2. Линейные пространства.

Определение линейного пространства

Любая упорядоченная система из действительных чисел представляет собой n – мерный вектор. который можно записывать как в виде вектора-строки так и в виде вектора-столбца .

Числа называются координатами вектора , а число (количество координат) – его размерностью. Два – мерных вектора и равны: , если их одноименные координаты равны: "i = 1, 2, …, n. Векторы одинаковой размерности можно складывать и вычитать по правилу: умножать вектор на число α :

Эти операции над векторами обладают следующими свойствами:

а) коммутативным (переместительным)

;

б) ассоциативным (сочетательным)

;

в) дистрибутивным (распределительным)

; .

Эти свойства позволяют производить над векторами различ-

ные преобразования (раскрытие скобок, группировка членов и т.п.).

Разложение векторов по базису

Известно, что множество всех векторов образует линейное пространство ( для векторов, элементов этого пространства определены операции: сложение и умножение на число. Количество координат вектора определяет размерность пространства. Доказано, что всякий вектор n-мерного линейного пространства можно единственным образом представить в виде линейной комбинации векторов, образующих базис, ,где – базис (в некоторых задачах иногда не будет ставится знак вектора над базисными векторами, но понимать надо, что они всегда являются векторами).

Базис – это совокупность n линейно независимых векторов n-мерного пространства Rⁿ.

Заметим, что в n-мерном линейном пространстве существует бесконечно много различных базисов из n векторов. В следующих двух заданиях при решении задач надо уметь устанавливать линейную независимость или линейную зависимость векторов, и убедиться, что векторы, по которым требуется разложить данный вектор, образуют базис.

Пример . Написать разложение вектора по векторам , , .