23. Производные и дифференциалы высших порядков

Частные производные высших порядков.

Частными производными второго порядка функции называются частные производные от её частных производных первого порядка.

Обозначения частных производных второго порядка:

; ,

; .

Аналогично определяются и обозначаются частные производные третьего и выше третьего порядков; например: ; и т.п.

Символ обозначает частную производную третьего порядка функции , вычисленную три раза по х; символ обозначает, что от функции z взята частная производная третьего порядка, причём она вычисляется два раза по х и от полученной производной вычислена один раз производная по у. Имеет место такая важная теорема: если частные производные непрерывны, то их значения не зависят от порядка дифференцирования. Таким образом, так называемые смешанные производные, отличающиеся друг от друга лишь последовательностью дифференцирования , равны между собой, если они непрерывные функции, например: .

Пример 1 . Найти частные производные второго порядка от следующих функций: а) z=2xy; б) z=ln(x²+y²); в) /

Решение. Находим сначала частные производные первого порядка. Затем их дифференцируем вторично:

а) ; ; ; ; .

б) Находим ; ; далее

находим ;

;

.

в) Имеем

; ;

Теперь находим: ; ; .

Дифференциалы высших порядков.

Дифференциалом второго порядка от функции называется дифференциал от её полного дифференциала (первого порядка), т.е. .

Аналогично определяются дифференциалы функции z порядка выше второго , например: , т.е. дифференциалом третьего порядка от функции z есть дифференциал от её дифференциала второго порядка. Вообще, , . Если , где аргументы х и у –независимые переменные и функция имеет непрерывные частные производные, то дифференциалы высших порядков вычисляются по формулам:

.

Вообще, при наличии соответствующих производных справедлива символическая формула для дифференциала порядка n : , которая формально раскрывается по биноминальному закону. Если , где аргументы и являются функциями одного или нескольких независимых переменных, то

Если х и у – независимые переменные, то и - величины постоянные, поэтому , . Заметим, что следующая запись означает , выражение следует понимать, как выражение и т.д. Кроме способа вычисления дифференциалов функции по формулам, есть другой способ нахождения дифференциалов высших порядков, который даёт возможность определить их, минуя вычисление частных производных; далее по известному выражению дифференциала мы сможем находить и частные производные. Этот способ состоит в последовательном дифференцировании. Рассмотрим следующий пример.

Пример 2. Найти дифференциалы первого и второго порядков функции .

Решение. Имеем ; поэтому . Далее находим ; ; . Имеем: .

Дифференцирование неявных функций.

1) Случай одной независимой переменной.

Пусть -неявная функция , т.е. она определяется из уравнения , не разрешённого относительно . Это значит, что при каждом значении , при котором неявная функция определена, она принимает единственное значение так, что . Если - дифференцируемая функция переменных и , то производная неявной функции , заданной с помощью уравнения , может быть найдена по формуле , при условии, что Формула позволяет находить n-ую производную от по , зная (вычисляя от следующие производные).

Пример 3 . Найти , если функция задана неявно уравнением , где -величина постоянная.

Решение. Обозначим левую часть данного уравнения . Найдём её частные производные

, .

Применив формулу , получаем .