- •Введение
- •Определители, матрицы. Системы линейных уравнений
- •2. Линейные пространства.
- •Решение систем линейных уравнений
- •3. Подпространства, образованные решениями линейной однородной системы (лос) уравнений. Нахождение общего решения лос
- •4. Линейные преобразования и действия Над ними
- •5. Собственные значения и собственые векторы матрицы
- •6. Приведение квадратичной формы к каноническому виду
- •7. Векторы и действия над ними
- •8. Плоскость и прямая в пространстве
- •9. Кривые второго порядка на плоскости
- •10. Приведение общего уравнения кривой второго порядка к каноническому виду
- •11. Исследование общего уравнения кривой. Поверхности второго порядка.
- •12. Комплексные числа. Теорема
- •И ее предел.
- •13. Функция. Предел функции
- •14. Применение эквивалентных бесконечно малых к вычислению пределов
- •15. Производная функции и ее вычисление
- •16. Дифференциал функции. Применение дифференциала
- •17. Неопределенный интеграл
- •18. Определенный интеграл
- •19. Несобственные интегралы
- •20. Приложения определённого интеграла
- •2) Вычисление объёмов тел по известным поперечным сечениям
- •21. Функции нескольких переменных Основные теоретические сведения
- •22. Частные производные первого порядка. Полный дифференциал функции и его применение к приближенным вычислениям
- •1) Случай одной независимой переменной.
- •23. Производные и дифференциалы высших порядков
- •1) Случай одной независимой переменной.
- •2) Случай нескольких независимых переменных.
- •24. Формула Тейлора для функции двух переменных
- •25. Экстремум функции нескольких независимых переменных
- •26. Условный экстремум. Наибольшее и наименьшее значения функции в замкнутой области
- •27. Дифференциальные уравнения
- •28. Система линейных дифференциальных уравнений второго порядка с постоянными коэффициентами
- •29. ЧиСлоВые ряды
- •30. Функциональные ряды
- •31. Тригонометрические ряды Фурье
- •32. Интеграл Фурье
- •33. Двойной интеграл
- •34. Тройные интегралы
- •35. Криволинейные интегралы
- •36. Поверхностные интегралы
- •Поверхностные интегралы второго рода
- •Так же получены формулы:
- •37. Теория поля
- •Скалярные поля
- •Формула Остроградского на плоскости
- •Циркуляция вектора вдоль контура не зависит от выбора координатной системы.
- •38. Оператор Гамильтона
- •Дифференциальные операции второго порядка
- •39. Функция комплексного переменного
- •40. Дифференцирование функций комплексного переменного, условия коши — римана
- •41. Интегрирование функций комплексного переменного
- •42. Ряд лорана
- •43. Преобразование Лапласа
- •44. Задача коши для обыкновенных линейных дифференциальных уравнений
- •Заключение
- •Библиографический список
- •35. Криволинейные интегралы ……………………………….302
- •394026 Воронеж, Московский просп.,14
15. Производная функции и ее вычисление
Если х и х1 – значения аргумента х, а y=f(x) и y=f(x1) - соответственно значения функции y=f(x) , то называется приращением аргумента х на отрезке [x; х1], а
(или = ) называется приращением функции на том же отрезке [x; х1],
(см. рис. 15.1), где ).
Рис.15.1
Отношение называется средней скоростью изменения функции y=f(x) на отрезке .
Производной функции y=f(x) в точке x называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента , когда приращение аргумента стремится к нулю: = , если этот предел существует.
Геометрический смысл производной: =tg - угловой коэффициент касательной МТ к графику функции y=f(x) в точке х (рис. 15.1).
Физический смысл производной - мгновенная скорость, т.е. скорость изменения функции в данный момент х0. Таким образом, быстрота протекания физических, химических и других процессов выражается с помощью производной. Функция, имеющая конечную производную, называется дифференцируемой. Операция нахождения производной называется дифференцированием.
Основные правила дифференцирования.
Если , - функции, имеющие производные, c- постоянная величина, то:
1) (c=const); 2) ; 3) ;
4) ; 5) ;
6) ; 7) .
Производная сложной функции.
Таблица производных
Если и - дифференцируемые функции своих аргументов, то производная сложной функции существует и равна произведению производной данной функции y по промежуточному аргументу u на производную промежуточного аргумента u по независимой переменной х: , или , или . Это правило распространяется на из любого конечного числа дифференцируемых функций.
Таблица производных основных
элементарных функций.
Пусть , где . Тогда:
1) ( n - любое число);
2) ; 3) (a>0, ;
4) ; 5) ;
6) ; 7) ;
8) ; 9) ;
10) 11) ,( );
12) , ( ); 13) ;
14) 15) ;
16) ; 17) ; 18) .
Замечание. Гиперболические функции определены так:
1) - гиперболический синус
2) -гиперболический косинус
3) -гиперболический тангенс
4) -гиперболический котангенс
Для гиперболический функций имеют место формулы, аналогичные фомулам для тригонометрических функций.
Основные формулы:
; ; ; , ; и т.д.
Пример 1. Найти , если =sin3(x/4).
Решение. Это сложная функция промежуточным первым аргументом u= sin(x/4) и t=x/4 . Данную функцию можно представить в виде: y=u3 , где u=sin(t); t=x/4 .
Дифференцируя, получаем:
= = = = .
Уравнение касательной и нормали к плоской кривой
Пусть - уравнение плоской кривой, - точка, лежащая на этой кривой, так что .
Уравнение касательной к данной кривой , проходящей через точку касания кривой, имеет вид:
,
где есть угловой коэффициент касательной к данной кривой, проходящей через точку . Иначе говоря, где , - угол между касательной к кривой , проведенный через точку , и промежуточным направлением оси абсцисс .
Нормалью к кривой в точке называется перпендикуляр к касательной, проведенный через точку касания. Уравнение нормали к кривой в точке имеет вид: .
Пример 2 . Составить уравнение касательной и нормали к кривой y=x3+2x в точке с абсциссой x0=1.
Решение. Найдем производную данной функции и ее значение при x0=1, y /=3x2+2, y /(x0)=y /(1)=3+2=5. Угловой коэффициент касательной . Вычислим значение функции при x0=1: . Следовательно, -точка касания и уравнение касательной будет y=3+5(x-1), или 5x-y-2=0; а уравнение нормали y=3-(1/5)(x--1), или x+5y-16=0 , где угловой коэффициент нормали k2=-1/k1, так как условием перпендикулярности двух прямых y=k1x+b1 и y=k2 x+b2 является соотношение:k1 k 2 =-1 Ответ: 5x-y-2=0, x+5y-16=0 .