28. Система линейных дифференциальных уравнений второго порядка с постоянными коэффициентами

Рассмотрим систему дифференциальных уравнений вида

(28.1)

где f₁(x) и f₂(x)-непрерывные функции. Система (28.1) называется однородной, если f₁(x)=0, f₂(x)=0, . Решением системы (28.1) называется вектор-функция

, (28.2)

координатные функции которой для всех х удовлетворяют

каждому из равенств (28.1).

Задача Коши для системы (28.1) формируется следующим образом: найти решение y=y(x) системы, которые при х=х₀ удовлетворяют условиям y₁(x₀)=y₁⁰, y₂(x₀)=y₂⁰, где y₁⁰ и y₂⁰-заданные числа.

Если ввести векторы у, f(x)= и матрицу

, то систему можно записать в матричном виде

=Ay+f(x). (28.3)

Вектор-функция и называются линейно независимыми, если существуют числа и , такие что

(28.4)

и линейно независимыми, если тождество (28.4) выполняется в единственном случае, когда и . Фундаментальной системой решений однородной системы называется два ее линейно независимых решения , . Общим решением системы называется решение

, (28.5)

где С₁ и С₂ – произвольные постоянные, у₁, у ₂ – фундаментальная система решений. Частным решением у₀ системы (28.1) называется любое решение, удовлетворяющее ей. Общим решением неоднородной системы является вектор-функция

, (28.6)

где , - фундаментальная система, - некоторое частное решение. Рассмотрим метод исключения

Пример . Методом исключения решить задачу Коши:

где .

Решение: Продифференцируем первое уравнение системы: и подставим в него из второго уравнения. Тогда получим . В это уравнение подставим из первого уравнения, получим . Решив характеристическое уравнение , найдем и общее решение . Тогда

Используя начальные условия, получим

т.е. решением задачи Коши являются функции

.

29. ЧиСлоВые ряды

Основные понятия и определения числовых рядов

Числовым рядом называется сумма бесконечного множества слагаемых

a₁+a₂+a₃+...= , (29.1)

являющихся членами бесконечной числовой последовательности a₁,a₂,a₃,…,a_n , ... Член a_n=ƒ(n) называется общим членом ряда (29.1). Сумма первых n членов ряда

S_n=a₁+a₂+...+a_n называется n-ой частичной суммой S_n.

Ряд (29.1) называется сходящимся, если предел последовательности его частичных сумм {S_n} при неограниченном возрастании n стремится к конечному пределу: . Тогда величина S называется суммой ряда, а величина

R=S-S_n=a_n+1+a_n+2+a_n+3+... – остаток ряда (29.1).

Если предел или или не существует, то ряд (29.1) называется расходящимся.

Расходящийся ряд суммы не имеет. Сходимость или

расходимость ряда не нарушается, если прибавить или отбросить конечное число его членов. Например, ряд

расходящийся, так как последовательность частичных сумм {S_n} не имеет предела:

S₁=1; S₂=1-1=0; S₃=1-1+1=1; … .

Если ряд (29.1) сходится, то его общий член a_n стремится к

нулю при n→∞, то есть - необходимый признак сходимости любого ряда. Обратное утверждение неверно. Значит, если

, то ряд (29.1) расходится.

Нахождение суммы знакоположительного ряда

Пусть дан ряд , где M, p, q — целые числа. Если корни знаменателя в общем члене различаются на целое число, то члены последовательности {S_n} частичных сумм такого ряда нетрудно найти, ибо в выражении

S_n=a₁+a₂+...+a_n многие слагаемые взаимно уничтожаются. Поэтому, найдя корни квадратного трехчлена n²+np+q, разлагаем на множители знаменатель дроби, затем разлагаем общий член a_n ряда на элементарные дроби и выписываем несколько членов ряда, чтобы увидеть закономерность, какие слагаемые сократятся при вычислении n-ой частичной суммы. Составляем S_n и вычисляем сумму ряда по формуле .

Пример 1. Найти сумму следующих рядов:

Решение.

а) Находим корни уравнения 36n²+12n-35=0.

Дискриминант D=144×36>0; корни n₁₌5/6,n₂=-7/6, различаются на целое число 2. Тогда 36n²+12n-35=36(n-5/6)(n+7/6).

б) Общий член ряда разлагаем на элементарные дроби методом неопределенных коэффициентов:

= =

= , где А, В — коэффициенты, подлежащие определению. Умножив на знаменатель левой части, получаем тождество 12=A(6n+7)+B(6n-5). Полагая последовательно n₂=-7/6 и n₁₌5/6, находим: при n₂=-7/6: 12=-12B; B=-1;

при n₁₌5/6: 12=12A; _A=1. Значит, a_n= .

в) Выписываем, начиная с n=2, несколько членов ряда, чтобы увидеть, какие слагаемые сокращаются при вычислении

S_n: a₂= , a₃= , a₄= ,

a₅= , a₆= ,…, a_n-2= ,

a_n-1= , a_n= .

г) Составляем n-ую частичную сумму ряда и сокращаем все слагаемые, какие возможно:

S_n= + + + + +…

+ + + = ..

д) Вычисляем сумму ряда

, - - )=

Исследование сходимости знакоположительных рядов

Рассмотрим ряд с положительными членами

=a₁+a₂+a₃+ , (29.2)

где , при .

Так как все члены ряда (29.2) положительны, то частичная сумма S_n возрастает с возрастанием n. Поэтому знакоположительный ряд (29.2) либо сходится, когда , либо его сумма бесконечная: и ряд расходится.

Перечислим основные достаточные признаки сходимости и расходимости знакоположительных рядов.

1. Первый признак сравнения. Если 0 a_n b_n, начиная с

некоторого номера _n=n0, и ряд

=b₁+b₂+b₃+… (29.3)

сходится, то ряд (29.2) также сходится. Если ряд (29.2) расходится, то расходится и ряд (29.3).

2. Второй (предельный) признак сравнения. Если существует конечный и отличный от нуля предел (в частности, если a_n~b_n), то ряды (29.2) и (29.3) сходятся или расходятся одновременно.

В качестве рядов для сравнения удобно использовать один из следующих рядов:

1. Геометрический ряд

(_c=const), который сходится при <1 и расходится при 1.

2. Гармонический ряд , являющийся расходящимся рядом.

3. Обобщенный гармонический ряд (Дирихле)

, который сходится при _p>1 и расходится при p 1.

Замечание. Для оценки общего члена ряда удобно использовать неравенства -1 , -1 ,

, , и т. п.

Пример 2. Ряд

сходится по первому признаку сравнения, так как

a_n= b_n Для сравнения взяли сходящийся геометрический ряд , составленный из членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии

, знаменатель которой q=1/3 меньше 1, а сумма всех ее членов равна .

III. Признак Даламбера. Пусть _an>0(начиная с

некоторого номера _n=n0). Если для ряда (29.2) существует

предел отношения последующего члена _an+1 к предыдущему _an, т. е. , то при _q<1 ряд (29.2) сходится, а при q>1 ряд (29.2) расходится.

IV. Признак Коши. Пусть _an (начиная с некоторого номера n=n₀). Если для ряда (29.2) существует предел

, то при _q<1 ряд (29.2) сходится, а при q>1 ряд (29.2) расходится.

Замечание 1. Признаки Даламбера и Коши при q=1 ответа не дают. Тогда следует применить другой признак сходимости.

Замечание 2. При вычислении пределов полезно иметь в виду, что , , , где P(n) —многочлен относительно n. Например,

= .

V. Интегральный признак Коши. Если a_n=f(n),

где функция f(x) положительна, монотонно убывает и непрерывна при , где , то ряд сходится или расходится в зависимости от того, сходится или расходится несобственный интеграл . Устанавливают сходимость несобственного интеграла обычно по определению: = , когда первообразная функции F(x) легко вычисляется.

.

Пример 3. Ряд расходящийся по интегральному признаку. Действительно, a_n=f(n)= при _n>2 функция f(x)= -положительная, непрерывная и монотонно убывающая при ,ибо ,т.к. при , и интеграл , то есть расходится. Здесь

Знакопеременные ряды. Признак Лейбница

для знакочередующихся рядов

Рассмотрим ряд, члены которого имеют разные знаки:

(29.4)

Ряды с произвольным чередованием знаков всех членов называются знакопеременными рядами. Ряд вида

, (29.5)

где величины , называется знакочередующимся. Это такой ряд, в котором два любых соседних члена имеют противоположные знаки.

Признаки сходимости знакопеременных рядов.

Если ряд

, (29.6)

составленный из модулей (абсолютных величин) членов ряда

(29.4) сходится, то ряд (29.4) так же сходится и называется абсолютно сходящимся. Для исследования на абсолютную сходимость ряда (29.4) можно исследовать для ряда (29.6) известные признаки сходимости для знакоположительных рядов. В частности:

а) Ряд (29.4) сходится абсолютно, если абсолютные величины членов ряда (29.4) не превосходят членов сходящегося знакоположительного ряда: , где ряд сходящийся.

б) Ряд (29.4) сходится абсолютно, если или .

в) Если или , то расходится не только ряд (29.6), составленный из модулей, но и исходный ряд

(29.4). В общем случае из расходимости ряда из модулей (29.6) не следует расходимость ряда (29.4). Ряд (29.4) называется условно (не абсолютно) сходящимся, если он сходится, а соответствующий ему ряд (29.6) из модулей расходится.

Пример 4 .

.

Решение. Составим ряд из абсолютных величин членов данного ряда

Так как , то исследуемый ряд сходится абсолютно.

Признак Лейбница. Если для знакочередующегося ряда (29.5) выполнены два условия: 1) его члены убывают по абсолютной величине и 2) его общий член стремится к нулю при , то ряд (29.5) сходится ( по крайней мере, условно). Для остатка ряда R_n = S-S_n, в этом случае имеет место оценка , то есть остаток ряда R_n не превосходящей первого из отброшенных его членов.

Пример 5. Исследовать на сходимость ряд. ,

Решение. 1) Данный знакочередующийся ряд

сходится по признаку Лейбница, так как выполнены два условия: монотонное убывание модулей членов ряда ;

2) =.

Сходимость данного ряда условная, так как ряд из модулей его членов расходится вместе с рядом который получили при упрощении общего члена, воспользовавшись тем, что при .

Ответ: Исследуемый ряд условно сходится.

Отметим следующие свойства сходящихся

знакопеременных рядов

Свойство 1. Если ряд (29.4) абсолютно сходится, то ряд,

полученный после любой перестановки бесконечного

множества его членов, абсолютно сходится и имеет ту же сумму, что и первоначальный ряд.

Свойство 2. Если ряд (29.4) условно сходится, то от перемены мест его членов сумма ряда изменяется и больше того имеет место теорема (Римана): Сумма ряда, сходящегося условно зависит от порядка, в котором расположены его члены. Изменяя этот порядок, можно заставить ряд иметь своей суммой любое число или сделать его даже расходящимся.

Приближенное вычисление суммы

знакочередующегося ряда

Дан ряд . (29.7)

Требуется с заданной точностью вычислить его сумму

( в случае сходимости ряда). Если выполнены два условия признака Лейбница:

1) и 2) , то для остатка R_n ряда (29.7) справедливо неравенство , где - первый из отброшенных членов ряда. Если , то и подавно . Поэтому, решая неравенство при конкретных значениях n, находим число n - количество членов ряда, которое необходимо взять для вычисления суммы S. Затем непосредственно вычисляем n-ую частичную сумму S_n . Так как , то приближенно за сумму S ряда принимаем n-ую частичную суммы S_n:

.

Пример 6 . Вычислить сумму ряда с точностью έ.

Решение. Данный ряд знакочередующийся и сходящийся абсолютно, так как

и ряд Дирихле сходится (p=5>1).

Члены ряда монотонно убывают по абсолютной величине.

Следовательно, справедливо неравенство

. По условию έ =0.001.

Если , то и . Поэтому, решая неравенство , находим при

n=1: b₁=2/81 0,0247>0,001

n=3: b₃=4/65² 0,00094<0,001.

Итак, . Получили, что четвертый член удовлетворяет заданной точности . Значит, для вычисления суммы ряда с точностью 0.001 достаточно взять первые три члена ряда. Вычисляем частичную сумму . Таким образом, сумма, вычисленная с заданной точностью, данного ряда .

Ответ: .