leonardo1

обратно пропорциональна наклону. В первом случае (движущее ше движимого) тело тянут вверх, во втором (движущее ниже дви­ жимого) его тянут вниз, следовательно, приложенная сила имеет или противоположный знак с «грузностью», или одинаковый с ней Таким образом, она вынуждена или преодолевать «грузность», или суммироваться с ней. Вот почему в первом случае «грузность», чем больше наклон, тем больше, во втором тем меньше.

170F. 56. v.

Отрении небес,— производит ли оно звук или нет. Всякий звук причиняется воздухом, ударяющимся о плотное тело, и если будет произведен двумя тяжелыми телами совместно, то про­ исходит это благодаря воздуху, который их окружает, и такое трение стирает трущиеся тела. Отсюда следовало бы, что небеса при своем трении, не имея между собою воздуха, звука не про­ извели бы, и, существуй такое трение в самом деле, за столько столетий, в течение коих эти небеса вращаются, они были бы истерты столь огромной быстротой, совершающейся изо дня в день. И если бы они звук все же производили, то распростра­ няться он не мог бы; ибо звук столкновения и под водой мало­ ощутителен, а в плотных телах мало или совсем не ощущался бы. Кроме того, в гладких телах трение их не производит зву­ ка, что равным образом привело бы к отсутствию звука при соприкасании или, вернее, трении небес. И если небеса эти не были отполированы при соприкасании своего трения, следует, что будут они бугристы и шероховаты; поэтому соприкасание их не сплошное, а если так, то образуется пустота, которой, как заключают, в природе нет. Итак, следует, что трение уже стерло бы границы каждого неба и, насколько быстрее движется небо у середины, чем у полюсов, настолько быстрее оно у середины, нежели у полюсов, стиралось бы; а потому больше уже не тер-

204

I—,

ОСЬ БЫ, И ЗВУК превратился бы, и танцоры остановились, раз ве что небеса вращались бы одно к востоку, a другое к западу

Дюэм усматривал в этом отрывке, как и ВО MHOI ИХ других, влияние Албберта Саксонского, у которого читаем, что быстрое движем не про изводит звук при наличин трения, сотрясения воздуха и др. усло вий но в небесных телах трения нет, потому что они гладки и ров­ ны, нет также сотрясения воздуха. Гораздо вероятнее, однако, непо­ средственное влияние Ристоро д'Ареццо (1.а composizione del mondo. 1282, который также в своей аргументации говорит об отсутствии воздуха и о гладкости небесных тел.

205

0 законах статики

Отрывок 171 подводит нас к проблемам статики: к закону рычага (172-174) понятию статического момента (175-178), вопросам сложения и раз­ ложения сил (179-185), блоков и полиспастов (186-190), центру тя­ жести тел (191), сопротивлению материалов (192-198) и статике соо­ ружений (199), одна из теорем которой находит приложение к «рав­ новесию, или балансированию, людей» (200).

171 C.A.93V.

Наука о тяжестях вводима в заблуждение своею практикою, которая во многих частях не находится с этою наукою в согла­ сии, причем и невозможно привести ее к согласию, и это про­ исходит от полюсов весов, благодаря которым создается наука об этих тяжестях, полюсов, которые, по мнению древних фи­ лософов, были полюсами, имеющими природу математиче­ ской линии, и в некоторых местах математическими точка­ ми — точками и линиями, которые бестелесны; практика же полагает их телесными, потому что так велит необходимость, раз они должны поддерживать груз этих весов вместе с взве­ шиваемыми на них грузами.

Я нашел, что древние эти ошибались в этом суждении о тя­ жестях и что ошибка эта произошла оттого, что они в значи­ тельной части своей науки пользовались телесными полюсами

206

и в значительной - полюсами математическими, то есть ду­ ховными или, вернее, бестелесными.

Полюс (polo)—т. е. точка опоры.

Вестелесными — непротяженными, т. е. представляемыми как математическая точка.

172 Br. M. I г — I v.

Умножь деления рычага на фунты к нему прикрепленного гру­ за и результат раздели на деления противорычага, и частное будет противовес, который, находясь на противорычаге, про­ тивится опусканию груза, на указанном рычаге находящегося.

Умножь большее плечо весов на груз, им поддерживаемый, и раздели результат на меньшее плечо, и частное будет груз, который, находясь на меньшем плече, противится опусканию большего плеча в случае равновесия плеч весов.

Под рычагом Леонардо разумеет то плечо, к которому приложена сила, под противорычагом — второе плечо, к которому приложена другая, противодействующая сила.

Закон рычага был известен уже древним (Аристотель, Архимед).

Тяжесть, привешенная к одному плечу рычага, сделанного из любого материала, во столько раз большую тяжесть поднима­ ет на конце противоположного плеча, во сколько раз одно пле­ чо больше другого.

Если хочешь, чтобы груз b поднял груз а при равных плечах весов, необходимо, чтобы 1 было тяжелее а. Если бы ты захо­ тел, чтобы груз d поднял груз I более тяжелый, чем он, нужно

207

было бы заставить его при опускании совершить более д ный путь, нежели путь, совершаемый с при подъеме; и, если он опускается больше, следует, что плечо весов, опускающееся с ним, должно быть длиннее другого. И если бы ты захотел, что­ бы незначительный груз/поднял большой е, грузу пришлось бы двигаться по более длинному пути и быстрее, нежели гру­ зу е.

Отношение между пространством тп и пространством nb то же, что между весом, опустившимся в d, и весом, которым об­ ладало это d в положении Ь.

b m

То же отношение, которое будет между длиною рычага и противорычага, найдешь ты и в их грузах, и, сходно, в медленно­ сти движения, и в пути, совершаемом их концами, когда они достигают постоянной высоты своего полюса.

Эту проекцию плеча рычага на горизонталь, проходящую через точ­ ку опоры рычага, Леонардо называет потенциальным рычагом, в от­ личие от самого плеча, которое он называет рычагом реальным. От­ ношение, о котором он говорит здесь и в следующем отрывке, есть от­ ношение обратной пропорциональности.

Когда они достигают постоянной высоты...-т. е. когда они до­ стигают положения равновесия.

208

177Ash. 1,3 г.

Вкаком отношении линия cb будет находиться к линии ас, в

таком будет находиться вес и длина cm к весу сп.

Многими исследователями указывалось, что здесь Леонардо форму­ лирует понятие статического момента относительно точки, являю­ щегося произведением силы на перпендикуляр, опущенный из дан­ ной точки на направление силы. Другие обращали, однако, внима­ ние на то, что Леонардо пользуется не произведением груза на «по­ тенциальный рычаг», а отношениями между теми и другими, т. е. понятием момента в чистом виде еще не пользуется. Аналогичные леонардовским понятия встречаем уже у Иордана и в Opusculum de ponderositate (о нем см. примеч. 160), который формулирует свои положения приблизительно так: если у коленчатого рычага acb (см. чертеж) на обоих концах находятся неравные грузы, то он примет такое положение, что расстояния точек а и b от вертикали сh, прове­ денной через точку опоры, окажутся в обратном отношении к вели­ чине грузов, в этих точках находящихся. Подобный же чертеж име­ ется в приведенном отрывке Леонардо.

\h

178 Вг. М. 11

По 6-й [главе] 9-й [книги], тяжесть распределяется между ре­ альными плечами весов не в том отношении, какое существует

209

между этими плечами, но в отношении, какое имеют между собою потенциальные плечи.

Реальные плечи — dan ae. Потенциальные плечи — abи ас.Точнее следовало бы сказать: «Но в обратном отношении».

Иначе говоря:

Из этой пропорции можно получить равенство ab x p1 = ас х р2. Таким образом, в этом положении in nuce заключается следующая теорема: моменты составляющих силы тяжести в отношении точки на рав­ нодействующей равны (и, точнее говоря, имеют противоположные знаки). Это — частный случай теоремы Вариньона о сложении сил.

179Е. 65 г.

А— полюс коленчатого рычага ad и а/, и dn и/с — подвески. Чем более ширится угол веревки, которая на середине своей длины поддерживает груз n, тем более уменьшается потенци­ альный рычаг и растет потенциальный противорычаг, под­ держивающий груз.

Потенциальный рычаг — af, потенциальный противорычаг — ad. Вес груза на чертеже равен единице, рычаг равен единице, противо­ рычаг равен 4, натяжение веревки равно 4. Как и во многих других

210

мечтах манускрипта Е, страницы в этом месте должны читаться в обратном порядке, от конца к началу. Поиски закона сложения и раз­ ложения сил, во многом предвосхищающие Стевина и Роберваля, на­ чинаются с 71 г. и ведутся в разных направлениях. На основании за­ писи на 80 г. эти страницы датируются не раньше 1514 г. Кодекс Бри­ танского музея дает еще более точную дату открытия: март 1508 г. Ключ к решению Леонардо находит в теории ломаного рычага. Сопо­ ставляя со следующим отрывком (180), можно сказать, что у Леонар­ до in nuce находится следующая теорема: если две веревки поддер­ живают груз и на одной из них взять точку, то моменты груза и натя­ жения другой веревки в отношении к этой точке равны и имеют про­ тивоположные направления,— частный случай теоремы Вариньона.

d 4 а

180 E.60v.

Сила будет тем большего превосходства, чем меньшей величи­ ны будет потенциальный рычаг.

181 Ash. II, 2 v.

Говорит Пелакани, что большее плечо этих весов скорее будет падать, чем меньшее, потому что оно при своем опускании бо­ лее прямо описывает свою четверть круга, нежели то делает меньшее, и так как грузы стремятся падать по перпендикуляр­ ной линии, то чем большей кривизны будет окружность, тем более будет замедляться движение.

211

Рисунок тп опрокидывает это соображение, потому что опускание его грузов происходит не по кругу и тем не менее груз большего плеча т опускается.

Вещь, более удаленная от своей точки опоры, менее ею под­ держивается; будучи менее ею поддерживаема, сохраняет она больше свободы, и так как свободный груз всегда опускается, то конец коромысла весов, более далеко отстоящий от точки опоры, будучи более тяжел, необходимо опустится сам собою скорее, чем какая другая часть.

Так как в колесе края одинаково удалены от центра, все по­ мещенные на его окружности грузы будут иметь здесь такую же силу, какую имели бы подобные же грузы, помещенные на их перпендикуляре, на линии равенства qz.

Биаджо Пелакани (Blasius de Parma) - медик, ум. в 1416 г. Препода­ вал в Павии, Болонье, Падуе и Парме. Был в Париже. В своем трак­ тате De ponderibus дал попытку связного изложения теории школы Иордана (ср. примеч. к 9 и 160). В месте, приводимом Леонардо. Пе­ лакани исходит из теории «тяжести, обусловленной положение!

212

(gravitatls secundum situm), родоначальником коей считается Иор­ дан. По Иордану, тело тяжело более или менее в зависимости от то­ го, по какому наклону падает: чем круче наклон, тем тело тяжелее (secundum situm gravius quando in eodem situ minus obliquus est de­ scensus)*. Иными словами, gravitas secundum situm есть составляю­ щая силы тяжести по направлению траектории движения. Автор 13 пропозиций о тяжестях, вышедший из школы Иордана и пытавший­ ся примирить Иордана с Аристотелем, искажая мысль Иордана, го­ ворил о «кривизне» вместо наклона. Это усваивает и Пелакани.

Приводимое Леонардо рассуждение Пелакани сводится к следу­ ющему: am и сп — пути, которые грузы описали бы при своем пере­ мещении; четверть круга am большей кривизны, чем четверть кру­ га сп, и «прямизна» того и другого находится в том же отношении, в каком bc и ab. Следовательно, согласно искаженной теории gravitatis secundum situm и тяжесть будет во столько же раз больше, — та­ ким образом, груз bа вчетверо «тяжелее» и быстрее равного ему гру­ за, находящегося в b.

Линия равенства—горизонтальная линия.

* Об измерении величины наклона см. примеч. к 169.

182 С А. 365 v. а.

Та тяжесть будет двигаться всего труднее, которая будет под­ ниматься по линии менее наклонной. Так, если тяжесть 1 бу­ дет подвешена на веревке ae, то веревка eh движущая ее вну­ три прямого утла aeh, будет двигать без какого бы то ни было напряжения в движении, так как вес—весь на веревке ае. Если же названный груз будет помещен в прямой угол acg, то gc бу­ дет нести всю сумму этого веса.

213