Т2. Поскольку магнитное поле не является идеаль­ но однородным, ядра в разных частях образца оказываются в несколько различающихся полях Н0 и, следовательно, прецессируют с немного разными частотами: одни ядра прецессируют быстрее, чем вращается система координат, другие — медленнее. Этот процесс вызывает также спад М//-; в результате Mÿстремится к нулю с постоянной вре­ мени Т2*, определяемой формулой (1.11). По мере обмена энергией между ядерными моментами и их окружением происходит спин-решеточная релаксация, в результате которой ядерные моменты постепенно возвращаются к на­ правлению оси г' , как показано на рис. 1.4, в. Таким об­ разом, MZ' возвращается к своему равновесному значению М 0с постоянной времени Т£. Из рис. 1.4, г ясно, что к тому времени, когда моменты возвращаются в исходное состоя-

34 Глава i

нитного поля, так что частоты прецессии ядер в разных час­ тях образца оказываются различными; 3) статическими ди­ польными полями в твердых телах, где на каждый ядерный^- момент действует не только приложенное внешнее поле, но и локальное поле, обусловленное соседними ядрами. Со всеми этими случаями мы встретимся в гл. 5 и 6.

С помощью понятия вращающейся системы мы можем выяснить некоторые важные особенности стационарных и-*- импульсных экспериментов. Рассмотрим сначала стацио­ нарный эксперимент, проводимый путем развертки магнит­ ного поля Н0. В системе координат, вращающейся, как обыч­ но, с частотой ВЧ-поля Hj, при Н0, значительно превышаю­ щем резонансную величину, г'-компонента поля Нен велика (см. рис. 1.5) и Негг « Н0. В равновесном состоянии намагниченность М направлена вдоль Н0. При уменьшении Н0 в сторону резонансной величины z'-компонента поля

вдоль оси х! , то намагниченность М будет направлена по "У этой оси при резонансе, а после прохождения резонанса М движется таким образом, чтобы в конечном счете быть направленной вдоль оси —г '. Условие медленного поворота Heff имеет вид [8]

Это соотношение является следствием адиабатической тео­ ремы, а удовлетворяющая этому условию развертка поля называется адиабатическим прохождением резонанса. В принципе медленная развертка, применяемая при исследо­ ваниях с высоким разрешением, удовлетворяет условию адиабатичности, но на практике при обычно используемых величинах Я і (о к о л о 0,1 мГс, или ІО-8 Т) могут потребовать- " ся скорости развертки значительно меньше 1 Гц/с. Для адиабатического прохождения, в обычном употреблении этого термина, требуется не только выполнение условия адиабатической теоремы, но и отсутствие заметной релак-.,л сации за время развертки. Тогда полное условие адиабати­ ческого прохождения принимает вид

; ляется менее жестким условием [8].) Поскольку скорость ‘^'развертки ограничена снизу, адиабатическое прохожде­

тическое быстрое прохождение можно использовать в неко­ торых экспериментах для инверсии намагниченности.

Случай, когда удовлетворяются условия адиабатической теоремы и в результате намагниченность М всегда остается направленной вдоль Негг, необходимо четко отличать от случая воздействия на спиновую систему ВЧ-импульсом. В последнем случае система вначале находится в равнове­ сии при резонансе или вблизи от него, так что поле Нен, направленное вдоль оси г', мало или равно нулю. Затем внезапно (с временем нарастания обычно около 1 мкс) включается сильное Н4 (от нескольких единиц до 100 Гс). В результате Негг резко изменяет направление от оси г'

^ к оси х '. Намагниченность М не может следовать за этим ' изменением и, как мы видели, прецессирует в поле Неи

приблизительно в плоскости y'z'.

В заключение кратко коснемся вопроса о некоторых ка­ жущихся расхождениях между квантовым и классическим рассмотрением магнитного резонанса. Из квантовой теории мы знаем, что в поле Н„ ядро со спином / имеет всего 21 + 1 квантованных состояний. Поэтому возникает вопрос, вер­ но Ли наше классическое рассмотрение намагниченности М, непрерывно прецессирующей в плоскости y'z'. В книге [9] было показано, что, несмотря на квантовые ограниче­ ния, изменение во времени квантовомеханического средне-

, .го от [I, т. е. единственной измеримой величины магнит­ ного момента, в точности совпадает с изменением М в используемом нами классическом рассмотрении. Второй воп- - рос касается насыщения, при котором населенности верх-

^_-него и нижнего (при / = Ѵ2) уровней энергии выравниваются. Можно было бы попытаться приравнять эффект 90°-ного импульса, после которого не остается г'-компонен- ты намагниченности, насыщению, при котором также нет

2*

36 Глава 1

результирующей намагниченности. Однако эти два про­ цесса весьма различны. При насыщении выравнивание населенностей, происходящее с постоянной времени Ти' не оставляет намагниченности ни в каком направлении.

При 90°-ном импульсе (или при адиабатическом быстром / прохождении) намагниченность выводится из равновесного положения вдоль оси z' столь быстро, что релаксация ,

хотя и следует сказать, что после импульса квантованные уровни в поле Н0 оказываются населенными одинаково, однако спиновая система сохраняет «память» (по крайней мере, в течение времени Т2*) об условиях, в которых созда­ валась намагниченность. И хотя в области ЯМР высокого разрешения термин «насыщение» очень полезен, при рас­ смотрении экспериментов, описываемых в этой книге, он может оказаться несколько дезориентирующим. Мы будем рассматривать М как измеримую (и легко изображаемую) величину и избегать, насколько возможно, детального рас­

Во многих экспериментах бывает полезно разделить частоты, присутствующие в сложном колебании, и опреде­ лить интенсивности, соответствующие каждой частоте. Примером прибора, осуществляющего такое разделение, может служить обычная призма, которая разделяет сложное колебание — «белый свет» — на его компоненты, или спектр. Анализаторы спектра служат тем же целям, но обычно ра­ ботают в диапазонах звуковых или радиочастот. В некото­ рых случаях применение простых аналоговых устройств такого рода для извлечения информаций о частотах ком­ понент неудобно или дает неудовлетворительные результаты. Например, при конструировании систем подвески для автомашин обычно измеряют вибрации как функцию вре­ мени при движении машины по «типичной» ухабистой доро­ ге. Однако, чтобы рассчитать подвеску, которая обеспечит t максимальный комфорт, конструктор должен знать частоту' ѵ- и интенсивности различных механических колебаний, т. е. спектр колебаний. Эти данные легче всего получить с по-