9. Кривые второго порядка на плоскости

1.Окружность – это множество точек плоскости, равноудаленных от данной точки (центра). Если R – радиус окружности, точки M₀ (x₀,y₀) - ее центр, то каноническое уравнение окружности имеет вид : (x-x₀)²+(y-y₀)²=R² .

2. Эллипс – это множество точек плоскости, сумма расстояний которых до двух данных точек, называемых фокусами, есть величина постоянная, равная 2а, причем эта постоянная больше расстояния между фокусами (рис.9.1).

Пусть – любая точка эллипса, – фокусы. Тогда по определению имеем , где называются фокальными радиусами, и, следовательно, .

Рис. 9.1

Форма эллипса (мера его сжатия) характеризуется его эксцентриситетом , (так как с < а, то  < 1 для эллипса). Каноническое уравнение эллипса : , причем . Здесь a – большая, – малая полуоси эллипса. Если а = (с = 0,  = 0, фокусы сливаются в одной точке – центре), то эллипс превращается в окружность . Фокальные радиусы эллипса: (правый фокальный радиус) и (левый фокальный радиус).

3 .Гипербола – это множество точек плоскости, абсолютная величина разности расстояний которых до двух данных точек, называемых фокусами, есть величина постоянная, равная 2а, причем эта постоянная меньше расстояния между фокусами (рис.9.2). Пусть – любая точка гиперболы, – фокусы. Тогда по определению имеем

Рис. 9.2

где называются фокальными радиусами, причем для правой ветви гиперболы, – правый фокальный радиус; – левый фокальный радиус, где число называется эксцентриситетом гиперболы. Каноническое уравнение гиперболы имеет вид , где

а² + в² = с². Здесь а – действительная полуось, b – мнимая полуось гиперболы; из уравнения видно, что гипербола не пересекает ось OY, т.е. . Для построения гиперболы строят прямоугольник со сторонами 2а и 2b, с центром в начале координат. Проводят диагонали в прямоугольнике, которые являются асимптотами . Вершины гиперболы находятся в точках .

Замечание. Если уравнение гиперболы имеет вид : , то вершины гиперболы находятся на оси OY в точках . Гиперболы называются сопряженными (у них действительная ось одной гиперболы служит мнимой осью другой, и наоборот; они имеют общие асимптоты). Если а= b, то уравнение принимает вид х² – у² = а². Такая гипербола называется равнобочной. Ее асимптоты перпендикулярны друг к другу. Поэтому, если за координатные оси принять асимптоты равнобочной гиперболы, то ее уравнение примет вид: (рис. 9.3,а и рис. 9.3,б), или .

Рис. 9.3

4. Парабола – это множество точек плоскости, равноудаленных от данной точки, называемой фокусом, и от данной прямой, называемой директрисой (рис.9.4). Пусть прямая l: x=-p/2 является директрисой параболы, точка F(p/2,0) – фокус. Тогда каноническое уравнение параболы имеет вид: ,

где – фокальный параметр.

Рис. 9.4

Эта парабола расположена симметрично относительно оси ОХ ( ), – фокальный радиус параболы, который определяется по формуле , так как . Уравнение является уравнением параболы, симметричной относительно оси ординат ОУ. При р > 0 ветви параболы направлены в положительную сторону соответствующей координатной оси, а при р < 0 – в отрицательную сторону.